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第1讲　交变电流的产生和描述
学习目标
1.理解正弦式交变电流的产生过程，能正确书写交变电流的函数表达式。
2.理解并掌握交变电流图像的意义。
3.理解描述交变电流的几个物理量，会计算交变电流的有效值。
4.知道交变电流四值在具体情况下的应用。
1.
2.
基础自测
1.(人教版选择性必修第二册P53T4改编)如图所示，KLMN是一个竖直的矩形导线框，全部处于磁感应强度为B的水平方向的匀强磁场中，线框面积为S，MN边水平，线框绕某竖直固定轴以角速度ω逆时针(俯视)匀速转动。在MN边与磁场方向的夹角达到30°的时刻(图示位置)，导线框中产生的瞬时电动势e的大小和线框此时电流的方向分别为(　　)
A.BSω，电流方向为KNMLK
B.BSω，电流方向为KNMLK
C.BSω，电流方向为KLMNK
D.BSω，电流方向为KLMNK
答案　B
2.(人教版选择性必修第二册P57T7改编)如图所示为一交流电的电流i随时间t变化的图像，该交流电的电流的有效值为(　　)
A.7 A B.5 A
C.7 A D.5 A
答案　D
考点一　交变电流的产生及变化规律
1.交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
　　规律 物理量　　　 函数表达式 图像
磁通量 Φ=Φmcos ωt=BScos ωt
电动势 e=Emsin ωt=NωBSsin ωt
电压 u=Umsin ωt=sin ωt
电流 i=Imsin ωt=sin ωt
2.交变电流瞬时值表达式
(1)确定正弦式交变电流的峰值:根据已知图像读出或由公式Em=NωBS求出相应峰值。
(2)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。如:
①线圈从中性面位置开始计时，则i-t图像为正弦函数图像，函数表达式为i=Imsin ωt。
②线圈从垂直于中性面的位置开始计时，则i-t图像为余弦函数图像，函数表达式为i=Imcos ωt。
例1 (2023·辽宁卷，4)如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动，且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是(　　)
答案　C
解析　设导体棒的长度为l，做匀速圆周运动的线速度大小为v，经过一段时间t导体棒的速度方向与初始速度方向的夹角为θ，则θ=，如图所示，此时导体棒有效切割速度为v1=vcos θ，则导体棒在匀速转动的过程中，导体棒两端的电势差为u=Blv1=Blvcos θ=Blvcos，C正确，A、B、D错误。
1. (2025·江苏南京模拟)在以下四种情景中，线圈中产生的电流与其正下方所示的i-t图线相对应的是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案　A
解析　图甲中，线圈中产生的电流为i==cos ωt，故A正确;图乙中，线圈中产生的电流为i==sin ωt=sin ωt，故B错误;图丙中，线圈处于辐射状的磁场中，线圈两边处的磁感应强度大小不变，且两边始终垂直切割磁感线，产生恒定不变的感应电动势，线圈中的电流不变，故C错误;图丁中，线圈中产生的电流为i==sin ωt，故D错误。
2.(2024·江苏南京期末)图为航天员360°转动训练的装置，两个平行的半径均为R的金属大圆环连接着四条间隔相等的金属杆，杆的长度为d，地磁场垂直于杆向下的磁感应强度的分量为B，假设水平分量很小可忽略不计，从右向左看，环以初始角速度ω绕圆心O、O'转动，下列分析正确的是(　　)
A.每条杆都没有受到安培阻力作用，装置能一直匀速转动下去
B.每条金属杆在经过环最高点时切割磁感线产生的感应电动势为BdRω
C.每条金属杆从与圆心O、O'等高开始转动一周产生正弦式感应电动势
D.每个圆环也能产生感应电动势
答案　C
解析　转动过程中，O、O'上方的两杆与下方两杆产生的感应电动势叠加，有感应电流，则每条杆都受安培力作用，装置不能一直匀速转动下去，故A错误;每条金属杆在经过环最高点时，速度与磁场垂直，感应电动势为E=Bdv=BdωR，故B错误;每条金属杆从与圆心O、O'等高开始转动时，杆速度方向与磁场平行，则感应电动势从零开始正弦式变化，故C正确;通过圆环的磁通量不变，不会产生感应电动势，故D错误。
考点二　交变电流有效值的求解
1.正弦式交变电流的有效值的计算
I=，U=，E=。
2.非正弦式交变电流的有效值的计算
