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辽宁省阜新市彰武县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线）
2．若，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如果一个边形的内角和是外角和的2倍，那么的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形的对角线、交于点O，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　）
A．3 B．4 C．2.5 D．2
8．若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　）
A．且 B．且
C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．由图象可知 B．当时，
C．方程的解为 D．方程组的解为
10．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(共5小题,每小题3分，共15分)
11．若代数式的值为，则实数的值是______．
12．在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．
13．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，若点C的对应点E落在上，连接，则的大小为 ______．
14．如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______．
15．如图，在△中，，，点分别在边上，，，取的中点，线段的长为__________．
三、解答题(共8小题，共75分.)
16．（8分）按要求完成下列各题：
(1)解不等式组：；
(2)化简：．
17．（8分）颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且．
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　；
(2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)若和关于点中心对称，则点的坐标为________．
(2)作关于点的中心对称图形．
(3)在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标．
19．（8分）如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
20．（8分）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，时，求四边形的面积．
21．（10分）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍．
(1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？
(2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本．
22．（12分）综合与实践
在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接．
(1)【尝试发现】如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小明同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易得，于是可得，．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（_________①），所以，可得_______②，因此猜想成立．
请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______；
(2)【类比探究】如图2，当点D在线段的延长线上时，
①探究线段与的数量关系并证明；
②若，求线段的长；
(3)【拓展应用】若，，请直接写出线段的长．
23．（13分）定义：函数（且）和函数互为“逆反函数”．
例如：和互为“逆反函数”．
如图1，一次函数的图象分别交轴，轴于点，．
(1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______；
(2)在（1）下，点是一次函数图象上一点，又是它的“逆反函数”图象上的点；
①求的面积；
②若点为平面直角坐标系轴下方一点，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)函数和它的“逆反函数”，组合成新的函数．当时，函数的最大值与最小值的差为，当时，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A D C D B B D
11．
12．
13．/31度
14．6
15．/
16．（1）解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为；
（2）解：
．
17．（1）解：由图可知：表示大长方形的面积，
大长方形的边长分别为：，
∴；
故答案为：；
（2）解：由题意，得：，，
∴，
∴，
∴（负值舍去）．
18．（1）解：分别连接、两点和、两点相交于点,观察图形可知坐标为；
(2)如图，即为所求．
（3）由（2）知和关于点O中心对称，
为点的对称点，
因为对称点坐标互为相反数，
所以．
19．（1）解：是的垂直平分线，
，，
．
，，
，
解得；
（2）解：是的垂直平分线，
．
设，则，
在中，根据勾股定理，得
，即，
解得，
．
20．(1)证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，是边上的中线，
∴，，
∴平行四边形是矩形，
∴四边形的面积为．
21．（1）解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
，
答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米．
（2）解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，
解得，
设总成本为w元，则，
，，
当时，总成本w最低，
最低成本为:，此时，
答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元．
22．(1)等式性质1，
(2)①，
证明：∵在中，，
∴ ，
由旋转知，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②解：由①得，
，
在中，；
（3）解：当，时，
由（1）（2）知，，
，
∴．
23．（1）解：根据“逆反函数”定义，对于，其中，，其逆反函数为，代入得；
将代入，得，解得；
（2）解：①与轴交于点，令，则，解得，
∴，
又，
∴，
联立与的解析式，得
，
解得，
∴，
，
②存在符合条件的点，设，
点为平面直角坐标系轴下方一点，以点，，，为顶点的平行四边形，对角线中点重合，分三种情况讨论：
情况一：以为对角线：
中点为，中点为，
∴，，
解得，，
∴（位于轴上方，不合题意，舍去）；
情况二：以为对角线：
中点为，中点为，
∴，，
解得，，
∴；
情况三：以为对角线：
中点为，中点为，
∴，，
解得，，
∴；
综上，点的坐标为或；
（3）解：当时，函数为，
当时，函数为，
∵，随增大而增大，
∵当时，，当时，，
∴，即，；
当时，函数为，
∵，
∴，随增大而减小，
∵当时，，当时，，
∴，即，；
综上，当时，，，
∵最大值与最小值的差为，
∴，解得．

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