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2.2.3《一元二次方程的解法--因式分解法》同步练习
一、单选题
1．关于的一元二次方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（ ）
A． B．0 C．2 D．
3．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（ ）
A． B． C． D．
5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
6．方程的解是_____
7．当___________时，代数式与的值相等．
8．已知方程的解是，，则方程的解是______．
9．对于实数，定义运算“*”：*．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_____．
10．已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为______．
三、解答题
11．解方程：
(1)； (2)．
12．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”）
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值．
13.用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷，但在解题过程中要考虑全面．王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题：．下面是小睿的解题过程：
解方程：．
解：两边同时约去，得．（第一步）
移项，合并同类项，得．（第二步）
两边同时除以2，得．（第三步）
(1)小睿的解题方法是从第 步开始出现错误的；
(2)请你用因式分解法正确的解出这道题．
14.已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若方程两个根均为负整数，求负整数的值．
15.阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程化为，
解得，．
或．
，．
以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)．
(2)．
16.已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根；
(2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值及这个三角形的周长．
参考答案
一、单选题
1．C
解：，
∴或，
解得：，，
故答案为：C．
2．B
解：∵是一元二次方程的根，
∴将代入原方程得，可得，
∴原方程为，即，
解得，
∴方程的另一个根为．
3．D
解：∵，
∴，
∴或，
解得或，
∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长，
∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7，
∴该菱形的面积为．
4．D
解：∵一元二次方程，
∴，
∵关于的一元二次方程有一根为，
∴一元二次方程有一个根为，解得，
故选：．
5．D
解：A. ，
∴，
∴，，
∴方程不是“邻根方程”，选项A不符合题意；
B. ，
，
方程无实数根，选项B不符合题意；
C. ，
∴，
∴，
∴，，，
∴方程不是“邻根方程”，选项C不符合题意；
D. ，
，
∴，
∴，，，
∴方程是“邻根方程”，选项D符合题意；
故选：D．
二、填空题
6．，
解：，
或，
解得：，，
故答案为：，．
7．
解：由题意，得
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
8．，
解：∵方程的解是，，
∴方程的解为或，
解得：，，
故答案为：，．
9．204或
解方程，
因式分解得，
所以或，
即两根为或．
当 时，，
所以．
当时，，
所以．
故答案为：204或．
10．或
解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴方程为，
解得，，
∴方程的另一个根为，
∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，
∴三角形的周长为或，
故答案为：或．
三、解答题
11．（1）解：，
，
，
∴，．
（2）解：，
∴，．
12．（1）解：∵，
∴，
，
，
该方程是“倍根方程”，
故答案为：是．
（2）解：方程的根为，
原方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
又 ∵该方程是“倍根方程”，
∴有两种情况：情况一：，
∴，
∴，
情况二：，
，
，
，
经检验，和均满足，
a的值为3或．
13.（1）解：∵当时，不能两边同时约去，小睿没有考虑这个情况
∴小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的．
故答案为：一．
（2）解：
∴或
∴，．
14.（1）解：对于一元二次方程，
其判别式．
∵，即，
∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：对原方程因式分解，得，
解得，．
∵方程的两个根均为负整数，且是负整数，
∴也需为负整数.
又∵是负整数，
∴，解得，
∴的取值为、、或．
15.（1）解：设，则原方程化为，
，
或，
或，
或，
原方程的解为，，，；
（2）解：原方程为，
即，
设，则原方程化为，
，
或，
或，
或，
对于，即，
，
，
对于，即，
，
，
原方程的解为，，．
16.（1）证明：∵
∴
∴无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为5时，5为方程的解，
把代入，得，
得，
∴
或
解得，
∴方程的另外一个解为，
∴此时三角形三边长为3，5，5
∵，符合题意，
此时三角形的周长；
当底为5时，
∵另两边恰好是这个方程的两根，
∴，
解得，
∴
∴
∴
此时方程的解为，
∴此时三角形三边长为3，3，5
∵，符合题意，
∴三角形的周长．
综上所述，当时，三角形的周长为13；当时，三角形的周长为11．

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