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30.2 三角形的内切圆
知识点 三角形的内切圆
1.与三角形各边都 的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是 的交点，叫作三角形的 .
2.如图,⊙O是△ABC的内切圆,∠C=40°,则∠AOB 的大小是 .
3.直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则它的内切圆半径为 .
4.在△ABC中,∠A=50°,点O,I分别是△ABC的外心和内心,则∠BOC 的度数是 ,∠BIC 的度数是 .
5.如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,BC=14.
(1)求 S△ABC的值;
(2)求△ABC内切圆的半径.
6.如图,⊙O是△ABC的内切圆,分别切BA,BC,AC于点E,F,D. P 是上一点，若∠B=50°,则∠EPF 的度数是( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
7.如图,⊙O为四边形ABCD 的内切圆,∠A=∠B=90°,AD=4,BC=6,则⊙O的半径为( )
A.2 B. C. D.3
8.如图是一张四边形纸片ABCD,已知AB=BC=3 dm,AD=CD=6 dm,∠A=∠C=90°，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是( )
A.1 dm B.2 dm C. D. dm
9.如图,∠C=90°,AC=3,AB=5,点O是内心,则 的大小是 ；⊙O的半径是 .
10.已知点O,I分别是△ABC的外心和内心,∠BCC=140°,则∠BIC 的大小是 .
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,⊙I为△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,点O为△ABC的外心,BC=6,AC=8.
(1)求⊙I 的半径及AD,BE的长;
(2)连接OI,求OI的长.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上一点,⊙I为△ABD的内切圆,G,E,F为切点.
(1)求证:BE=CF;
(2)若BD=10,CD=4,求 BE 的长.
13.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,点I是△ABC(BC(1)求证:DA=DI;
(2)若 求 BC 的长.
30.2 三角形的内切圆
三角形的内切圆
1.与三角形各边都 相切 的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是 三角形三条角平分线 的交点，叫作三角形的 内心 .
2.如图,⊙O是△ABC的内切圆,∠C=40°,则∠AOB的大小是 110° .
3.直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则它的内切圆半径为 1 .
4.在△ABC中,∠A=50°,点O,I分别是△ABC的外心和内心,则∠BOC 的度数是 100° ,∠BIC的度数是 115° .
5.如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,BC=14.
(1)求 S△ABC的值;
(2)求△ABC 内切圆的半径.
解:(1)作AH⊥BC于点H.设BH=x,则CH=14-x.
,解得x=5,
∴AH=12,
(2)设⊙I的半径为r,分别与三边相切于D,E,F三点,连接AI,BI,CI.
∴r=4.
6.如图,⊙O是△ABC的内切圆,分别切BA,BC,AC于点E,F,D. P是 上一点，若∠B=50°,则∠EPF 的度数是(D)
A.50° B.55° C.60° D.65°
7.如图,⊙O为四边形ABCD 的内切圆,∠A=∠B=90°,AD=4,BC=6,则⊙O的半径为(B)
A.2 B. C. D.3
8.如图是一张四边形纸片ABCD,已知AB=BC=3dm,AD=CD=6 dm,∠A=∠C=90°，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是(B)
A.1 dm B.2 dm C. D. dm
9.如图,∠C=90°,AC=3,AB=5,点O是内心,则∠AOB的大小是 135° ;⊙O的半径是 1 .
10.已知点O,Ⅰ分别是△ABC的外心和内心,∠BOC=140°,则∠BIC的大小是 125°或145° .
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,⊙I为△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,点O为△ABC的外心,BC=6,AC=8.
(1)求⊙I 的半径及AD,BE的长;
(2)连接OI,求OI的长.
解:(1)⊙I的半径为2,AD=6,BE=4.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上一点,⊙I为△ABD的内切圆,G,E,F为切点.
(1)求证:BE=CF;
(2)若BD=10,CD=4,求BE的长.
(1)证明:∵⊙I为△ABD的内切圆,∴AG=AF,BG=BE.
∵AB=AC,∴BG=CF,∴BE=CF.
(2)解:∵⊙I为△ABD的内切圆,∴DF=DE.设DF=DE=x.
∵CD=4,则BE=CF=4+x,
∴BD=BE+DE=4+x+x=4+2x.
∵BD=10,∴4+2x=10,解得x=3,∴BE=4+x=7,即BE的长为7.
13.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,点I是△ABC(BC(1)求证:DA=DI;
(2)若 求BC的长.
(1)证明:连接AI.∵点I是△ABC(AC∴∠CAI=∠BAI,∠ACI=∠BCI.
∵∠DAB=∠BCI,∴∠DAB=∠ACI,∴∠DAB+∠OAI=∠ACI+∠CAI.
∵∠AID=∠ACI+∠CAI,∠DAI=∠DAB+∠OAI,∴∠AID=∠DAI,∴DA=DI.
(2)解:连接BD,过点D作DE⊥DC交CB的延长线于点E.∵AB是直径,∴∠ACB=ADB=90°.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=45°,∴∠BAD=∠BCD=45°,∴△ADB,△CDE都是等腰直角三角形,∴DA=DB=DI=5,CD=DE=CI+DI=7
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,由勾股定理,得AB=10,CE=14.
∵∠ADB=∠CDE=90°,∴∠ADC=∠BDE,∴△ADC≌△BDE(SAS),
∴AC=BE,∴CE=BC+BE=BC+AC=14.
又∵BC +AC =AB =100(AC>BC),∴AC=8,BC=6.

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