(1)计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”:“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”，列式求解。
(2)分段计算电热求和得出一个周期内产生的总热量。
(3)利用两个公式Q=I2Rt和Q=t可分别求得电流有效值和电压有效值。
(4)若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I=、U=求解。
例2 (2024·河北卷，4)R1、R2为两个完全相同的定值电阻，R1两端的电压随时间周期性变化的规律如图甲所示(三角形脉冲交流电压的峰值是有效值的倍)，R2两端的电压随时间按正弦规律变化如图乙所示，则两电阻在一个周期T内产生的热量之比Q1∶Q2为(　　)
A.2∶3 B.4∶3 C.2∶ D.5∶4
答案　B
解析　设R1、R2的阻值均为R，根据题中所给信息，结合题图图像可得Q1=·+·=T，Q2=T=T，则=，B正确。
3.如图是某一线圈通过的交流电的i-t图像前半个周期为正弦波形的，则一个周期内该电流的有效值为(　　)
A.I0 B.I0 C.I0 D.I0
答案　B
解析　设该电流的有效值为I，由I2RT=R·+(2I0)2R·，解得I=I0，故B正确。
考点三　交变电流“四值”的理解和计算
交变电流的“四值”
物理量 物理含义 重要关系 适用情况及说明
瞬时值 交变电流某一时刻的值　　 e=Emsin ωt i=Imsin ωt 计算线圈某时刻的受力情况
峰值 最大的瞬时值 Em=NωBS Im= 讨论电容器的击穿电压
有效值 跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值　　 E= U= I= 适用于正(余)弦式交变电流 (1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等) (2)电气设备“铭牌”上所标的一般是有效值 (3)保险丝的熔断电流为有效值
平均值
=Bl =n = 计算通过导线横截面的电荷量
例3 (2024·广东卷，1)将阻值为50 Ω的电阻接在正弦式交流电源上。电阻两端电压随时间的变化规律如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.该交流电的频率为100 Hz
B.通过电阻电流的峰值为0.2 A
C.电阻在1 s内消耗的电能为1 J
D.电阻两端电压表达式为u=10sin(100πt) V
答案　D
解析　由题图可知交流电的周期为0.02 s，则频率为f==50 Hz，故A错误;根据图像可知电压的峰值为10 V，根据欧姆定律可知电流的峰值Im== A=0.2 A，故B错误;电流的有效值为I==0.2 A，所以电阻在1 s内消耗的电能为W=I2Rt=0.22×50×1 J=2 J，故C错误;根据图像可知其电压表达式为u=Umsin ωt=10sinV=10sin(100πt)V，故D正确。
4.(2025·江苏镇江月考)如图所示，N=100匝正方形闭合金属线圈abcd边长为L=1 m，电阻为R=20 Ω。线圈处于磁感应强度大小为B=2 T的匀强磁场中，绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴OO'以角速度ω=1 rad/s匀速转动，ab边距轴。则(　　)
A.若从图示时刻开始计时，则感应电动势的表达式e=200sin t V
B.感应电动势的有效值为E=200 V
C.从图示时刻开始转动90°的过程中，流过线圈的电荷量为q=10 C
D.从图示时刻开始转动90°的过程中，线圈产生的焦耳热为Q=100π J
答案　C
解析　感应电动势的最大值为Em=NωBS=200 V，则有效值为E==100 V;由图示时刻开始计时e的瞬时值表达式为e=Emcos(ωt) V=200cos(t) V，故A、B错误;从图示时刻开始转动90°的过程中，通过电阻R的电荷量为q=Δt=·Δt==10 C，故C正确;电流的有效值为I==5 A，从图示时刻开始转动90°所用时间为t=T=×= s，则产生的焦耳热为Q=I2Rt，解得Q=500π J，故D错误。
5.(2025·江苏无锡模拟)如图甲所示，交流发电机的矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，穿过该线圈的磁通量Φ随时间t的变化规律如图乙所示。线圈的匝数为10，电流表A可看作理想电流表。下列说法正确的是(　　)
A.1 min内电流方向改变30次
B.t=0.5 s时感应电动势最大
C.t=0.5 s时交流电流表示数为零
D.线圈感应电动势的最大值为2 V
答案　D
解析　由图像可知周期为T=2.0 s，所以1 min内经历30个周期，一个周期电流方向变两次，故
