资源简介

第四章 图形的平移与旋转
专项突破 图形旋转中的最值问题
类型 1 利用垂线段最短求最值
1.如图，Rt 中， ，AB=AC=3，AO=1，点D为边BC上的动点，将线段AD绕点A逆时针旋转 得到AE，连接OE，则在点D运动的过程中，线段OE的最小值为 （ ）
A.2 B. C. D.1
2.如图，中，，AC=4，D为AB边上一动点，将绕点C顺时针旋转得到 ，点 落在线段BC上，A，C， 三点也恰好共线，点D的对应点为 ，连接 ，则 长度的最小值为 _______.
3.如图，等边 的边长是2，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转 得到BN，连接MN.
(1)在点M运动的过程中，求线段MN长度的最小值.
(2)连接NH，求NH长度的最小值.
类型 2 利用三点共线求最值
4.如图，在 中， ，AC=8，BC=6，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，点D的对应点为点E，连接AE，BE，则 面积的最小值是（ ）
A.2 B. C. D.1
5.如图，在 中， ， ，BC=6，P为 内一点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，中，，，动点M满足AM=1，将线段CM绕点C顺时针旋转 得到线段CN，连接BN，AN，则AN的最小值为 _______.
7.如图，在 中， ，AB=3，AC=4，BC=5，将 绕点A顺时针旋转，点B，C的对应点分别是 ， ，若点D为线段AB的中点，点E为线段 上一动点，则在旋转过程中，线段ED的最小值为 _______.
参考答案
1.B 如图，连接 CE，
在 中，AB=AC=3，∴ .
∵ 线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 得到 AE，
∴ AD=AE， ，∴ ，
在 和 中，AB=AC， ，AD=AE，
∴ ，∴ ， ，
∴ 点 E 在过点 C 且垂直于 BC 的直线上，∴ 当 时，OE 的值最小，
∵ AO=1，AC=3，∴ CO=2，
∵ ， ，∴ OE=CE，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ OE 的最小值为 .故选 B.
2.答案
解析 如图，连接 CD,CD′，
∵ 将 绕点 C 顺时针旋转得到 ，点 D 的对应点为 ，∴ ， ，∵ A,C, 三点共线，
∴ ，∴ 旋转角为 ，
∴ ，∵ AC=4， ， ，
∴ .
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ， ，∴ ，
当 DC 的长度最小时， 的长度也最小，
当 时，DC 的长度最小，即 的长度最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 长度的最小值为 .
3.解析（1）由旋转的性质可知，BM=BN，
∵ ，∴ 为等边三角形，∴ MN=BM，
∵ M 是高 CH 所在直线上的一个动点，
∴ 当 时，BM 最短，即 MN 最短，
∵ 为等边三角形，∴ AB=BC=CA=2，
易知当点 M 和点 H 重合时，MN 最短，此时 MN=BM，
（2）取 BC 的中点 G，连接 MG，如图，
则 ，
∵ 旋转角为 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 高 CH 所在直线是等边 的对称轴，
∴ ， ，∴ HB=BG，
由旋转得，BM=BN，∴ ，∴ MG=HN，
根据垂线段最短，得 时，MG 最短，即 HN 最短，此时 ，∴ NH 长度的最小值为 0.5.
4.D 如图，过 C 作 于 H，
∵ ，∴ ，
∵ 点 D 是 AC 的中点，AC=8，
∴ CD=CE=4，易知当点 E 在线段 CH 上时， 的面积最小，最小值为 ，故选 D.
5.A 在 中， ， ，BC=6，
∴ ， ，
如图，将 绕点 C 顺时针旋转 得到 ，连接 PF,EB.
由旋转的性质可知 ，CP=CF，PA=EF， ， 是等边三角形， ， ， ，∴ 当 P,F 在线段 EB 上时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段 EB 的长， ， ， 的最小值为 ，故选 A.
6.答案 3
解析 ∵ 线段 CM 绕点 C 顺时针旋转 得到线段CN， ， .
， ，
， ，
， ，
，∴ AN 的最小值为3.
故答案为3.
7.答案
解析 中， ，AB=3，AC=4，，
由旋转的性质可得 ， .
如图1，连接 AE，则 DE≥AE-AD（当点 D 在线段 AE 上时，等号成立）.
为定值，∴ 当 AE 的值最小时，AE-AD 的值最小.
如图2，当 且 D 在线段 AE 上时，AE 的值最小，DE 的值最小，
此时 , ,∵ D 是 AB 的中点， ，，∴ DE 的最小值为 .

展开更多......

收起↑