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广东深圳市多校联考2025 2026学年第二学期高一期末质量检测数学试卷
一、单选题
1．在复平面内，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m//α，n//β，α//β，则m//n
B．若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n
C．若n//α，n//β，则α//β
D．若m//n，n α，则m//α
3．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超过8的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
5．已知函数，若存在互不相同的，使得，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知向量，且，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C． D．
7．若样本数据0，3，4，a，7的平均数为4，则其方差为（ ）
A． B． C． D．
8．已知在直角梯形中，，若将梯形绕所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某校高一学生有男生300人，女生200人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取50人，计算得到样本中男生、女生的平均身高分别为170和160（单位：厘米），方差分别为20和30，则下列结论正确的是（ ）
A．该校每一名高一学生被抽到的概率为0.1 B．男生、女生应抽取的人数分别为30和20
C．样本的平均数为165 D．根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为48
10．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的一个周期是 B．在上单调递增
C．的最大值为 D．方程在上有个解
11．已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A．直线与所成角的正切值为
B．三棱柱外接球的半径为
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________．
13．已知正四面体的棱长为1，若该正四面体的外接球表面积为，其内切球表面积为，则_____．
14．在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______.
四、解答题
15．已知 ，复数 ， ，在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点．
（1）求的取值范围；
（2）当A、B、C三点共线时，求实数a的值．
16．在中，角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，，且的面积为，求的长度.
17．如图1，在矩形中，是线段上的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面．
（1）如图2，当时，点是线段的中点，求证：平面；
（2）如图2，若点在平面内的射影落在线段上．
①是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由；
②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离．
18．已知锐角满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“”传输，每个符号（⊙或）的传输可能出错，传输结果相互独立．系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p，错误接收的概率为；当发送“”时，正确接收的概率为q，错误接收的概率为．模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r，．假设，已知字母A的密码为“⊙”，字母G的密码为“⊙”．
（1）若，．求字母A正确接收的概率；
（2）若，在字母G接收的3个符号中，记“收到⊙的个数为1”，“收到⊙的个数为2”，试比较和的大小．
参考答案
1．【答案】C
【详解】已知，对等式两边同时取模，可得： 分别计算两个已知复数的模： ，， 代入上式解得， 由，因此.
2．【答案】B
【详解】对于A，若m//α，n//β，α//β，则m//n或m与n相交或m与n异面，故A错误；
对于B，若m//α，则在平面α内存在不同于n的直线l，使得l//m，则l//β，
从而l//n，故m//n，故B正确；
对于C，若n//α，n//β，则α//β或α与β相交，故C错误；
对于D，若m//n，n α，则m//α或m α，故D错误．
故选B．
3．【答案】A
【详解】首先，从1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数，共有种组合，分别为：、、、、、、、、、。 若三个数之积为偶数，则排除三个数全为奇数的情况，仅需排除这1种，因此满足“积为偶数”的样本共9种。 在上述9种样本中，逐一计算三数之和：
和为，符合要求；和为，符合要求；和为，符合要求；和为，符合要求 ；其余样本的和均大于8，共4种符合要求的样本， 根据古典概型概率公式，所求概率为
4．【答案】B
【详解】由，可得，，
所以，
，故，
因为，所以，，
即是直角三角形.
故选B.
5．【答案】D
【详解】因为函数的值域为，
所以存在互不相同的，使得，
即同时使得，即
因为
由于区间内使得正弦函数取最小值时的的取值依次是，
所以，
故选D.
6．【答案】C
【详解】设，则，
即点B的轨迹为以为圆心，4为半径的圆．
故的最大值为．
7．【答案】D
【详解】由题知，解得，
所以方差.
8．【答案】B
【详解】过点作，垂足为，延长交延长线于点，
因为，则为等腰直角三角形，
又易得四边形为正方形，则，，
因为，则，则也为等腰直角三角形，且，
连接，过点作，易得，
若将梯形绕所在直线旋转一周得到一个几何体，
则形成的空间几何体为两个同底的大圆锥去掉两个同底的小圆锥，其中大圆锥的底面半径长为，高为，
小圆锥的底面半径为，高为，
其体积为.
