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　正切函数的性质与图象
(时间:45分钟　分值:85分)
【基础全面练】
1.(5分)函数y=的定义域为 (　　)
A.[kπ,kπ+),k∈Z B.[kπ,kπ+),k∈Z
C.(kπ-,kπ+],k∈Z D.(kπ-,kπ],k∈Z
2.(5分)函数y=tan (x-),x∈(-,)的值域为 (　　)
A.(-,1) B.(-1,)
C.(1,) D.(,1)
3.(5分)下列区间中,是函数f(x)=3tan (-2x+)的单调递减区间的是 (　　)
A.(-π,-)　 B.(-,)
C.(-,)　 D.(0,π)
4.(5分)不等式tan x≤-1的解集是 (　　)
A.(2kπ-,2kπ-](k∈Z) B.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
C.(kπ-,kπ-](k∈Z) D.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)
5.(5分)已知函数f(x)=tan ωx(0<ω<1),且经过点(,1),则函数f(x)=tan ωx的最小正周期是 (　　)
A. B.π
C.2π D.4π
6.(5分)(多选)(2025·枣庄高一检测)已知函数f(x)=tan(x+),则 (　　)
A.f(x)的定义域和值域均为R
B.f(x)的最小正周期为2
C.f(x)在区间(0,2)内单调递增
D.f(x)的图象关于点(,0)对称
7.(5分)已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则它们的大小关系为　　(用“>”连接).
8.(5分)函数y=tan2x-2tan x(|x|≤)的值域为　　.
9.(5分)已知函数f(x)=tan(2x+φ)(0<φ<)的图象关于点(-,0)对称,求f(x)的单调递增区间.
10.(10分)已知函数f(x)=3tan(-).
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)试比较f(π)与f()的大小.
【综合应用练】
11.(5分)函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(,)内的图象是 (　　)
12.(5分)(2025·天津高一检测)设函数f(x)=2tan(ωx-)(ω>0)的图象的一个对称中心为(,0),则f(x)的一个最小正周期是 (　　)
A.　 B.　 C.　 D.
13.(5分)(2025·昆明高一检测)已知函数y=tan ωx在区间(-,)内单调递减,则 (　　)
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤-1
14.(5分)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空):
(1)tan 　　tan ;
(2)tan 　　tan (-).
15.(10分)已知函数f(x)=tan (ωx+)(ω>0).
(1)若函数f(x)的最小正周期为π,求f(x)的定义域及单调递增区间;
(2)若函数f(x)在区间(,)上单调递增,求ω的取值范围.
答案解析
【基础全面练】
1.(5分)函数y=的定义域为 (　　)
A.[kπ,kπ+),k∈Z B.[kπ,kπ+),k∈Z
C.(kπ-,kπ+],k∈Z D.(kπ-,kπ],k∈Z
【解析】选A.由题意得:tan (x+)-1≥0,故tan (x+)≥1,
故kπ+≤x+2.(5分)函数y=tan (x-),x∈(-,)的值域为 (　　)
A.(-,1) B.(-1,)
C.(1,) D.(,1)
【解析】选A.设z=x-,因为x∈(-,),所以z∈(-,).
因为正切函数y=tan z在区间(-,)上单调递增,且tan (-)=-,tan =1,
所以tan z∈(-,1).
3.(5分)下列区间中,是函数f(x)=3tan (-2x+)的单调递减区间的是 (　　)
A.(-π,-)　 B.(-,)
C.(-,)　 D.(0,π)
【解析】选C.令kπ-π<-2x+4.(5分)不等式tan x≤-1的解集是 (　　)
A.(2kπ-,2kπ-](k∈Z) B.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
C.(kπ-,kπ-](k∈Z) D.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)
【解析】选C.由于正切函数是周期等于π的周期函数,由不等式tan x≤-1,结合正切函数的图象,可得在一个周期(-,)上,不等式的解集为(-,-],故在R上,不等式tan x≤-1的解集是(kπ-,kπ-],k∈Z.
5.(5分)已知函数f(x)=tan ωx(0<ω<1),且经过点(,1),则函数f(x)=tan ωx的最小正周期是 (　　)
A. B.π
C.2π D.4π
【解析】选C.因为函数过点(,1),所以tan =1,则=kπ+(k∈Z),
所以ω=2k+(k∈Z),又0<ω<1,所以ω=,所以函数的最小正周期为T==2π.
