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第1章《三角形》单元自测卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．在下列各组图形中，是全等图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图，与交于点， AOC≌ DOB，点，是对应点，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若三角形的两条边长分别为5和7，则第三边的边长可能是（ ）
A．1 B．2 C．12 D．7
4．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（ ）
A．9 B．12 C．13 D．14
7．如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线，，．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（ ）
A．3 B． C．4 D．
10．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________．
12．如图，，，，则______________．
13．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为________．

14．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________．
15．如图，若，则________．
16．已知，如图①，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：
如图②，在中，，，是的内角平分线，则的边上的中线长l的取值范围是 __________________．
三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分．）
17．与的位置如图所示，，．试说明．
18．如图，在中，点在边上，，．
(1)用尺规完成基本作图：在射线上作线段，使得，连接；
(2)结合（1）所作的图形，求证．请完成下面的证明：
证明：，
（_____①_____）．
在和中，
，
．
_____③_____．
．
19．如图，，点是上一点，连结．
(1)如图1，若平分，过点作交于点，试说明；
(2)如图2，若平分，平分，且，求的度数．
20．如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的长．
21．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点．
(1)试说明：．
(2)若，，求的长．
22．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，，求的长．
23．在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题
(1)直角风格的装置
如图，当时，求证：，；
(2)六十度风格的装置
如图，当时，求的度数；
(3)猜想：任意顶角的装置
当时，的度数为________（直接用含的式子表示）
24．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，．
【初步探究】
(1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论；
(2)【变式训练】
如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展应用】
如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果）
参考答案
一、选择题
1．D
选项：两个图形形状相同，但大小不同，所以它们不是全等图形；
选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形；
选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形；
选项：两个图形形状和大小都完全相同，所以它们是全等图形．
2．D
解：与交于点，
与是对顶角，
，
故A选项正确；
，
、、、，
故B、C选项正确，D选项错误．
3．D
解：设第三边的边长为，
∵三角形已知两边长为5和7，
∴，即，
观察选项，只有选项D的7满足，故选D．
4．D
解：∵的周长是，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
5．A
解：如图，
当时，有最小值，
∵平分，，，
∴，
∴长的最小值为3．
6．B
解：，
，，
的周长．
7．A
解：∵，
∴，，，
∴，
∴．
8．A
解：过点B作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，．
∴，
，
∴；
9．A
解：过点E作交于点F，如下图，
∵为的中线，为的中线，
∴，，
∴，
∵的面积为30，，
∴，
解得，
即中边上的高为3．
10．C
解：∵，点D为的中点，
∴，，
∴点的对应点是点，
设点、的运动时间为，点Q的运动速度为，
∴，，
∴；
当时，
∴，
∴，
∴，
∴点的运动速度为；
当时，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的运动速度为；
综上所述，点的运动速度为或．
二、填空题
11．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，
因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
12．20
解：在中，，，
∴，
∵，
∴ ．
13．6
解：∵，，
∴，
又是的垂直平分线，
∴．
14．
解：延长交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
15．
解：如图，
，
∴，
∵，
∴，
，
．
16．
解：记中上的中线为，如图，反向延长中线至，使得，连接，
∵是的内角平分线，
∴，
∵，，
∴，
可设，，
在中，，
∴由三角形的三边关系可得：且，
∴，
，
，
，
由三角形三边关系可知，
，
，
，
∴．
三、解答题
17．解：在和中，
，
∴，
∴．
18．(1)
(2)两直线平行，同位角相等；；
19.(1)证明：已知，
，
，
即，
平分，
，
得，
又，
，
．
（2）解：过作，
，
，
，
．
设，，
平分，平分，
，．
，
，
．
又，
．
，
，
．
20．(1)∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是边上的中线，，
∴垂直平分，
∴，
由（1）知：，
∴．
21．(1)
证明：，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，，
，即：，
，
又，
．
22．（1）解：∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴．
（2）解：∵为的中线，，
∴的面积为32，
∵为的角平分线，，为的高，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
23．(1)证明：设、交于点，
，
，即．
在与中，
，
，
，．
，
．
，
，
，
；
（2）解：设、交于点，
，
，即．
在与中，
，
．
，，，
；
（3）解：，
，即．
在与中，
，
．
，，，
．
24．（1）解：∵， ，
∴，
又∵，
∴，
∴；
(2)，理由：∵点、、在直线上，
∴，
由三角形内角和定理知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点A作于F，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵E是中点，
∴；
当时，则，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点Q的运动速度为或．

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