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】每一名高一学生被抽到的概率为，A正确；
按比例分配抽样，，，B正确；
样本总平均数的计算公式为：，代入数据得：
，C错误；
在分层抽样中，总样本方差的计算公式为：，代入数据：
，D正确.
10．【答案】BD
【详解】已知函数，
对于A，因为，，
由于，所以不是函数的一个周期，故A错误；
对于B，当时，，
由，可得，所以在上单调递增，故B正确；
对于C，因为，因此函数是偶函数，
则当时，，
因为，所以当时，函数是以为周期的周期函数，
则当时，，
当时，，则，则，
当时，，则，则，
综上所述，，所以的最大值是，故C错误；
对于D，当时，，由，得，
所以或，所以或，，
又因为，所以或或，
当时，，由，得，
所以或，所以或，，
又因为，所以，
综上可得，当时，方程有个解，
又因为是偶函数，所以当时，方程有个解，
又因为也是方程的解，
所以方程在上有个解，故D正确.
11．【答案】ABD
【详解】对A：由，故直线与所成角与直线与所成角相等，
连接，可得，又，
故，故A正确；
对B：三棱柱外接球与正方体外接球相同，
故其外接球半径为，故B正确；
对C：如图：取中点，连接，过点作，
交于点，则，所以平面截正方体所得截面为梯形，
由，所以，
所以，，所以，
所以梯形不是等腰梯形，故C错误；
对D：如图：设点到平面的距离为，则，
而，
，
所以，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】/
【详解】数据升序排列为：6，9，，，，，，，
上四分位数的位置为，
位置为整数，取第项的平均值．
13．【答案】9
【详解】过点作⊥平面于点，则点在的中线上，且，
由三线合一可得⊥，，，
故，
外接球球心为，设，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
，
，
设内切球半径为，则，解得，
由于，所以.
14．【答案】
【详解】在棱长为的正方体中，
由平面，即到平面的距离为，即三棱锥的高，
所以三棱锥的体积为，
设到平面的距离为，
由，可得,
所以，
因为，可得，解得，
所以点到平面的距离为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），
，当且仅当时取等号，
故的取值范围为．
（2）由题意知，，
当A、B、C三点共线时，直线斜率相等，
，，
则，，则，解得．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由及正弦定理，
得，
因为，且，
所以，即，
因为，所以.
（2）由的面积为，得，所以①，
又，所以，
故，
由正弦定理，得②，
由①②可得，，，
因为，所以，
在中，由余弦定理，得，
所以.
17．【答案】（1）见详解
（2）①存在，；②
【详解】（1）取的中点，连接、，
因为点是线段的中点，所以且，
又因为且，
所以且，所以为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）①存在点，当点与点重合，即时平面；
理由如下：
当点与点重合，则，又平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
又，，平面，
所以平面，
所以当点与点重合，即时平面；
②在矩形中作，垂足为点，延长交于点，折起后可知，
设，则，，
由，所以，即，则，
所以，
要使得点的射影落在线段上，则，即又，解得，
在中，
所以
，
当且仅当，即时，
所以当时，，即是的中点，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
又由①知，当时点与点重合时平面，
所以点到平面的距离为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为为锐角，所以，
，，
因为为锐角，所以，
，，
.
（2）因为为锐角，,
所以，又，，
，
，所以.
19．【答案】（1）0.48
（2）若，则；
若，则；
若，则.
【详解】（1）字母A的密码为“⊙”，一共接收2个符号，2个都正确，
则字母A正确接收，所以字母A正确接收的概率为；
（2），
若字母G接收的3个符号中，收到“⊙”的个数为1，可分3种情况：传输为“⊙”或“⊙”或“⊙”，
所以，
同理，若字母G接收的3个符号中，收到“⊙”的个数为2，可分3种情况：传输为“⊙⊙”或“⊙⊙”或“⊙⊙”，
所以，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
所以，
若，则；
若，则；
若，则.

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