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人教版（2019）数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 单元检测
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．函数且经过定点的坐标（　　）
A． B． C． D．
4．用二分法求函数零点时，所求到的零点（　　）
A．一定是近似值 B．一定不是近似值
C．一定不是准确值 D．可以是准确值
5．已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（　　）
A． B．
C． D．
6．函数的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
7．某催化剂的活性指标（单位：kgPP/gCat）与反应温度（单位：）满足函数关系：（其中为常数，···，是一个和类似的无理数）.若在时的活性指标为11kgPP/gCat，若在时的活性指标为83kgPP/gCat，则该催化剂在的活性指标为（　　）
A．125kgPP/gCat B．225kgPP/gCat
C．245kgPP/gCat D．250kgPP/gCat
8．已知，若分别是方程和的根，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．下列说法错误的是（　　）
A．
B．若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是
C．已知函数，在R上是增函数，则的取值范围是
D．设正实数，满足，则的最小值为2
10．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当时，有，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为　 　.
13．已知函数对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是　 　．
14．　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知集合，
（1）求集合；
（2）若，，求实数m的取值范围．
16．已知函数的图象经过点，其中．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数的定义域和值域．
17．某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入成本总维护费用）.
（1）该店从第几年开始盈利？
（2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？
18．在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2023年底至2025年底新能源汽车保有量如下表：
年份（年） 2023 2024 2025
新能源汽车保有量（辆） 1000 1500 2250
（1）假设从2023年底起经过年后，该地区新能源汽车保有量为y辆，根据表中提供的数据，从函数（且）和中选择一个恰当的函数模型来描述新能源汽车保有量的增长趋势，并求出解析式；
（2）2023年底该地区传统能源汽车保有量为20000辆，且传统能源汽车保有量每年均下降4%．若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：）
19．已知函数(为常数，).
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”为存在量词命题，
其否定为：，.
故答案为：C
【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再否结论即可求解.
2．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】A、在定义域R上单调递减，该选项错误，不合题意；
B、在定义域R上是奇函数且单调递增，该选项正确，符合题意；
C、在和上单调递减，该选项错误，不合题意；
D、在定义域R上单调递减，该选项错误，不合题意.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域、奇偶性，再对选项逐一分析单调性，由此选出正确选项.
3．【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，得，所以函数过定点.
故答案为：B.
【分析】将代入 即可求得定点坐标.
4．【答案】D
【知识点】二分法求方程近似解；二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值.
故答案为：D
【分析】利用二分法的定义分析采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值即可.
5．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以在上单调递增，
又定义域为，
所以由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒过，
故答案为：A.
【分析】利用指数函数与对数函数的性质判断即可．
6．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意知，，
，
所以，而函数为上的增函数，
由零点的存在性定理知函数的零点在区间.
故答案为：C.
【分析】利用函数零点存在性定理，即若函数在区间上连续，且，则函数在内有零点.同时结合函数单调性判断零点所在区间.
7．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意，可得：，，
两式相减，可得：，
所以，
则或（舍去），
所以，则，
所以，该催化剂在的活性指标为.
故答案为：C.
【分析】由方程，，得出的值，从而得出该催化剂在的活性指标.
8．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；互为反函数的两个函数之间的关系；图形的对称性
【解析】【解答】解：，，
的图象是由的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
在上单调递减，
设点是上的一点，则，
，，则也是函数上的点，
图象关于直线对称，
由，得：，
因为与图象关于对称，
则可作出，与图象，如下图所示，
对于A，当时，，
设，则，
，，，
，则，
，则，
与的交点横坐标落在区间中，
则，，故A正确；
对于B，分别是方程和的根，设，
与图象的交点为，与图象的交点为，
又因为图象关于直线对称，
与关于直线对称，
或，整理可得：，
，故B错误；
对于C，当时，，，则；
当时，，，由选项A知：，
，与图象交点的横坐标落在区间中，则，
因为，，故C正确；
对于D，是方程的根，则，
（当且仅当时，即当时取等号），
由选项C知：，等号不成立，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】作出，与的图象，设，，结合函数图象和指数函数的单调性、对数函数的单调性以及不等式的基本性质，从而得出的取值范围，则判断出选项A；由方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系和函数图象的对称性，从而得出，再代入整理可得，则判断出选项B；根据和，从而可得的取值范围，再结合判断出选项C；利用方程的根和基本不等式求最值的方法以及选项C，从而得出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
9．【答案】B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的运算性质；不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：选项A：根据幂的运算法则，；；；.将这些值代入原式：，所以选项A正确.
