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第二章 一元二次函数、方程和不等式-2026-2027学年高中数学人教A版必修一单元测试
一、选择题
1．设集合,,则( )
A. B. C. D.
2．若集合,,则( )
A. B. C. D.
3．下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
4．已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
5．若实数，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
6．已知a、b、,那么下列命题中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
7．已知集合,且,则( )
A. B. C. D.
8．已知实数a，b满足，则ab的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知,则下列正确的是( )
A. B. C. D.
10．下列不等式不一定成立的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
11．正实数a,b满足,则下列说法正确的是( )
A.ab有最大值,且最大值为9
B.ab有最小值,且最小值为9
C.有最大值,且最大值为6
D.有最小值,且最小值为6
三、填空题
12．已知两个正数a,b的几何平均值为1,则的最小值为_____________.
13．已知a,且,则的最小值是_______.
14．已知实数满足,则的最大值为______________.
15．已知，则的最小值是____________________.
四、解答题
16．回答下列问题，并说明理由.
（1）由，能否得到？
（2）由，，能否得到？
（3）由，，能否得到？
17．如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少？
18．当x是什么实数时，函数的值是：
（1）0？
（2）正数？
（3）负数？
19．设，，且，求的最小值.
20．试比较下列各组式子的大小：
（1）与，其中；
（2）与，其中；
（3）设，试比较与的大小.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,,所以.
2．答案：A
解析：由,,
则.
3．答案：B
解析：显然当时,不等式不成立,故A错误；
,故B正确,D错误；
C.显然当时,不等式不成立,故C错误；
故选：B．
4．答案：C
解析：先求解集合B，解不等式，因式分解得，解得，即.
已知，根据交集定义得.
5．答案：D
解析：对于A：当，时不成立，所以是错误的；
对于B：取，时不成立，所以是错误的；
对于C：取，时不成立，所以是错误的，
对于D：由，，所以是正确的.
故选：D
6．答案：C
解析：对于A,若,,则,故A错误;
对于B,若,,则,但,故B错误;
对于C,若,此时,则,故C正确;
对于D,若取,,则,故D错误.
故选:D.
7．答案：C
解析：,
则集合B中一定有1和4这两个元素,且集合B中一定没有2,3,5这三个元素.
故选:C.
8．答案：B
解析：由，即，即，整理得.因为，当且仅当，即，时等号成立，所以ab的最大值为.
9．答案：ACD
解析：对于ACD,因为,
所以,,,故ACD正确；
对于B,取,则,故B错误.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：对于A,当,时,,故A不一定成立;
对于B,,因为,所以,
当,时,,即,故B不一定成立;
对于C,当,时,,故C不一定成立;
对于D,因为,所以,所以,故D一定成立.
故选:ABC.
11．答案：BD
解析：因为,所以,等号成立时,
即,得,得,
故ab有最小值,且最小值为9,故B正确；A错误；
因为,所以,等号成立时,
即,得,
故有最小值,且最小值为6,故D正确；C错误.
故选：BD.
12．答案：2
解析：由题意得,即,故,当且仅当时,等号成立,
故答案为：2.
13．答案：3
解析：
14．答案：
解析：[方法一]：（代换,用判别式法）
设,则,代入,
得,由得,因此.
[方法二]：（代换,构造一元二次方程用判别式法）
设,则,则2x、y可看作关于m的方程的两个实根,
由得,因此.
[方法三]：（构造向量法）
令,.
则,即的最大值为.
[方法四]：（待定系数法）
令
则解得故,化简得.
［方法五］：（代换消项结合放缩法）
令,则,则原题等价于：已知,求2a的最大值.
由的几何意义得,即得.即.
［方法六］：（换元法,转化为三角函数求解）
令则.
即,即,则.
.
故.
［方法七］：（三角换元结合均值不等式求解）
令代入条件方程得.
则.
故.
故答案为：.
［方法八］：【最优解】基本不等式
,
即,(当且仅当,即时,取等号)
故答案为：.
15．答案：
解析：，且，，当且仅当，即，时取等号.的最小值为.
16．答案：（1）不能，理由见解析
（2）不能，理由见解析
（3）不能，理由见解析
解析：（1）不能.当，时，不成立.
（2）不能.取，，，.
则，，
此时不成立.
（3）不能，取，，，，
则，，此时不成立.
17．答案：
解析：设今年的产量的最小值为a，则后年的产量的最小值为2a，
设明、后两年每年的平均增长率至少是，则，
所以（负值舍去）.（注：取过剩近似值）
所以明、后两年每年的平均增长率至少是.
18．答案：（1）或7
（2）
（3）或
解析：（1）令，即，解得或，
所以当或时，函数的值为0；
（2）令，即，解得，
所以当时，函数的值为正数；
（3）令，即，解得或，
所以当或时，函数的值为负数.
19．答案：1
解析：，，且，
，
当且仅当即时，等号成立，
的最小值为1.
20．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1），，
所以，
所以.
（2）记，，则，.
因为，所以，即.
（3）方法一：（作差法），
因为，所以，，，，
所以，所以.
方法二：（作商法）因为，
所以，，，
所以，
所以.
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