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2025-2026学年安徽省亳州市涡阳县丁集中学等两校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.排号用有序数对表示，则排号可以表示为( )
A. B. C. D.
2.已知为平面内任意整点横、纵坐标均为整数，且满足，则满足条件的点的个数是( )
A. B. C. D.
3.我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
4.以下列长度单位：为三边，能构成直角三角形的是( )
A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、
5.下列各式计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6.如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
7.九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
8.如图，在中，点，，分别是，，的中点，则下列四个判断中不一定正确的是( )
A. 四边形一定是平行四边形
B. 若，则四边形是矩形
C. 若四边形是菱形，则是等边三角形
D. 若四边形是正方形，则是等腰直角三角形
9.某商场销售，，，四种商品，它们的单价依次是元，元，元，元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是( )
A. 元
B. 元
C. 元
D. 元
10.合肥市某校为了解九年级男生的“引体向上”水平，随机抽取名男生进行“引体向上”测试，成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，这组数的众数和中位数分别是( )
次数
人数
A. 众数是，中位数是 B. 众数是，中位数是
C. 众数是，中位数是 D. 众数是，中位数是
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.关于的方程是一元二次方程，则______．
12.用两块面积为的小正方形地砖拼成一块大正方形地砖，则这块大正方形地砖的长为______．
13.抽查名同学每分钟脉搏跳动次数，获得如下数据单位：次：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，则落在这一组别次的频率是______．
14.如图，在中，，，，的平分线，分别与直线交于点，．
的长为 ．
把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点，，，相邻两点间的距离相等时，求的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.计算、解方程：
计算：
解方程：
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人或动物移至灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器控制的灯安装在门的上方，离地面高的墙壁上，当人移至距离该灯及以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？
17.本小题分
某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共名学生和八年级共名学生都参加了比赛为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取名学生，获取了他们的成绩百分制，并对数据成绩进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息
七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下数据分成组：，，，：

七年级学生的成绩在这一组的是：

七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数 中位数 众数
七年级
八年级
根据以上信息，回答下列问题：
写出表中，的值；
估计七、八两个年级成绩在的人数一共为 ______ ；
把七年级抽取的名学生的成绩由高到低排列，记排名第的学生的成绩为，把八年级抽取的名学生的成绩由高到低排列，记排名第的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系：中有，，三点的坐标分别为，，．
在平面直角坐标系中描出，，三点
点与点关于直线成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线．
19.本小题分
已知当，都是实数，且满足时，称为“好点”．
判断点，是否为“好点”，并说明理由；
若点是“好点”，请判断点在第几象限？并说明理由．
20.本小题分
已知：如图，在中，点、分别是、的中点
若，则______；若，则______；
连接和交于点，求证：．
21.本小题分
综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得到结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图放置，其三边长分别为，，，，显然
请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理
【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为
如图，在中，是边上的高，，，，求的长
22.本小题分
若关于的一元二次方程的两根为、，则这就是一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的两根为、，则 ，
已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根为、，满足，求的值
23.本小题分
如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，

求证：；
如图，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接
求证：矩形是正方形；
若正方形的边长为，，求正方形的边长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
或或

15.【答案】【小题】
【小题】，

16.【答案】解：，．
由勾股定理，得，
所以．
因此，当人走到离门的地方，该灯刚好点亮．
17.【答案】
18.【答案】【小题】如图，，，三点即为所求；
【小题】如图，直线即为所求．

19.【答案】解：点为“好点”，理由如下：
当时，，，得，，
则，，
所以，
所以是“好点”；
点不是“好点”，理由如下：
当时，，，得，，
则，，
所以，
所以点不是“好点”；
点在第三象限，理由如下：
点是“好点”，
，，
，，
代入得，
，，
，
所以点在第三象限．
20.【答案】解： ；；
取、中点、；
则，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
即．
21.【答案】【小题】
证明：，，，
，
，
，
【小题】
【小题】

22.【答案】【小题】
【小题】
证明：关于的一元二次方程为，
，，，
根的判别式，
展开化简得，
配方得，
无论为任何实数，总有，
，
即，
无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；或

23.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
；
证明：如图，作于，于，
得矩形，

，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
解：正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，

，
，
连接，

，

正方形的边长为．
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