选项B：当时，不等式变为，解集为，符合题意；当时，不等式是一元二次不等式，要使其解集为，则需.解，即，得.综上，的取值范围是，而不是，所以选项B错误.
选项C：函数在上是增函数，所以在分段点处，需满足，即，解得，同时（保证时函数单调递增），所以的取值范围是，选项C正确.
选项D：因为，所以.根据基本不等式（，当且仅当时等号成立），这里，，则.已知，所以，当且仅当且，即（，）时等号成立，所以的最小值为，而不是，选项D错误.
故答案为：BD.
【分析】本题综合考查幂的运算、不等式恒成立、函数单调性、基本不等式等知识.解题思路是分别对每个选项，根据相应的知识点和方法进行分析计算，判断其正误.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；指数式与对数式的互化；基本不等式
【解析】【解答】解： 对于A选项，因为，因为，则，
，则，所以，，故，A对；
对于B选项，因为，则，，
所以，，，则，
所以，，可得，B对；
对于C选项，因为，则，C错；
对于D选项，因为，所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
事实上，，
所以，等号不成立，故，D对.
故答案为：ABD.
【分析】先将指数式转化为对数式，再利用对数的运算性质、函数单调性和基本不等式来判断各选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 对于选项A，是和单调递减函数，若存在区间，
则有，则有，取，，则存在区间符合要求，所以选项A正确；
对于选项B，在单调递增，若存在区间，，使，
解得，，不符合，即在上不是单调函数，舍去；
另一方面，在为减函数，若存在区间，，则，
解得，不符合，舍去，所以选项B不正确；
对于选项C，因为在整个定义域上单调递增，若存在区间，，则有，
解得，，或，，或，，
可取，，即存在区间符合题意，故选项C正确；
对于选项D，是定义在上的单调增函数，
若存在区间，，使，
即有两个不等实数根，转化为有两个不等实数根，
即与有两个不同的交点，观察图象知满足条件，所以选项D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据“和谐区间”的定义，对每个选项中的函数，先判断其单调性，再看是否存在区间，使得当时，，即且，通过解方程或分析函数图象来判断.
12．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，
由题意可知：有两个零点，一个零点比小，另一个零点比大，
则，即，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】令，由题意可得有两个零点，一个零点比小，另一个零点比大，则，即，求解即可得实数的取值范围.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意可知：在定义域内单调递减，
则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】 由成立，可知在定义域内单调递减；则分段函数每段都单调递减，结合对数函数性质列式求解即可.
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和换底公式，从而计算得出的值.
15．【答案】（1）解：解不等式，解得，即集合，
当时，，则，即集合，
则；
（2）解：由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
则实数m的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；对数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）解指数不等式求得集合A，根据对数函数的单调性，求对数函数的值域得集合B，再利用集合的并集运算求解即可；
（2）由（1）求出，再分集合是否为空集，结合集合的包含关系列式求m的范围即可.
（1）不等式，解得，即，
当时，，则，即，
所以.
（2）由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
16．【答案】（1）解：由题意：，
又，所以.
（2）解：因为，
由，所以函数的定义域为：.
因为，.
当时，，当时，取得最大值.
所以，
所以函数的值域为.
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意把点代入中，得方程组，联立可解.
（2）由对数的意义得，解得定义域为；算出在给定区间上的值域并结合对数函数的性质可求函数的值域.
（1）由题意：，
又，所以.
（2）因为，
由，所以函数的定义域为：.
因为，.
当时，，当时，取得最大值.
所以，
所以函数的值域为
17．【答案】（1）解：由题意可知，，
若开始盈利，则，
所以，
解得，
因为，
所以，第二年开始盈利.
（2）解：设年平均利润为，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，
则当时，最终获利万元.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，再利用盈利得出，再根据一元二次不等式求解方法和，从而得出该店开始盈利的时间.
（2）设年平均利润为，根据题意得出函数f(x)的解析式，再由基本不等式求最值的方法，从而可得最终获利.
（1）由题可知，
若开始盈利即，
所以，解得，
因为，所以第二年开始盈利；
（2）设年平均利润为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
时，最终获利万元.