6.(5分)(多选)(2025·枣庄高一检测)已知函数f(x)=tan(x+),则 (　　)
A.f(x)的定义域和值域均为R
B.f(x)的最小正周期为2
C.f(x)在区间(0,2)内单调递增
D.f(x)的图象关于点(,0)对称
【解析】选BD.对于A,由题可得x+≠+kπ(k∈Z),即x≠+2k(k∈Z),
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠+2k(k∈Z)},值域为R,故A错误;
对于B,函数f(x)的最小正周期为=2,故B正确;
对于C,由A得,当k=0时,x≠,即f(x)在x=处无定义,故C错误;
对于D,由于y=tan x的图象关于点(,0)(k∈Z)对称,
令x+(k∈Z),则x=-+k(k∈Z),
令k=1,则x=,故f(x)的图象关于点(,0)对称,故D正确.
7.(5分)已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则它们的大小关系为　a>c>b　(用“>”连接).
【解析】因为0<1<<2<3<π,所以tan 1>0,tan 2<0,tan 3<0,
由正切函数的性质得y=tan x在(,π)上单调递增,所以tan 3>tan 2,故tan 1>tan 3>tan 2,即a>c>b.
8.(5分)函数y=tan2x-2tan x(|x|≤)的值域为　[-1,3+2]　.
【解析】令u=tan x,因为|x|≤,所以由正切函数的单调性可知u∈[-,],
所以原函数可化为y=u2-2u,u∈[-,],
因为二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1的图象开口向上,对称轴为直线u=1,
所以当u=1时,ymin=-1,
当u=-时,ymax=3+2,所以原函数的值域为[-1,3+2].
9.(5分)已知函数f(x)=tan(2x+φ)(0<φ<)的图象关于点(-,0)对称,求f(x)的单调递增区间.
【解析】令2x+φ=,k∈Z,可得:x=-,k∈Z,结合0<φ<,
令k=0,可得x=-,得-=-,解得φ=,
再令kπ-<2x+所以f(x)的单调递增区间为(-+,+),k∈Z.
10.(10分)已知函数f(x)=3tan(-).
(1)求f(x)的单调递减区间;
【解析】(1)f(x)=3tan(-)=-3tan(-),由kπ--因为y=3tan(-)在(4kπ-,4kπ+),k∈Z上单调递增,
所以f(x)=-3tan(-)在(4kπ-,4kπ+),k∈Z上单调递减.
故原函数的单调递减区间为(4kπ-,4kπ+),k∈Z.
(2)试比较f(π)与f()的大小.
【解析】(2)f(π)=3tan(-)=3tan(-)=-3tan ,f()=3tan(-)=3tan(-)=-3tan ,
因为0<,且y=tan x在(0,)上单调递增,所以tan f().
【综合应用练】
11.(5分)函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(,)内的图象是 (　　)
【解析】选D.当当πsin x,y=2sin x,且-212.(5分)(2025·天津高一检测)设函数f(x)=2tan(ωx-)(ω>0)的图象的一个对称中心为(,0),则f(x)的一个最小正周期是 (　　)
A.　 B.　 C.　 D.
【解析】选C.因为函数f(x)=2tan(ωx-)的图象的一个对称中心为(,0),则ω-,k∈Z,解得ω=3k+2,k∈Z,且ω>0,所以函数f(x)的最小正周期为T=,k∈N,
对于选项A:若,此时k N,不符合题意,故A错误;
对于选项B:若,此时k N,不符合题意,故B错误;
对于选项C:若,解得k=1,故C符合题意;
对于选项D:若,此时k N,不符合题意,故D错误.
13.(5分)(2025·昆明高一检测)已知函数y=tan ωx在区间(-,)内单调递减,则 (　　)
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤-1
【解析】选B.因为y=tan ωx在(-,)内单调递减,所以ω<0且T=≥π,所以-1≤ω<0.
14.(5分)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空):
(1)tan 　<　tan ;
(2)tan 　<　tan (-).
【解析】(1)tan =tan ,因为0<,y=tan x在(0,)上单调递增,
所以tan (2)tan =tan ,tan (-)=tan ,因为0<,
y=tan x在(0,)上单调递增,所以tan 15.(10分)已知函数f(x)=tan (ωx+)(ω>0).
(1)若函数f(x)的最小正周期为π,求f(x)的定义域及单调递增区间;
【解析】(1)由题意可知,函数f(x)的最小正周期T==π,则ω=1,f(x)=tan (x+).
x+≠kπ+,k∈Z,即x≠kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的定义域为;
令kπ-所以函数f(x)的单调递增区间为(kπ-π,kπ+),k∈Z.
(2)若函数f(x)在区间(,)上单调递增,求ω的取值范围.
【解析】(2)令t=ωx+,因为x∈(,),所以t∈(+,+),
因为函数f(x)在(,)上单调递增,所以t∈(+,+) (kπ-,kπ+),k∈Z,
所以,k∈Z,即,则有,
解得-则0<ω≤或1≤ω≤,即ω的取值范围为(0,]∪[1,].

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