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2025-2026学年陕西省西安市鄠邑区第四中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少出现一枚反面向上的概率为( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，为边上的中线，为边的中点，若，则可用表示为( )
A. B. C. D.
5.已知，，是三个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
6.如图所示，某测量人员在高为的山顶处，测得地面同一直线上的、两点的俯角分别为和，则、两点的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下：
则这组数据的下四分位数为( )
A. B. C. D.
8.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是( )
A. 复数的虚部是 B.
C. 复数的共轭复数是 D. 复数的共轭复数对应的点位于第四象限
10.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中的概率均为，乙每次命中的概率均为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则下列结论正确的是( )
A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为
C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为
11.如图，在棱长为的正方体中，下列结论正确的是( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 直线与平面所成角为
C. 二面角的正切值为
D. 四面体的外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，若一，则这个三角形是 三角形．
13.已知总体的各个个体的值由小到大依次为，，，，，，，，，，且总体的平均值为则的最小值为 ．
14.在正三棱锥中，，分别是，的中点，有下列三个论断：；平面； 平面．
其中正确的个数是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
求的值；
若，求的值．
16.本小题分
周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩同一组中的数据用该组区间的中点值代替．
按照分层抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在内的概率．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，且．
求角；
若的面积为，求的周长．
18.本小题分
某项选拔共有四轮考核．每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
Ⅰ求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
Ⅱ求该选手至多进入第三轮考核的概率．
注：本小题结果可用分数表示
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，是边长为的正三角形，平面平面，为棱的中点．
求证：平面；
若直线与平面所成角的正切值为，求侧面与侧面所成二面角的大小．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】直角
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，
；
，且，
，解得．
16.【答案】，众数为，平均成绩为
17.【答案】解：，，，
，
由正弦定理得，
即，
由余弦定理得，
又，
则；
由得，
，
又，
则，
，即，
的周长为．
18.【答案】解：Ⅰ记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，
则，，，，
该选手进入第四轮才被淘汰的概率
．
Ⅱ该选手至多进入第三轮考核的概率
．
19.【答案】证明：在中，，为的中点，所以，
因为平面平面平面平面，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，，
所以平面；
解：取的中点，连接，，
在中，，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
因为，平面，平面，所以平面，
设平面平面，平面，，
所以，
取的中点，连接，，
在中，，所以，所以，
所以为侧面与侧面所成的角，
在中，，所以，
所以侧面与侧面所成的角为．
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