18．【答案】（1）解：由于，新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，
而是越来越快，故可用函数（且）来描述，
代入点，得，解得，，则，
2023年的数据，满足，
故描述新能源汽车保有量的增长趋势的函数解析式为；
（2）解：设从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量，
由题意知，从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量为；
从2023年底起经过年后，传统能源汽车保有量为，
所以，即，两边取常用对数，得，
因为，，所以，
所以从2023年底起经过7年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量，
即到2030年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）由表中数据判断新能源汽车保有量随年份增长越来越快，则选用函数（且）来描述，代入点，求得，即可求得解析式；
（2）设从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量，传统能源汽车保有量为，结合（1）中所得解析式，列出相应的不等式，结合对数的运算求解即可.
（1）由于，所以新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，而是越来越快，
所以可用函数（且）来描述.
代入点，得，解得，.
所以.
2023年的数据，满足，
所以描述新能源汽车保有量的增长趋势的函数解析式为.
（2）设从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
由题意知，从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量为；
从2023年底起经过年后，传统能源汽车保有量为.
所以，即.
两边取常用对数，得.
因为，，
所以.
所以从2023年底起经过7年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
即到2030年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
19．【答案】解：（1）由题意可知，函数的定义域为，
又∵
①当时，即时，可得
∴当时，函数为偶函数；
②当时，即时，可得
∴当时，函数为奇函数.
综上所述，当时，函数为偶函数；当时，函数为奇函数.
（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，
∴，∴
∴，∴
令，∴，∴
∵
∴，
又∵，当且仅当，即x=0时，等号成立，
根据对勾函数的性质可知，，即
①
此时的取值不存在；
②
此时，可得的取值为
综上所述， 实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，进而利用函数的奇偶性的定义求得a的值即可；
（2）由(1)可知当函数为偶函数时，，进而可得函数的解析式，即可得的表达式，根据可得，利用换元法令，即可得，利用求根公式可得，结合指数函数和对勾函数的性质可得，进而讨论根与区间端点的关系列不等式组即可求得实数的取值范围．
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：25分
分值分布 客观题（占比） 16.0(64.0%)
主观题（占比） 9.0(36.0%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 8(42.1%) 10.0(40.0%)
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 3(15.8%) 4.0(16.0%)
解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 5(26.3%) 5.0(20.0%)
多项选择题 3(15.8%) 6.0(24.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (57.9%)
2 容易 (36.8%)
3 困难 (5.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 集合关系中的参数取值问题 0.0(0.0%) 15
2 函数零点存在定理 7.0(28.0%) 6,19
3 指数函数的图象与性质 4.0(16.0%) 5,8
4 图形的对称性 2.0(8.0%) 8
5 不等关系与不等式 2.0(8.0%) 9
6 一元二次不等式及其解法 2.0(8.0%) 11,17
7 换底公式及其推论 2.0(8.0%) 14
8 二分法求方程近似解 2.0(8.0%) 4
9 指数式与对数式的互化 2.0(8.0%) 10,18
10 集合间关系的判断 0.0(0.0%) 15
11 指数型复合函数的性质及应用 5.0(20.0%) 3,19
12 二分法求函数零点近似值 2.0(8.0%) 4
13 函数的零点与方程根的关系 2.0(8.0%) 11,12
14 基本不等式 4.0(16.0%) 9,10
15 函数单调性的性质 8.0(32.0%) 8,10,11,13
16 指、对数不等式的解法 0.0(0.0%) 15
17 对数函数的图象与性质 4.0(16.0%) 5,8,15,16
18 命题的否定 0.0(0.0%) 1
19 互为反函数的两个函数之间的关系 2.0(8.0%) 8
20 “指数爆炸”模型 2.0(8.0%) 7,18
21 函数的奇偶性 5.0(20.0%) 2,19
22 二次函数模型 0.0(0.0%) 17
23 基本不等式在最值问题中的应用 0.0(0.0%) 17
24 有理数指数幂的运算性质 4.0(16.0%) 7,9
25 对数函数的单调性与特殊点 2.0(8.0%) 13
26 并集及其运算 0.0(0.0%) 15
27 对数的性质与运算法则 2.0(8.0%) 14,16,18
28 指数函数的单调性与特殊点 0.0(0.0%) 3
29 函数单调性的判断与证明 2.0(8.0%) 2,9
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人教版（2019）数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 单元检测
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”为存在量词命题，
其否定为：，.
