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30.3 正多边形与圆
知识点1 正多边形的有关概念
1.各边 ， 也相等的多边形叫作正多边形.正多边形的 叫作这个正多边形的中心， 叫作正多边形的半径，正多边形每一边 叫作正多边形的中心角，中心到 叫作正多边形的边心距.
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.下列说法不正确的是( )
A.各角相等的圆内接多边形是正多边形 B.各边相等的圆内接多边形是正多边形
C.正多边形的中心角与外角相等 D.正多边形是轴对称图形
4.正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为( )
A.互余 B.互补
C.互余或互补 D.不能确定
知识点2 正多边形的有关计算
5.正n边形的每个中心角的度数为 ；正n边形的周长 (an为边长);正n边形的面积 (rn为边心距,ln为周长).
6.如图是“停车让行”标志，其形状为正八边形，则正八边形的中心角的大小是 .
7.如图，要拧开一个边长为a=12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少是 mm.
8.如图，正方形ABCD内部有一个正八边形EFGHIJKL，设正方形周长为C ，正八边形的周长为C ，则
9.正三角形的边心距、半径和边长的比是( )
A.1:2:3
10.【数学文化】我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.如图，⊙O的半径是2，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值是( )
A.3.1 B.3 C. D.2
11.在下表中分别填入外接圆半径为R 的正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积.
边长 边心距 周长 面积
正三角形
正方形
正六边形
12.半径为 R 的圆内接正三角形和正方形的边长的比值是 .
13.如图1，将半径为2的圆进行12等分分割，拼接成如图2所示图形.连接AC，BD交于点E，则△ADE 的面积为 .
14.如图,⊙O与正六边形ABCDEF 的边CD,EF 分别相切于点C,F.若AB=2,则⊙O的半径长为 .
15.如图,M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.
(1)试求图1中∠MON 的度数;
(2)猜想图2中∠MON 的度数是 ,图3 中∠MON 的度数是 ;
(3)探究∠MON 的度数与正n边形的边数n 之间的关系(直接写出答案即可).
30.3 正多边形与圆
正多边形的有关概念
1.各边 相等 ， 各角 也相等的多边形叫作正多边形.正多边形的 外接圆的圆心 叫作这个正多边形的中心， 外接圆的半径 叫作正多边形的半径，正多边形每一边 所对的圆心角 叫作正多边形的中心角，中心到 正多边形的一边的距离 叫作正多边形的边心距.
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(C)
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.下列说法不正确的是(A)
A.各角相等的圆内接多边形是正多边形 B.各边相等的圆内接多边形是正多边形
C.正多边形的中心角与外角相等 D.正多边形是轴对称图形
4.正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为(B)
A.互余 B.互补
C.互余或互补 D.不能确定
2正多边形的有关计算
5.正n边形的每个中心角的度数为 正n边形的周长. (an为边长);正n边形的面积 (rn为边心距,ln为周长).
6.(2025硚口)如图是“停车让行”标志，其形状为正八边形，则正八边形的中心角的大小是 45° .
7.如图，要拧开一个边长为a=12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少是 mm.
8.如图，正方形ABCD内部有一个正八边形EFGHIJKL，设正方形周长为C ，正八边形的周长为C ,则
9.正三角形的边心距、半径和边长的比是(D)
A.1:2:3
10.【数学文化】我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.如图，⊙O的半径是2，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值是(B)
A.3.1 B.3 C. D.2
11.在下表中分别填入外接圆半径为R 的正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长和面积.
边长 边心距 周长 面积
正三角形
正方形 2R
正六边形 R 6R
12.半径为R 的圆内接正三角形和正方形的边长的比值是
13.如图1，将半径为2的圆进行12等分分割，拼接成如图2所示图形.连接AC，BD交于点E，则△ADE 的面积为 3 .
14.如图,⊙O与正六边形ABCDEF 的边CD,EF分别相切于点C,F.若AB=2,则⊙O的半径长为
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15.如图,M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.
(1)试求图1中∠MON 的度数;
(2)猜想图2中∠MON 的度数是 90° ,图3中∠MON 的度数是 72° ;
(3)探究∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系(直接写出答案即可).
解:(1)连接OB,OC.∵△ABC是正三角形,
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,∴∠BOC=120°.
又∵OB=OC,∴∠OBN=∠OCN=30°,
∴∠OBM=∠OCN=30°.
又∵BM=CN,∴△OBM≌△OCN(SAS),
∴∠BOM=∠CON,
∴∠MON=∠BOM+∠BON=∠CON+∠BON=∠BOC=120°.

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