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　简单的三角恒等变换(二)
(时间:45分钟　分值:90分)
【基础全面练】
1.(5分)函数y=2sin 2x+sin 2x的最大值为 (　　)
A.1- B.3
C.+1 D.
2.(5分)= (　　)
A. B.1 C. D.
3.(5分)(2025·菏泽高一检测)已知sin α-sin(α+)=,则cos(-2α)= (　　)
A.-　 B.-
C.　 D.
4.(5分)公元前6世纪,古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时,发现了黄金分割数,其近似值为0.618,这是一个伟大的发现,这一数值也表示为a=2sin 18°,若a2+b=4,则= (　　)
A. B.2 C. D.4
5.(5分)若sin x+cos x=4-m,则实数m的取值范围是 (　　)
A.[2,6] B.[-6,6]
C.(2,6) D.[2,4]
6.(5分)(多选)下列各式中,值为的有 (　　)
A.sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°
B.cos 36°-cos 72°
C.
D.
7.(5分)喷泉是流动的艺术,美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受,若不考虑空气阻力,当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时,水柱在水平方向上移动的距离为D=sin 2α,能够达到的最高高度为H=(1-cos 2α)(如图所示,其中g为重力加速度).若tan α=,则H与D的比值为　　.
8.(5分)如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于Q点,当△POQ的面积大于时,设∠POQ=θ,则f(θ)=sin θsin (+θ)的取值范围为　　.
9.(10分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若x∈[0,],求函数的值域.
10.(10分)如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.
【综合应用练】
11.(5分)若f(x)=2tan x+,则f()的值是 (　　)
A.2 B.0 C.-2 D.-1
12.(5分)(多选)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则 (　　)
A.-2≤f(x)≤2
B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点
C.f(x)的最小正周期为π
D.直线x=π为f(x)图象的一条对称轴
13.(5分)(2025·日照高一检测)已知扇形AOB的半径为10,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,已知A(10,0),B(8,6),则的中点C的坐标为　　.
14.(5分)如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=　来截.
15.(10分)(2026·朔州高一检测)已知函数f(x)=cos 2(-x)-cos 2x.
(1)证明:f(x)≤;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)若函数y=f(ωx)-(ω>0)在区间[,)上存在2个零点和1个对称轴,求实数ω的取值范围.
　
答案解析
【基础全面练】
1.(5分)函数y=2sin 2x+sin 2x的最大值为 (　　)
A.1- B.3
C.+1 D.
【解析】选C.因为y=2sin 2x+sin 2x=sin 2x-cos 2x+1=sin (2x-)+1,
故当2x-+2kπ(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,函数y=2sin 2x+sin 2x取最大值+1.
2.(5分)= (　　)
A. B.1 C. D.
【解析】选A.=
===.
3.(5分)(2025·菏泽高一检测)已知sin α-sin(α+)=,则cos(-2α)= (　　)
A.-　 B.-
C.　 D.
【解析】选A.由题意sin α-(sin α+cos α)=,得:sin α-cos α=,即sin(α-)=.
故cos(-2α)=cos(π+-2α)=-cos 2(-α)=2sin2(α-)-1=2×()2-1=-.
4.(5分)公元前6世纪,古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时,发现了黄金分割数,其近似值为0.618,这是一个伟大的发现,这一数值也表示为a=2sin 18°,若a2+b=4,则= (　　)
A. B.2 C. D.4
【解析】选B.因为a=2sin 18°,a2+b=4,所以b=4-a2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,
所以=2.
5.(5分)若sin x+cos x=4-m,则实数m的取值范围是 (　　)
A.[2,6] B.[-6,6]
C.(2,6) D.[2,4]
【解析】选A.因为sin x+cos x=4-m,所以sin x+cos x=,
所以sinsin x+coscos x=,所以cos(x-)=.
因为-1≤cos(x-)≤1,所以-1≤≤1,所以2≤m≤6.
6.(5分)(多选)下列各式中,值为的有 (　　)
A.sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°
B.cos 36°-cos 72°
C.
D.
【解析】选AB.对A,sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°=sin 7°cos 23°+cos 7°sin 23°
=sin(7°+23°)=sin 30°=,A正确;
对B,cos 36°-cos 72°=cos(54°-18°)-cos(54°+18°)=2sin 54°sin 18°=2cos 36°cos 72°
=,B正确;
对C,=2,C错误;
对D,==
=,
设f(x)=(1-tan 37°tan 18°)x+1+tan 18°tan 37°,tan 37°tan 18°又f(1)=2,所以f(tan 55°)>f(tan 45°)=2,所以,D错误.
