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第四章检测题
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）
2.窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中经常可以看到.下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是 （ ）
3.如图，小明在数学探究活动中发现：线段AB与线段CD存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，已知点A与点C，点B与点D是对应点，则旋转中心是图中的 （ ）
A.点E B.点F C.点G D.点H
第3题图 第4题图
4.如图，点A的坐标是(-2,3),将△ABO绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'O,则点A'的坐标是 （ ）
A.(2,3) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(-2,-3)
5.如图，∠1=68°,将直线a平移得到直线b,则∠2-∠3的度数为 （ ）
A. 78° B. 132° C. 118° D. 112°
第5题图 第6题图
6.如图，等腰△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边上的中线AD向下平移，A的对应点为A'，且 ，则平移前后两个三角形重叠部分的周长为（ ）
D.5
7.如图，在△ABC中,∠CAB=20°,∠ABC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB'C',以下结论:①BC=B'C',②AC∥C'B',③C'B'⊥BB',④∠ABB'=∠ACC',其中正确的是 （ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
第7题图 第8题图
8.如图，在△ABC中,AB=5,BC=8,∠B=60°,先将△ABC沿射线BC方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，则平移的距离为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.下列7组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有__组.
10.如图，某小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为2m，则小路的总面积是_______m .
第10题图 第11 题图
11.如图，将△ABE向右平移1cm得到△DCF,AE,DC交于点G,连接AD. 如果△ABE的周长是10 cm,那么△ADG与△CEG的周长之和是___________cm.
12.如图，在△ABC中,∠C=35°,将△ABC绕着点A旋转,旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D,AD是∠BAC的平分线，则_________.
第12题图 第13题图
13.如图，在4×4的网格中，格点△A B C 与格点△ABC关于网格中的一个格点成中心对称，这样的△A B C 有_________个.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴交于A,B两点，OC⊥AB于点C,P是线段OC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转45°得到线段BP',连接CP',则线段CP'的最小值为___________.
三、解答题（共52分）
15. (12分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,0),B(0,1),C(-2,3).
(1)若△ABC经过平移后得到△A B C ,已知点A的对应点A 的坐标为(1,-2),写出点C的对应点C 的坐标.
(2)若△A B C 和△ABC关于原点O成中心对称，请写出点C的对应点C 的坐标.
(3)将△ABC绕坐标原点O按顺时针方向旋转90°得到△,画出△.
16.(12分)如图,△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上,AD,EC相交于点P.
(1)求∠BDE的度数.
(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC.试判断DF和PF的数量关系，并证明.
17.(14分)如图1，将军每日需骑马从军营出发，过浮桥去河对面瞭望台观察敌情，已知河流宽度为30米.问：在何地修浮桥，可使将军每日的行程最短？请在图2中画出浮桥(CD)的位置.
18.(14分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C,点A的对应点为A'.
(1)如图①，当∠ACB'=20°时,△ABC绕点C顺时针旋转了__________°.
(2)如图②，当点B'在AB上时，若A'B'∥BC,求∠A的度数.
(3)如图③，当点P为的中点时，连接, ,在△ABC绕点C顺时针旋转一周的过程中，求出线段BP的最大值和最小值.
参考答案
1.B 2.A
3.B 如图，连接AC,BD,作AC,BD的垂直平分线，两条垂直平分线交于点F，则旋转中心为点F.故选B.
4.B 如图，由题意得A'B'=AB,OB'=OB,
∵点A的坐标是(-2,3)，∴AB=3,OB=2,∴A'B'=3,OB'=2,
易得点A'在第一象限，∴点A'的坐标是(3,2).故选B.
5.D 如图，作AB//a,
∵∠1=68°,∴∠BAD=180°-∠1=112°,
∵直线b由直线a平移得到, ∴ a//b, ∴ AB//b,
∴ ∠BAC=∠3, ∴ ∠2-∠3=112°-∠BAC=∠BAD=112°.
6.C 如图，设BC交A'B'于M,交A'C'于N,
，∴ A'D=AD-AA'= 1，
由题意得，A'N//AC,A'M//AB, ∴ , ,∴ ,
∴ ，同理可得DM= ，∴平移前后两个三角形重叠部分的周长为.
7.B ① ∵ 将 绕点 A 逆时针旋转 得到 ，∴ ，故 ① 正确；② ∵ 将 绕点 A逆时针旋转 得到 ， ， ， ， ， ， ，故② 正确；③ 在 中， ， ， ， ， 与 不垂直，故③ 不正确；④ 在 中， ， ， ， ，故④ 正确.故选B.
8.B ∵ 将 沿射线 BC 方向平移，得到 ， ， ，∵ 将 绕点 A 逆时针旋转一定角度后，点 恰好与点 C 重合， ， 是等边三角形， ， ，∴平移的距离为3.
9.答案 2
解析 根据两个图形成中心对称的定义可知成中心对称的是 和 ，共2组.
10.答案 96
解析 根据题意得小路的总面积为 30×20-(30-2)×(20-2)=96（ ），故答案为96.
11.答案 10
解析 ∵ 将 向右平移 1 cm 得到 ，且 的周长是 10 cm， ，AB=CD，AB+BE+AE=10 cm， 与 的周长之和.
12.答案
解析 如图，旋转后的图形为 ，
由旋转的性质可知 AB=AD， ， ， 是 的平分线，， ， ，在 中， ， ，解得 .
13.答案 2
解析 如图所示，共 2 个.
14.答案
解析 对于 y=x+4，令 x=0，则 y=4，令 y=0，则 x=-4，∴ 点 A 的坐标为 (0,4)，点 B 的坐标为 (-4,0)， ， ，三角形 OAB 是等腰直角三角形， ， ，∴点 C 是 AB 的中点， ， ，如图，在 AB 上取点 O'，使 BO'=BO，连接 P'O'，
∵线段 BP 绕点 B 逆时针旋转 得到线段 BP'， ， ， ， ， (SAS)， ， ， ， 在与 x 轴平行的直线 P'O' 上运动，∴ 当线段 CP' 与 P'O' 垂直时，线段 CP' 的值最小， ， ， 的最小值为 .
15.解析（1）由 A(-4,0)， 知， 向右平移 5 个单位长度，向下平移 2 个单位长度得到 ，∴ 点 C 的对应点 的坐标为 (3,1).
（2） 和 关于原点 O 成中心对称，∴ 点 C 的对应点 的坐标为 (2,-3).
（3）如图， 即为所求.
16.解析（1）由旋转的性质可知，AB=AD， ， ， ， .
（2）DF=PF，证明如下：
由旋转的性质可知，AC=AE， ， ， ， ， ，即 ， .
17.解析 把军营与瞭望台看成间隔 30 米的 2 条直线外侧的定点，问题转化为：如图，在直线 上找一点 C，直线 上找一点 D（ ），使 AC+CD+BD 的值最小.
如图，将点 A 沿垂直于直线 的方向向下平移 30 米（河流的宽度）至点 A'，连接 A'B，交直线 于点 D，过点 D 作 于点 C，连接 AC，则线段 CD 即为所求.
18.解析（1）110.
（2）由旋转的性质得 , , .
∥, , .
, , , .
（3）由旋转的性质得 , , .
, ,∴当点B,C,P共线且P在C的右侧时, BP取得最大值,为 ;
当点B,C,P共线且P在B的左侧时, BP取得最小值,为 .

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