1 min内电流方向改变60次，故A错误;由题图乙知t=0.5 s时磁通量的变化率为零，所以此时感应电动势为零，最小，故B错误;交流电流表示数为有效值，不等于零，故C错误;交流发电机线圈转动一周的过程中，线圈中感应电动势的最大值为Em=NωBS=NΦm·=10××π V=2 V，故D正确。
A级　基础对点练
对点练1　交变电流的产生及变化规律
1.(2024·江苏盐城期末)如图所示，某款发电机示意图，矩形线框置于水平向右的匀强磁场中，中心轴OO'与磁场垂直，E、F端分别接在相互绝缘的两个半圆环上，让半圆环和线框一起顺时针转动，两个半圆环在转动过程中先后分别和两个固定电刷C、D接触，初始时刻线框平面与磁场平行，通过电阻R的电流i(以向右为正方向)随时间t变化的图像正确的是(　　)
答案　D
解析　根据右手定则可知，通过电阻R的电流方向始终是向左;题图所示位置切割磁感线的速度与磁感线垂直，电流最大，所以通过电阻R的电流从图示位置开始随时间变化的关系为i=
-，故D正确。
2.(2025·江苏扬州二模)我市某兴趣小组利用地磁场探究交变电流的规律，如图甲所示，线圈在地磁场中匀速转动，转轴OO'沿东西方向水平放置，产生的交变电流i随时间t变化关系图像如图乙所示。已知地磁场方向斜向下，则(　　)
A.t=0时刻，线圈在竖直面内
B.t=时刻，线圈在水平面内
C.若仅增加转速，Im变小
D.若仅将转轴沿南北方向水平放置，Im变小
答案　D
解析　由题图乙可知，t=0时感应电流为0，此时穿过线圈的磁通量最大，线圈处于与磁场方向垂直的平面，故A错误;由题图乙可知，t=时感应电流最大，此时穿过线圈的磁通量最小，线圈处于与磁场方向平行的平面，故B错误;若仅增加转速，线圈产生的感应电动势最大值增大，则Im变大，故C错误;若仅将转轴沿南北方向水平放置，则地磁场水平分量一直与线圈平面平行，只有地磁场的竖直分量穿过线圈，所以线圈产生的感应电动势最大值变小，则Im变小，故D正确。
3.(2025·江苏扬州模拟)某兴趣小组设计了如图所示的发电装置，在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域圆心角α均为，磁场均沿半径方向，矩形线圈abcd以一定的角速度绕中心轴逆时针匀速转动，bc和ad边同时进入磁场，且所经过处的磁感应强度大小相等，从bc边进入上方磁场时开始计时，电流从c→b为正方向，则下列图像正确的是(　　)
答案　A
解析　从bc边进入上方磁场时开始计时，由右手定则可知电流从c→b，为正方向;设bc=L1、ab=L2、线圈转动的角速度为ω，则线圈进入磁场时产生的感应电流I===，该电流存在的时间为t=T=;线圈继续转过的过程中不切割磁感线，无感应电流;继续转过时，bc边进入下方磁场，同理可知产生的电流为I=、方向b→c，为负方向，该电流存在的时间为t=;线圈继续转过的过程中不切割磁感线，无感应电流;故A正确。
对点练2　交变电流有效值的求解
4.(2024·江苏省锡中开学考试)现在市场上的调光电灯、调速风扇是用可控硅电子元件来实现调节的。如图为一个经过元件调节后加在电灯上的电压，加在电灯上的电压是(　　)
A.U0 B.U0 C.U0 D.U0
答案　B
解析　设加在电灯的有效电压为U，有+0×=T，得U=U0，故B正确。
5.将一个阻值为R的电阻接在电压为u=220·sin (314t) V的正弦式交流电源上，在1 s内产生的热量为Q，若将该电阻接在电压为110 V的直流电源上，在4 s内其产生的热量为(　　)
A. B.Q C.2Q D.4Q
答案　B
解析　正弦式交变电流的有效值为U== V=220 V，根据Q=t可得，电阻在1 s内产生的热量为Q=，该电阻接在电压为110 V的直流电源上时在4 s内其产生的热量Q'=×4=Q，故B正确。
6.两个相同的电阻，分别通以如图甲、乙所示的两种交变电流，其中图乙的电流前半周期是直流电，后半周期是正弦式电流，则在一个周期内，甲、乙两种电流在相同电阻上产生的焦耳热之比等于(　　)
A.2∶1 B.3∶2 C.4∶3 D.5∶4
答案　C
解析　由电流热效应有，一个周期内Q甲=RT，Q乙=R+R×=RT，则=，故C正确。
对点练3　交变电流“四值”的理解和计算
7.(2024·江苏南京师大高三期末)图甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，矩形线圈ABCD绕垂直于磁场方向的水平轴OO'沿逆时针方向匀速转动，t=0时刻线圈从中性面开始转动，电压传感器显示其产生的电压如图乙所示，下列选项正确的是(　　)
A.线圈的转速为5π r/s
B.传感器显示的交流电压表达式为u=12sin(5πt) V
C.线圈两端电压的有效值为6 V
