资源简介

2 一定是直角三角形吗
基础巩固提优
1.下列各组数中，是勾股数的是( ).
A. 2,3,4 B. 2.5,2,1.5
C. 5,12,13 D. ， ，
2.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A 和∠BDC 都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知( ).
A.∠A 符合要求
B. ∠BDC 符合要求
C. ∠A 和∠BDC 都符合要求
D. ∠A 和∠BDC 都不符合要求
3.在△ABC 中，已知的三个内角分别为∠A，∠B,∠C,三边分别为a,b,c.①a:b:c=3:4:5;②∠A:∠B:∠C=9:12:15;③∠C=∠A-∠B; .上述条件能判定△ABC 为直角三角形的是( ).
A. ①②③ B. ①③④
C. ②③④ D. ①②④
4.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地(阴影部分).如图，已知AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m.技术人员通过测量确定了∠ABC=90°.
(1)小区内部分居民每天必须从点 A 经过点 B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点 A 直通点C 的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点 A到点C将少走多少路程
(2)这片绿地的面积是多少
思维拓展提优
5.若三角形三边长a,b,c 满足(a+b+c)(a+b-c)=2ab,则此三角形是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法判断
6.阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即 那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①34不是广义勾股数；②18是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中错误的是 .
7.综合与实践：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图(1)所示，有一台风中心沿东西方向 AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，且点 C 与直线AB 上的两点A,B 的距离分别为AC=300 km,BC =400km,且AB=500km,以台风中心为圆心,周围250km以内为受影响区域.
(1)求∠ACB 的度数.
(2)海港C 受台风影响吗 为什么
(3)如图(2)所示,若台风的速度为 20 km/h,当台风运动到点 E 处时，海港C 刚好受到影响，当台风运动到点 F 时，海港C 刚好不受影响,即CE=CF=250km,则台风影响该海港持续的时间有多长
延伸探究提优
8.据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.
(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.计算 与 并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的两种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m(m为偶数且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦.
9.已知m 组正整数，第一组:(3,4,5);第二组:(6,8,10);第三组:(8,15,17);第四组:(10,24,26);第五组:(12,35,37);….
(1)写出符合上述规律的第六组的三个数：
(2)是否存在一组数，不仅符合上述规律，而且其中一个数为80 若存在，请求出这组数；若不存在，请说明理由.
(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数 若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例.
2 一定是直角三角形吗
1. C [解析]A. ，不是勾股数，不符合题意；
B.三边长2.5，2，1.5不都是正整数，不是勾股数，不符合题意；
，是勾股数，符合题意；
D.三边长· ,, 都不是正整数，不是勾股数，不合题意.故选 C.
解后反思 本题主要考查了勾股数，熟知满足( c 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键.
2. D[解析]由已知条件可知，
∴△ABD,△BDC不是直角三角形,
∴∠A≠90°,∠BDC≠90°,
∴∠A 和∠BDC 都不符合要求.故选 D.
3. B [解析]①由a:b:c=3:4:5,得符合勾股定理，故能判定△ABC 是直角三角形；
②由∠A:∠B:∠C=9:12:15及∠A+∠B+∠C=180°得∠C=75°≠90°,故不能判定△ABC是直角三角形;③由三角形内角和是 180°及∠C=∠A-∠B,得∠A=90°，故能判定△ABC 是直角三角形；
④由 得 ，符合勾股定理的逆定理，故能判定△ABC是直角三角形.故选 B.
4.(1)如图,连接AC.
∵∠ABC=90°,AB=9m,BC=12m,
∴AC=15m,
∴AB+BC-AC=9+12-15=6(m).
故居民从点 A 到点 C 将少走6m路程.
(2)∵CD=17 m,AD=8 m.AC=15m,
∴△ADC 是直角三角形,∠DAC=90°,
故这片绿地的面积是114m .
解后反思 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键.
5. B [解析]∵a,b,c是三角形的三边长,且(a+b+c)(a+b-c)=2ab,
∴此三角形是直角三角形，且∠C=90°.故选 B.
思路引导 这是一道典型的由三角形的边的关系，判断三角形的形状的问题，关键是进行等式的变形，易得(
6.①③④ [解析]①∵34=3 +5 ,∴34是广义勾股数,故结论①错误； ∴18是广义勾股数，故结论②正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故结论③错误；④两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，举例：2和2都是广义勾股数，但2×2=4，4不是广义勾股数，故结论④错误.故错误的是①③④.
，即 ∴△ABC 是直角三角形,∴∠ACB=90°.
(2)海港C受台风影响.理由如下：
如图(1),过点 C作CD⊥AB,交AB 于点D.
∵△ABC 是直角三角形,
∴AC·BC=CD·AB,
∴300×400=500×CD,∴CD=240km.
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响.
(3)当EC=FC=250km时,正好影响C港口.
如图(2),过点C作CD⊥AB,交AB 于点D.
∴ED=70km,
∴EF=140km.
∵台风的速度为20km/h,∴140÷20=7(h).
故海港C受台风影响的时间会持续7h.
∴7,24,25的股的算式为 弦的算式为
(2)当n为奇数且n≥3时，勾、股、弦的代数式分别为 n，
猜想它们之间的关系为①弦-股=1；②勾 +股 =弦 ；
证明：①弦一股
②勾 +股 =弦 ,即
(3)4,3,5的股、弦表示为 6,8,10的股、弦表示为 …,
∴m为勾，股表示为 弦为
思路引导 (1)先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可；(2)依据(1)中的计算结果得出勾、股、弦的代数式，然后猜想关系证明即可；(3)根据(1)(2)中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可.
9.(1)(14,48,50) [解析]这组正整数符合规律2(m+1), 且m为整数)，所以第六组的三个数为(14,48,50).
(2)存在一组数，不仅符合上述规律，而且其中一个数为80.理由如下：
设第m组正整数符合规律. 且m为整数).
若 则 ，此时m符合题意，这组数是(18,80,82);
若2(m+1)=80,则m+1=40,此时m符合题意,这组数是(80,1599,1601);
若 则 此时m不符合题意.所以存在一组数，不仅符合上述规律，而且其中一个数为80,这组数是(18,80,82)或(80,1599,1601).
(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数.理由如下：
对于一组数： 且m为整数).
因为
所以若一个三角形三边长分别为 2，且m 为整数)，则该三角形为直角三角形.
因为当m≥2，且m为整数时，2m表示任意一个大于2的偶数，且 均为正整数，
所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数.

展开更多......

收起↑