故答案为：C
【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再否结论即可求解.
2．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】A、在定义域R上单调递减，该选项错误，不合题意；
B、在定义域R上是奇函数且单调递增，该选项正确，符合题意；
C、在和上单调递减，该选项错误，不合题意；
D、在定义域R上单调递减，该选项错误，不合题意.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域、奇偶性，再对选项逐一分析单调性，由此选出正确选项.
3．函数且经过定点的坐标（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，得，所以函数过定点.
故答案为：B.
【分析】将代入 即可求得定点坐标.
4．用二分法求函数零点时，所求到的零点（　　）
A．一定是近似值 B．一定不是近似值
C．一定不是准确值 D．可以是准确值
【答案】D
【知识点】二分法求方程近似解；二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值.
故答案为：D
【分析】利用二分法的定义分析采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值即可.
5．已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以在上单调递增，
又定义域为，
所以由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒过，
故答案为：A.
【分析】利用指数函数与对数函数的性质判断即可．
6．函数的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意知，，
，
所以，而函数为上的增函数，
由零点的存在性定理知函数的零点在区间.
故答案为：C.
【分析】利用函数零点存在性定理，即若函数在区间上连续，且，则函数在内有零点.同时结合函数单调性判断零点所在区间.
7．某催化剂的活性指标（单位：kgPP/gCat）与反应温度（单位：）满足函数关系：（其中为常数，···，是一个和类似的无理数）.若在时的活性指标为11kgPP/gCat，若在时的活性指标为83kgPP/gCat，则该催化剂在的活性指标为（　　）
A．125kgPP/gCat B．225kgPP/gCat
C．245kgPP/gCat D．250kgPP/gCat
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意，可得：，，
两式相减，可得：，
所以，
则或（舍去），
所以，则，
所以，该催化剂在的活性指标为.
故答案为：C.
【分析】由方程，，得出的值，从而得出该催化剂在的活性指标.
8．已知，若分别是方程和的根，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；互为反函数的两个函数之间的关系；图形的对称性
【解析】【解答】解：，，
的图象是由的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
在上单调递减，
设点是上的一点，则，
，，则也是函数上的点，
图象关于直线对称，
由，得：，
因为与图象关于对称，
则可作出，与图象，如下图所示，
对于A，当时，，
设，则，
，，，
，则，
，则，
与的交点横坐标落在区间中，
则，，故A正确；
对于B，分别是方程和的根，设，
与图象的交点为，与图象的交点为，
又因为图象关于直线对称，
与关于直线对称，
或，整理可得：，
，故B错误；
对于C，当时，，，则；
当时，，，由选项A知：，
，与图象交点的横坐标落在区间中，则，
因为，，故C正确；
对于D，是方程的根，则，
（当且仅当时，即当时取等号），
由选项C知：，等号不成立，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】作出，与的图象，设，，结合函数图象和指数函数的单调性、对数函数的单调性以及不等式的基本性质，从而得出的取值范围，则判断出选项A；由方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系和函数图象的对称性，从而得出，再代入整理可得，则判断出选项B；根据和，从而可得的取值范围，再结合判断出选项C；利用方程的根和基本不等式求最值的方法以及选项C，从而得出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
二、多项选择题
9．下列说法错误的是（　　）
A．
B．若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是
C．已知函数，在R上是增函数，则的取值范围是
D．设正实数，满足，则的最小值为2
【答案】B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的运算性质；不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：选项A：根据幂的运算法则，；；；.将这些值代入原式：，所以选项A正确.
选项B：当时，不等式变为，解集为，符合题意；当时，不等式是一元二次不等式，要使其解集为，则需.解，即，得.综上，的取值范围是，而不是，所以选项B错误.
选项C：函数在上是增函数，所以在分段点处，需满足，即，解得，同时（保证时函数单调递增），所以的取值范围是，选项C正确.
选项D：因为，所以.根据基本不等式（，当且仅当时等号成立），这里，，则.已知，所以，当且仅当且，即（，）时等号成立，所以的最小值为，而不是，选项D错误.
故答案为：BD.