D.该交变电流可以直接加在击穿电压为6 V的电容器上
答案　B
解析　根据题图乙可知，线圈的转速为 r/s=2.5 r/s，故A错误;传感器显示的交流电压表达式为u=umaxsin t=12sin(5πt) V，故B正确;线圈两端电压的有效值为 V=6 V，故C错误;由于电压最大值12 V>6 V，可知该交变电流不能够直接加在击穿电压为6 V的电容器上，故D错误。
8.如图所示，矩形线框ABCD以恒定的角速度ω绕对角线AC转动。AC的左侧存在着垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，已知AB长为l1，BC长为l2，线框电阻为R。t=0时刻线框平面与纸面重合，下列说法正确的是(　　)
A.矩形线框该时刻的电流值最大
B.矩形线框产生的感应电动势有效值为Bl1l2ω
C.矩形线框转过半圈过程中产生的热量为
D.矩形线框从图示位置转过180°过程中，通过线框任意横截面的电荷量为
答案　D
解析　矩形线框该时刻磁通量最大，感应电动势最小，则感应电流值最小，A错误;矩形线框产生的感应电动势最大值Em=Bωl1l2，有效值为E==Bl1l2ω，B错误;矩形线框转过半圈过程中产生的热量为Q==，C错误;矩形线框从图示位置转过180°过程中，通过线框任意横截面的电荷量为q=Δt==，D正确。
B级　综合提升练
9.(2025·江苏镇江模拟)如图所示，空间中分布着磁感应强度大小为B的匀强有界磁场，EF是其左边界，一面积为S的n匝圆形金属线圈垂直于磁场放置，圆形线圈的圆心O在EF上，线圈电阻为R，若线圈以角速度ω绕EF匀速转动，并从图示位置开始计时，则(　　)
A.t=时，线圈中的感应电流最大
B.0到时间内，通过线圈的电荷量为
C.线圈中产生的交变电动势的最大值为nBSω
D.线圈中产生的交变电动势的有效值为nBSω
答案　D
解析　当t=时，即ωt=2π时，线圈回到题图所示位置，此时的感应电流最小，磁通量最大，A错误;当t=，即ωt=时，线圈转到与题图所示垂直位置，此时磁通量为零，则0到时间内产生的感应电动势的平均值为=n=n=，则0到时间内，通过线圈的电荷量为q=·=，B错误;线圈中产生的交变电动势的最大值为Em=n·ωB·=nBSω，C错误;线圈中产生的交变电动势的有效值为E==nBSω，D正确。
10.(2025·江苏苏锡常镇二模)如图所示，边长为L的正方形线圈abcd的匝数为n，总电阻为r，外电路的电阻为R，ab的中点和cd的中点的连线OO'恰好位于匀强磁场的边界线上，磁场的磁感应强度为B。若线圈从图示位置开始，以角速度ω绕OO'匀速转动，则以下判断中不正确的是(　　)
A.闭合电路中感应电动势瞬时值的表达式为e=nBL2ωsin ωt
B.在t=时刻，磁场穿过线圈的磁通量为零，但此时磁通量随时间变化最快
C.从t=0到t=时间内，电阻R上产生的热量Q=
D.从t=0到t=时间内，通过R的电荷量q=
答案　A
解析　感应电动势的最大值Em=nωBS=nB·ω，故闭合电路中感应电动势瞬时值的表达式为e=nBL2ωsin ωt，A错误;由题可知t=时刻，线圈转了90°，此时穿过线圈的磁通量为0，感应电动势最大，故此时磁通量随时间变化最快，B正确;从t=0到t=时间内，该交变电压的有效值E=，由闭合电路欧姆定律有I=，电阻R上产生的热量Q=I2Rt，联立解得Q=，C正确;根据电流的定义式有q=Δt，根据闭合电路欧姆定律有=，根据法拉第电磁感应定律有=，其中ΔΦ=BL2，联立解得q=，D正确。
11.(2025·江苏无锡模拟)海浪发电是一种应用前景广阔的新能源技术，海浪通过传动装置带动线圈在磁场中做切割磁感线运动从而发电，实现海浪动能向电能的转化。某科技小组设计了一发电模型，其原理图如图甲所示，N匝正方形闭合线圈处在垂直于线圈平面的组合磁场中，组合磁场是由两方向相反的匀强磁场组成的，磁感应强度大小均为B，线圈和磁场的宽度均为L，设线圈的总电阻为R，总质量为m，线圈在海浪的带动下上下运动切割磁感线且线圈在运动过程中不会超出磁场范围，其运动的速度时间图像如图乙所示。线圈处于平衡位置时，线圈的中线恰好与组合磁场中的中线重叠。求:
(1)运动过程中，该线圈所受安培力的最大值;
(2)在理想条件下，该线圈的发电功率。
答案　(1)　(2)
解析　(1)当线圈达到最大速度v0时，线圈所受安培力最大
回路中最大感应电流
Im==
运动过程中的线圈所受安培力的最大值
Fm=2NBImL=。
(2)由于线圈切割磁感线的时候，速度随时间呈正弦规律变化，感应电动势和感应电流也随时间呈正弦规律变化。因而其电流有效值I有效=
该线圈的发电功率P=R=。

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