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第四章 图形的平移与旋转
专项突破 利用旋转的性质解决线段和角的问题
题型 1 求线段的长度问题
1.如图，将 逆时针旋转一定角度 后得到 ，点D恰好为BC的中点.
(1)若 ，指出旋转中心，并求出 的值.
(2)若CE=10,求AC的长.
2.如图，将 绕点B逆时针旋转得到 ，点E落在AB上，DE的延长线与AC相交于点F,连接DA,BF,若 ，BF=AF.
(1)求证： .
(2)若AF=2,求DF的长.
题型 2 求角的度数问题
3.如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转得到 ，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE.
(1)求证：DC平分 .
(2)若 ，求 的度数.
4.如图，在 中，AB=AC，将 绕点A逆时针旋转，得到 ，BC,DE相交于O， .
(1)判断 的形状.
(2)求 的度数.
题型3 证明线段之间的数量关系
5.[问题情境]在课堂上，学习小组对一道数学问题进行了深入探究：在Rt 中， ， ，点D是AB的中点，连接CD.
[探索发现]
(1)如图①，BC与BD的数量关系是____________.
[猜想验证]
(2)如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B,C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转 得到线段DF，连接BF，猜想BF,BP,BD三者之间的数量关系，并证明你的结论.
[拓展延伸]
(3)若点P是线段CB的延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图③中补全图形，并探究BF,BP,BD三者之间的数量关系.
题型4 证明线段之间的位置关系
6.在Rt 中， ，AB=AC，D为平面内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转 得到AE，连接CE.
(1)若点D为线段BC上一点（不与点B,C重合），如图1，则线段BD与CE之间的数量关系是____________，位置关系是____________.
(2)若点D为 内一点，BD的延长线与CE交于点F.
①如图2，BD与CE之间的数量关系和位置关系分别是什么？请证明你的结论.
②如图3，连接AF，DC，已知 ，判断AF与DC的位置关系，并说明理由.
参考答案
1.解析 (1) 旋转中心为点 C，
， ，
∵将 逆时针旋转一定角度 后得到 ，
，∴ 的值为 .
(2) 由旋转知 ，
∵ 点 D 为 BC 的中点，
2.解析 (1) 证明：∵将 绕点 B 逆时针旋转得到 ，
， , , ,
是等边三角形，，
在 与 中， .
(2) 是等边三角形， ,
,
垂直平分 ，
, ,
, ,
,
, ,
3.解析 (1) 证明：由题意得 CA=CD, ， ,
，∴ DC 平分 .
(2) , ,
,,
,
由旋转得 CB=CE, , ,
,
4.解析（1）由旋转可得AB=AD，AC=AE， ，
， ，
， 是等边三角形，
， ， 是等边三角形.
（2）设 ，则 ，
，
.
5.解析（1）BC=BD.
（2）BF+BP=BD.
证明： ， ，D是AB的中点，
， ， 是等边三角形，
，DC=DB，
∵DP绕点D逆时针旋转 得到DF， ，DP=DF，
， ，
，∴CP=BF，∴BF+BP=CP+BP=BC=BD.
（3）补全图形如图：
∵线段DP绕点D逆时针旋转 得到DF， ，DP=DF，
由（2）可得 ，DC=DB， ，
， ，∴CP=BF，
∵CP=BC+BP，BC=BD，∴BF=BC+BP=BD+BP.
6.解析（1）∵线段AD绕点A逆时针旋转 得到AE，
∴AD=AE， ，
， ，
，
在 和 中， ，
∴BD=CE， ，
， ，
， ，即 ，∴.
故答案为BD=CE； .
（2）①BD=CE， .
证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转 得到AE，∴AD=AE， ，
， ，
，
在 和 中， ，
∴BD=CE， ，
， ，
即 ，
， ，
∴，即 .
② ∥，理由如下：
如图，过A作 于G， 于H，
由①知 ， ，
∴BD=CE, ,∠BFE=90°,∴AG=AH,
又∵AG⊥BF,AH⊥CE,∴ FA平分∠BFE,∴∠AFD=45°,
∵∠BDC=135°,∴∠FDC=45°,∴∠AFD=∠FDC,∴AF∥CD.

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