【分析】本题综合考查幂的运算、不等式恒成立、函数单调性、基本不等式等知识.解题思路是分别对每个选项，根据相应的知识点和方法进行分析计算，判断其正误.
10．已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；指数式与对数式的互化；基本不等式
【解析】【解答】解： 对于A选项，因为，因为，则，
，则，所以，，故，A对；
对于B选项，因为，则，，
所以，，，则，
所以，，可得，B对；
对于C选项，因为，则，C错；
对于D选项，因为，所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
事实上，，
所以，等号不成立，故，D对.
故答案为：ABD.
【分析】先将指数式转化为对数式，再利用对数的运算性质、函数单调性和基本不等式来判断各选项.
11．对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当时，有，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 对于选项A，是和单调递减函数，若存在区间，
则有，则有，取，，则存在区间符合要求，所以选项A正确；
对于选项B，在单调递增，若存在区间，，使，
解得，，不符合，即在上不是单调函数，舍去；
另一方面，在为减函数，若存在区间，，则，
解得，不符合，舍去，所以选项B不正确；
对于选项C，因为在整个定义域上单调递增，若存在区间，，则有，
解得，，或，，或，，
可取，，即存在区间符合题意，故选项C正确；
对于选项D，是定义在上的单调增函数，
若存在区间，，使，
即有两个不等实数根，转化为有两个不等实数根，
即与有两个不同的交点，观察图象知满足条件，所以选项D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据“和谐区间”的定义，对每个选项中的函数，先判断其单调性，再看是否存在区间，使得当时，，即且，通过解方程或分析函数图象来判断.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，
由题意可知：有两个零点，一个零点比小，另一个零点比大，
则，即，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】令，由题意可得有两个零点，一个零点比小，另一个零点比大，则，即，求解即可得实数的取值范围.
13．已知函数对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意可知：在定义域内单调递减，
则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】 由成立，可知在定义域内单调递减；则分段函数每段都单调递减，结合对数函数性质列式求解即可.
14．　 　．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和换底公式，从而计算得出的值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知集合，
（1）求集合；
（2）若，，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：解不等式，解得，即集合，
当时，，则，即集合，
则；
（2）解：由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
则实数m的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；对数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）解指数不等式求得集合A，根据对数函数的单调性，求对数函数的值域得集合B，再利用集合的并集运算求解即可；
（2）由（1）求出，再分集合是否为空集，结合集合的包含关系列式求m的范围即可.
（1）不等式，解得，即，
当时，，则，即，
所以.
（2）由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
16．已知函数的图象经过点，其中．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数的定义域和值域．
【答案】（1）解：由题意：，
又，所以.
（2）解：因为，
由，所以函数的定义域为：.
因为，.
当时，，当时，取得最大值.
所以，
所以函数的值域为.
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意把点代入中，得方程组，联立可解.
（2）由对数的意义得，解得定义域为；算出在给定区间上的值域并结合对数函数的性质可求函数的值域.
（1）由题意：，
又，所以.
（2）因为，
由，所以函数的定义域为：.
因为，.
当时，，当时，取得最大值.
所以，
所以函数的值域为
17．某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入成本总维护费用）.
（1）该店从第几年开始盈利？
（2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？
【答案】（1）解：由题意可知，，
若开始盈利，则，
所以，
解得，
因为，
所以，第二年开始盈利.
（2）解：设年平均利润为，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，
则当时，最终获利万元.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，再利用盈利得出，再根据一元二次不等式求解方法和，从而得出该店开始盈利的时间.
（2）设年平均利润为，根据题意得出函数f(x)的解析式，再由基本不等式求最值的方法，从而可得最终获利.
（1）由题可知，
若开始盈利即，
所以，解得，
因为，所以第二年开始盈利；
（2）设年平均利润为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
时，最终获利万元.