7.(5分)喷泉是流动的艺术,美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受,若不考虑空气阻力,当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时,水柱在水平方向上移动的距离为D=sin 2α,能够达到的最高高度为H=(1-cos 2α)(如图所示,其中g为重力加速度).若tan α=,则H与D的比值为　　.
【解题指南】先表示,然后结合二倍角公式进行化简即可求解.
【解析】=tan α=.
8.(5分)如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于Q点,当△POQ的面积大于时,设∠POQ=θ,则f(θ)=sin θsin (+θ)的取值范围为　(,)　.
【解析】由于△POQ的面积S=OP·OQsin θ=×1·cos θsin θ=sin 2θ>,
所以sin 2θ>,因为0<θ<,则0<2θ<π,则2θ∈(,),故θ∈(,).
又f(θ)=sin θsin (+θ)=[cos -cos (2θ+)]=-cos (2θ+),
而2θ+∈(,π),cos (2θ+)∈(-1,-),所以f(θ)∈(,).
9.(10分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
【解析】(1)因为f(x)=(sin x+cos x)2-2sin 2x=sin 2x+2sin xcos x+cos 2x-2sin 2x
=2sin xcos x+cos 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin (2x+),
所以f(x)的最小正周期为T==π.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)若x∈[0,],求函数的值域.
【解析】(2)当x∈[0,]时,2x∈[0,π],所以2x+∈[,],
所以sin (2x+)∈[-,1],所以函数f(x)的值域是[-1,].
10.(10分)如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.
【解析】过点B作BH⊥OA,垂足为H.
设∠OAD=θ(0<θ<),则∠BAH=-θ,
OA=2cos θ,BH=sin(-θ)=cos θ,AH=cos(-θ)=sin θ,
所以点B坐标为(2cos θ+sin θ,cos θ),
OB2=(2cos θ+sin θ)2+cos2θ=7+6cos 2θ+2sin 2θ=7+4sin(2θ+).
由0<θ<,知<2θ+,所以当θ=时,OB2取得最大值7+4.
【综合应用练】
11.(5分)若f(x)=2tan x+,则f()的值是 (　　)
A.2 B.0 C.-2 D.-1
【解析】选B.f(x)=2tan x+=2tan x+=2tan x-,因为tan =-1,
所以f()=2tan -=0.
12.(5分)(多选)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则 (　　)
A.-2≤f(x)≤2
B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点
C.f(x)的最小正周期为π
D.直线x=π为f(x)图象的一条对称轴
【解析】选AC.f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),
所以-2≤f(x)≤2,故A正确;
令2x-=kπ,k∈Z,可得x=+,k∈Z,满足x∈(0,π)的有,,故B错误;
f(x)的最小正周期为π,故C正确;
当x=π时,f(x)=-1,所以直线x=π不是f(x)图象的一条对称轴,故D错误.
13.(5分)(2025·日照高一检测)已知扇形AOB的半径为10,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,已知A(10,0),B(8,6),则的中点C的坐标为　(3,)　.
【解析】令∠AOC=α,则∠AOB=2α,tan 2α=,解得tan α=,即,
又sin2α+cos2α=1,α∈(0,),解得sin α=,cos α=,C(10×,10×),即C(3,).
14.(5分)如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=　或　来截.
【解析】设原正方形钢板的边长为a,截后的正方形钢板边长为b,则,.
又a=GC+CF=bsin x+bcos x,所以sin x+cos x=,所以sin(x+)=.
因为015.(10分)(2026·朔州高一检测)已知函数f(x)=cos 2(-x)-cos 2x.
(1)证明:f(x)≤;
【解析】(1)因为f(x)=-cos 2x=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+.
当2x-=2kπ+,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时,f(x)max=,故f(x)≤.
(2)求f(x)的单调递增区间;
【解析】(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
(3)若函数y=f(ωx)-(ω>0)在区间[,)上存在2个零点和1个对称轴,求实数ω的取值范围.
【解析】(3)y=f(ωx)-=sin(ωx-),设函数y=sin (ωx-)的最小正周期为T,
由题意可知,又4<ω<8,所以≤-,≤-,则或,
解得<ω≤或<ω≤,故实数ω的取值范围为(,]∪(,].

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