资源简介

　　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
(时间:45分钟　分值:90分)
【基础全面练】
1.(5分)= (　　)
A. B.- C.- D.
2.(5分)(2025·大理高一检测)已知tan(-α)=-3,则= (　　)
A.-3　 B.3　 C.　 D.-
3.(5分)若α-β=60°,则tan α-tan β-tan αtan β= (　　)
A.0　 B.1　 C.　 D.2
4.(5分)在△ABC中,内角A,B满足tan Atan B=3,则△ABC为 (　　)
A.锐角三角形　 B.直角三角形
C.钝角三角形　 D.等腰三角形
5.(5分)已知sin α=且α是锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为 (　　)
A. B. C. D.
6.(5分)(多选)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则 (　　)
A.<α<　 B.β<<α
C.<α<β　 D.<β<α
7.(5分)已知2tan θ-tan(θ+)=7,则tan θ=　　.
8.(5分)tan 15°+tan 105°=　　.
9.(5分)已知α,β为锐角,sin α=,sin(α-β)=-,则tan(α+β)=　　.
10.(10分)已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值.
【综合应用练】
11.(5分)(2026·枣庄高一检测)已知cos (-α)=,sin (+β)=-,α∈(,),β∈(0,),则sin (α+β)= (　　)
A. B.- C. D.-
12.(5分)(多选)已知α,β均为锐角,且2sin(α+β)=3sin(α-β),则 (　　)
A.tan α=5tan β
B.5tan α=tan β
C.若α+β=,则tan β=
D.tan(α-β)的最大值为
13.(5分)已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为　　.
14.(10分)已知tan(α+β)=2,tan(β-α)=3.
(1)求tan 2α的值;
(2)求tan 2β的值.
15.(10分)如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.
答案解析
【基础全面练】
1.(5分)= (　　)
A. B.- C.- D.
【解析】选A.由题意可得
=tan (-)=tan ,所以.
2.(5分)(2025·大理高一检测)已知tan(-α)=-3,则= (　　)
A.-3　 B.3　 C.　 D.-
【解析】选D.因为tan(-α)=-3,所以=-3,解得tan α=-2,
所以=-.
3.(5分)若α-β=60°,则tan α-tan β-tan αtan β= (　　)
A.0　 B.1　 C.　 D.2
【解析】选C.由α-β=60°,可得:tan(α-β)=tan 60°=,又因为tan(α-β)=,
所以tan α-tan β=+tan αtan β,即tan α-tan β-tan αtan β=.
4.(5分)在△ABC中,内角A,B满足tan Atan B=3,则△ABC为 (　　)
A.锐角三角形　 B.直角三角形
C.钝角三角形　 D.等腰三角形
【解析】选A.由A,B∈(0,π),且tan Atan B=3>0,得A和B均为锐角,
又tan C=-tan(A+B)=-=>0,
又C∈(0,π),所以C也为锐角,故△ABC为锐角三角形.
5.(5分)已知sin α=且α是锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.sin α=且α是锐角,可得cos α=,tan α=;
又tan β=-3,且β为钝角,故α+β∈(,).
tan(α+β)==-1.
α+β的值为.
6.(5分)(多选)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则 (　　)
A.<α<　 B.β<<α
C.<α<β　 D.<β<α
【解析】选AB.因为α为锐角,sin α-cos α=>0,sin α>cos α,tan α>1,所以<α<.
又tan α+tan β+tan αtan β=,所以tan(α+β)=,
所以α+β=,又α>,所以β<<α.
7.(5分)已知2tan θ-tan(θ+)=7,则tan θ=　2　.
【解析】因为2tan θ-tan(θ+)=7,所以2tan θ-=7,
即2tan θ-2tan2θ-tan θ-1=7-7tan θ,即2tan2θ-8tan θ+8=0,
即2(tan θ-2)2=0,解得tan θ=2.
8.(5分)tan 15°+tan 105°=　-2　.
【解析】tan 15°+tan 105°=tan(45°-30°)+tan(45°+60°)=+
=-2.
9.(5分)已知α,β为锐角,sin α=,sin(α-β)=-,则tan(α+β)=　-　.
【解析】因为α,β为锐角,所以0<α<,0<β<,所以-<α-β<,所以cos(α-β)>0.
因为sin α=,所以cos α=,tan α==2,
因为sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=,
sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=-×(-)=,
所以cos β=,tan β==7.
所以tan(α+β)==-.
10.(10分)已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值.
【解析】因为tan β=-,tan(α-β)=,
所以tan α=tan[(α-β)+β]=,
tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1.
因为tan α=>0,tan β=-<0,所以α∈(0,),β∈(,π),所以α-β∈(-π,0).
又因为tan(α-β)=>0,所以α-β∈(-π,-),2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).
又tan(2α-β)=1,所以2α-β=-.
【综合应用练】
11.(5分)(2026·枣庄高一检测)已知cos (-α)=,sin (+β)=-,α∈(,),β∈(0,),则sin (α+β)= (　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选A.因为α∈(,),则-α∈(-,0),且cos (-α)=,可得sin (-α)=-=-,
又因为β∈(0,),则+β∈(,),
且sin (+β)=-,可得cos (+β)=-=-,
所以sin (α+β)=sin [(+β)-(-α)-π]=-sin [(+β)-(-α)]
=-sin (+β)cos (-α)+cos (+β)sin (-α)=-(-)×+(-)×(-)=.
12.(5分)(多选)已知α,β均为锐角,且2sin(α+β)=3sin(α-β),则 (　　)
A.tan α=5tan β
B.5tan α=tan β
C.若α+β=,则tan β=
D.tan(α-β)的最大值为
【解析】选ACD.由2sin(α+β)=3sin(α-β),
得2(sin αcos β+cos αsin β)=3(sin αcos β-cos αsin β),
即sin αcos β=5cos αsin β,由α,β为锐角,得cos α≠0,cos β≠0,
对于A,B,tan α=5tan β,A正确,B错误;
对于C,由α+β=,得tan(α+β)==1,
即5tan 2β+6tan β-1=0,而tan β>0,解得tan β=,C正确;
对于D,tan(α-β)=≤,
当且仅当5tan β=,即tan β=时取等号,D正确.
13.(5分)已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为　　.
【解析】由(tan α-1)(tan β-1)=2,可得tan α+tan β=tan αtan β-1,所以tan (α+β)==-1.
由α,β是锐角,可得α+β∈(0,π),所以α+β=.
14.(10分)已知tan(α+β)=2,tan(β-α)=3.
(1)求tan 2α的值;
【解析】(1)tan 2α=tan [(α+β)-(β-α)]==-.
(2)求tan 2β的值.
【解析】(2)tan 2β=tan [(α+β)+(β-α)]==-1.
15.(10分)如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.
【解析】如图,作AE⊥CD于点E.
因为AB∥CD,AB=9 m,CD=15 m,所以DE=9 m,EC=6 m.
设AE=x,∠CAE=α.
因为∠CAD=45°,所以∠DAE=45°-α.
在Rt△AEC和Rt△AED中,有tan α=,tan(45°-α)=.
因为tan(45°-α)=,所以,化简得x2-15x-54=0,
解得x=18,x=-3(舍去).
即两座建筑物之间的距离BD为18 m.

展开更多......

收起↑