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　二倍角的正弦、余弦、正切公式
(时间:45分钟　分值:90分)
【基础全面练】
1.(5分)(2025·毕节高一检测)已知角α满足cos α=,则cos 2α= (　　)
A.　 B.-
C.　 D.-
2.(5分)(2025·全国二卷)已知0<α<π,cos ,则sin(α-)= (　　)
A. B. C. D.
3.(5分)(2025·阳江高一检测)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(3,4),则cos(2α+)= (　　)
A.-　 B.
C.-　 D.
4.(5分)(2026·深圳高一检测)已知=-2,则sin 2α+cos 2α= (　　)
A.- B.- C.1 D.
5.(5分)(多选)下列选项正确的是 (　　)
A.2cos215°-1=
B.tan 210°=
C.sin 30°sin 22.5°sin 67.5°=
D.=-
6.(5分)计算:=　　.
7.(5分)设sin 2α=-sin α,α∈(,π),则tan 2α的值是　　.
8.(5分)(2025·南宁高一检测)已知sin 2α=,则cos2(α+)=　　.
9.(10分)已知<α<,化简+-.
10.(10分)(2025·西安高一检测)已知α是第四象限角,且cos α=.
(1)求sin 2α的值;
(2)求sin(2α-)的值.
【综合应用练】
11.(5分)(2026·阜阳高一检测)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,如图所示,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,记直角三角形中较大的锐角为α,大正方形的边长为a,小正方形的边长为b.若,则= (　　)
A. B. C. D.
12.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ=-2,则= (　　)
A.- B.- C. D.
13.(5分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)= (　　)
A.　 B.　 C.-　 D.-
14.(5分)函数f(x)=sin(2x+)-3cos x的最小值为　　.
15.(10分)(2025·新乡高一检测)已知sin(θ+)+2cos(θ-)=0.
(1)求tan θ的值;
(2)求tan(θ+)的值;
(3)求2sin 2θ-cos2θ的值.
　答案解析
【基础全面练】
1.(5分)(2025·毕节高一检测)已知角α满足cos α=,则cos 2α= (　　)
A.　 B.-
C.　 D.-
【解析】选D.因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=2×()2-1=-.
2.(5分)(2025·全国二卷)已知0<α<π,cos ,则sin(α-)= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意得,cos α=2cos2-1=-,且α∈(,π),所以sin α=,
则sin(α-)=sin αcos -cos αsin -(-)×.
3.(5分)(2025·阳江高一检测)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(3,4),则cos(2α+)= (　　)
A.-　 B.
C.-　 D.
【解析】选A.因为角α的终边经过点P(3,4),所以r==5,
由三角函数的定义知:cos α=,sin α=,所以cos 2α=2cos2α-1=2×()2-1=-,
sin 2α=2sin αcos α=2×,
所以cos(2α+)=cos 2αcos -sin 2αsin =(-)×-=-.
4.(5分)(2026·深圳高一检测)已知=-2,则sin 2α+cos 2α= (　　)
A.- B.- C.1 D.
【解析】选A.=-2,解得tan α=-2,
所以sin 2α+cos 2α==-.
5.(5分)(多选)下列选项正确的是 (　　)
A.2cos215°-1=
B.tan 210°=
C.sin 30°sin 22.5°sin 67.5°=
D.=-
【解析】选ABD.对于A:2cos 215°-1=cos(2×15°)=cos 30°=,故A正确;
对于B:×tan 210°=×tan(180°+30°)=×tan 30°=,故B正确;
对于C:sin 30°sin 22.5°sin 67.5°=sin 30°sin 22.5°sin(90°-22.5°)
=sin 30°sin 22.5°cos 22.5°=sin 45°=,故C错误;
对于D:由两角和的正切公式:tan(A+B)=,
代入A=48°,B=72°,则=tan(48°+72°)=tan 120°=-tan 60°=-,故D正确.
6.(5分)计算:=　2　.
【解析】=2.
7.(5分)设sin 2α=-sin α,α∈(,π),则tan 2α的值是　　.
【解析】因为sin 2α=-sin α,所以2sin αcos α=-sin α.由α∈(,π)知sin α≠0,
所以cos α=-,所以sin α=,tan α=-,所以tan 2α=.
8.(5分)(2025·南宁高一检测)已知sin 2α=,则cos2(α+)=　　.
【解析】由二倍角公式得cos2(α+)=,
因为sin 2α=,所以.
9.(10分)已知<α<,化简+-.
【解析】由<α<,得sin α-cos α>0,sin α+cos α>0,
所以+-
=+-
=+-
=2cos α+sin α-cos α-sin α-cos α=0.
10.(10分)(2025·西安高一检测)已知α是第四象限角,且cos α=.
(1)求sin 2α的值;
【解析】(1)因为cos α=,且α是第四象限角,所以sin α=-=-=-,
所以sin 2α=2sin αcos α=2×(-)×=-.
(2)求sin(2α-)的值.
【解析】(2)因为cos 2α=2cos2α-1=2×()2-1=-,
所以sin(2α-)=sin 2α-cos 2α=×(-)-×(-)=.
【综合应用练】
11.(5分)(2026·阜阳高一检测)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,如图所示,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,记直角三角形中较大的锐角为α,大正方形的边长为a,小正方形的边长为b.若,则= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.==
=sin α(sin α-cos α)=,
故10tan 2α-13tan α-3=0,解得tan α=或-.
因为α是直角三角形中较大的锐角,所以<α<,故tan α>0,所以tan α=,
故,又sin 2α+cos 2α=1,解得cos α=,sin α=,
又直角三角形的直角边长分别为asin α,acos α,则b=asin α-acos α,
所以=sin α-cos α=-.
12.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ=-2,则= (　　)
A.- B.- C. D.
【解析】选C.原式===sin2θ+sin θcos θ=
.
13.(5分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)= (　　)
A.　 B.　 C.-　 D.-
【解析】选B.因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,而cos αsin β=,
因此sin αcos β=,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×()2=.
14.(5分)函数f(x)=sin(2x+)-3cos x的最小值为　-4　.
【解析】因为f(x)=sin(2x+)-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1,
令t=cos x,则t∈[-1,1],所以f(t)=-2t2-3t+1.
又函数f(t)图象的对称轴t=-∈[-1,1],且开口向下,
所以当t=cos x=1时,f(x)有最小值-4.
15.(10分)(2025·新乡高一检测)已知sin(θ+)+2cos(θ-)=0.
(1)求tan θ的值;
【解析】(1)因为sin(θ+)+2cos(θ-)=0,所以-cos θ+2sin θ=0,
所以2sin θ=cos θ,则tan θ=.
(2)求tan(θ+)的值;
【解析】(2)tan(θ+)==-3.
(3)求2sin 2θ-cos2θ的值.
【解析】(3)2sin 2θ-cos2θ==.

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