18．在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2023年底至2025年底新能源汽车保有量如下表：
年份（年） 2023 2024 2025
新能源汽车保有量（辆） 1000 1500 2250
（1）假设从2023年底起经过年后，该地区新能源汽车保有量为y辆，根据表中提供的数据，从函数（且）和中选择一个恰当的函数模型来描述新能源汽车保有量的增长趋势，并求出解析式；
（2）2023年底该地区传统能源汽车保有量为20000辆，且传统能源汽车保有量每年均下降4%．若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：）
【答案】（1）解：由于，新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，
而是越来越快，故可用函数（且）来描述，
代入点，得，解得，，则，
2023年的数据，满足，
故描述新能源汽车保有量的增长趋势的函数解析式为；
（2）解：设从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量，
由题意知，从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量为；
从2023年底起经过年后，传统能源汽车保有量为，
所以，即，两边取常用对数，得，
因为，，所以，
所以从2023年底起经过7年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量，
即到2030年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）由表中数据判断新能源汽车保有量随年份增长越来越快，则选用函数（且）来描述，代入点，求得，即可求得解析式；
（2）设从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量，传统能源汽车保有量为，结合（1）中所得解析式，列出相应的不等式，结合对数的运算求解即可.
（1）由于，所以新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，而是越来越快，
所以可用函数（且）来描述.
代入点，得，解得，.
所以.
2023年的数据，满足，
所以描述新能源汽车保有量的增长趋势的函数解析式为.
（2）设从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
由题意知，从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量为；
从2023年底起经过年后，传统能源汽车保有量为.
所以，即.
两边取常用对数，得.
因为，，
所以.
所以从2023年底起经过7年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
即到2030年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
19．已知函数(为常数，).
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）由题意可知，函数的定义域为，
又∵
①当时，即时，可得
∴当时，函数为偶函数；
②当时，即时，可得
∴当时，函数为奇函数.
综上所述，当时，函数为偶函数；当时，函数为奇函数.
（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，
∴，∴
∴，∴
令，∴，∴
∵
∴，
又∵，当且仅当，即x=0时，等号成立，
根据对勾函数的性质可知，，即
①
此时的取值不存在；
②
此时，可得的取值为
综上所述， 实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，进而利用函数的奇偶性的定义求得a的值即可；
（2）由(1)可知当函数为偶函数时，，进而可得函数的解析式，即可得的表达式，根据可得，利用换元法令，即可得，利用求根公式可得，结合指数函数和对勾函数的性质可得，进而讨论根与区间端点的关系列不等式组即可求得实数的取值范围．
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：25分
分值分布 客观题（占比） 16.0(64.0%)
主观题（占比） 9.0(36.0%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 8(42.1%) 10.0(40.0%)
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 3(15.8%) 4.0(16.0%)
解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 5(26.3%) 5.0(20.0%)
多项选择题 3(15.8%) 6.0(24.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (57.9%)
2 容易 (36.8%)
3 困难 (5.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 集合关系中的参数取值问题 0.0(0.0%) 15
2 函数零点存在定理 7.0(28.0%) 6,19
3 指数函数的图象与性质 4.0(16.0%) 5,8
4 图形的对称性 2.0(8.0%) 8
5 不等关系与不等式 2.0(8.0%) 9
6 一元二次不等式及其解法 2.0(8.0%) 11,17
7 换底公式及其推论 2.0(8.0%) 14
8 二分法求方程近似解 2.0(8.0%) 4
9 指数式与对数式的互化 2.0(8.0%) 10,18
10 集合间关系的判断 0.0(0.0%) 15
11 指数型复合函数的性质及应用 5.0(20.0%) 3,19
12 二分法求函数零点近似值 2.0(8.0%) 4
13 函数的零点与方程根的关系 2.0(8.0%) 11,12
14 基本不等式 4.0(16.0%) 9,10
15 函数单调性的性质 8.0(32.0%) 8,10,11,13
16 指、对数不等式的解法 0.0(0.0%) 15
17 对数函数的图象与性质 4.0(16.0%) 5,8,15,16
18 命题的否定 0.0(0.0%) 1
19 互为反函数的两个函数之间的关系 2.0(8.0%) 8
20 “指数爆炸”模型 2.0(8.0%) 7,18
21 函数的奇偶性 5.0(20.0%) 2,19
22 二次函数模型 0.0(0.0%) 17
23 基本不等式在最值问题中的应用 0.0(0.0%) 17
24 有理数指数幂的运算性质 4.0(16.0%) 7,9
25 对数函数的单调性与特殊点 2.0(8.0%) 13
26 并集及其运算 0.0(0.0%) 15
27 对数的性质与运算法则 2.0(8.0%) 14,16,18
28 指数函数的单调性与特殊点 0.0(0.0%) 3
29 函数单调性的判断与证明 2.0(8.0%) 2,9
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