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13.3《三角形的内角与外角》同步练习
一、单选题
1．在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．）如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是（），该市的纬度是北纬（），而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心），则该市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（ ）
A．或 B．或
C．或或 D．或或
二、填空题
6．如图，在中，，点在的延长线上，，则_____．
7．如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和都是“倍角三角形”，则的度数为___________．
8．如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为________．
9．定义：有两个内角的差为的三角形叫作“反直角三角形”，在中，，点为直线上一点，若为“反直角三角形”，则的度数为__________．
10.如图1光线照射到镜面会产生反射现象，当光线从入射到平面镜上时沿反射出去，其中经过入射点且垂直于反射面的直线称为法线，根据光线反射规律可以得到．
（I）若，则________度；
（II）如图2，，为两面有一定夹角的平面镜，当光线平行于镜面入射时，在点、、处经过三次平面镜反射后沿射出，若，________度．
三、解答题
11．课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法．
①过点C作 ②延长到点F，过点C作
③过上一点D作， ④过点C作于点D
回答下列问题：
(1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）；
(2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明．
12．是锐角三角形，点D在线段上，交于点E，点F 在线段上（点F不与点A，E，B重合），连接，过点F作交射线于点G（点G不与点B重合）
(1)如图1，当点F 在线段上时，，求的度数；
(2)当点F 在线段上时，请在备用图中探究下列问题：
①直接写出与之间满足的数量关系 ；
②若与的角平分线所在直线相交于点P，请画出符合条件的图形，并尝试求出的度数．
13．如图，是的一个外角，为的平分线，在的内部，与交于点，．
(1)判断是否平分，并说明理由；
(2)如图2，的平分线交于点，，求的度数．
14．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究：
(1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______．
(2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数；
(3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）；
15．我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“和谐三角形”．如图①，，点A在边上，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合）
(1)的度数为_______， _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”．
(2)若，试说明：是“和谐三角形”．
(3)如图②，点D在的边上，连结，作的平分线交于点E，在上取点F，使，∠．若是“和谐三角形”，直接写出的度数．
16．操作与探究
【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法．
如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即），反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即）．
(1)【观察图形】试判断和的数量关系，并说明理由；
(2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由；
(3)【深度探究】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔在点处发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，光束与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角（）．若，求反射光束与天花板所形成的角的度数．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵在中，
∴直角三角形两锐角和为，即
又∵
∴ ．
2．D
解：在中，，
，
，，
，，
，
．
3．D
解：延长交于点，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．C
解：设与交于点，
∵，，
∴，
∵为地面水平线，
∴，即，
在中，，
∵太阳光线平行，即，
∴．
故选：C．
5．D
解：当时，如图，则，
由折叠性质得：，
，
则
当时，如图，则，
由折叠性质得：，，
∴
∵
∴
当时，如图，则，
，
∴
综上，的度数为或或
二、填空题
6．
解：，
．
7．
解：∵，，，
∴，
由折叠的性质可得，
∴；
在中，，
∴当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴此时不是“倍角三角形”，不符合题意；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此时是“倍角三角形”，符合题意；
综上所述，．
8．或或
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
当时，如图，延长交于点G，
可知，
∴，
∴；
当时，如图，
可知，
∴；
当时，如图，
可知，
∴，
∵，
∴；
综上所述，的度数为或或．
9．或或或
解：∵在中，，
∴，
当点为线段上一点，，设，，则，
∴，
根据定义分情况讨论：
①若，则，
∴，符合题意；
②若，则，不符合点P在线段上的条件，舍去；
③若，则，
代入得到，
解得，
∴，符合题意；
④若，则，
代入得到，解得，不符合题意；
当点在线段的延长线上，即点P在点右侧时，，同理可得，，其中设，，分情况讨论：
①若，则
∴，符合题意；
②若，则代入得到，解得，，
∴，符合题意；
③其余情况均得到负角度或，不合题意，舍去，
当点在线段的延长线上，即点P在点左侧时，，
∴其余两个内角和为，最大内角为，
若，解得，，不可能存在，其余情况内角差不可能达到，故此情况无符合条件的解，
综上，的度数为或或或．
10．
解：（I）由题意，，
∴，
∴；
（II）设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
即.
三、解答题
11．（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③；
（2）解：①∵，
∴，，
∵，
∴，
故①能证明“三角形内角和是”；
②∵，
∴，，
∵，
∴，
故②能证明“三角形内角和是”；
③∵，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
故③能证明“三角形内角和是”；
④∵，
∴，
故④不能证明“三角形内角和是”．
12．（1）解：过点F作，交于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①情况1：当点G在线段上时，结论：．
理由：设交于J，
∵，
∴，
∵，，
∴．
情况2：当点G在的延长线上时，，
延长交于K，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②情况1：点G在线段上时，作，
∵，
∴，
∵与的角平分线所在直线相交于点P，
∴，，
∴；
情况2：当点G在的延长线上时，延长，交于点Q，
∵，
∴，，
在中，，
∵与的角平分线所在直线相交于点P，
∴，，
∴，
中，．
综上，的度数为或．
13．(1)解：平分，理由如下：
∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∵，即，
∴
∴，
∴平分
（2）解：由（1）可知，平分，即，
∵平分，即，
又∵，
∴，
在中，，
∴．
14．（1）解：，
，
与的平分线交于点，
，，
，
；
（2）解：，
，即，
的平分线与的平分线交于点，
，，
，
；
（3）解：，，，
，
、的平分线交于点，
，，
．
15．（1）解：，
，
，
∴的三个内角度数为
不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4倍，
不是“和谐三角形”；
(2)是的一个外角，
，
又，
，
∵，
，
是“和谐三角形”；
（3）解：，，
，
，
，
而，
，
，
，
平分，
，
，
是“和谐三角形”，
或，
∴或
或．
16．解;(1)，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
(2)，理由如下：
由（1）的结论可知，，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：如图，延长交于点，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由光的反射原理可得，，
∴，
∴．

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