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1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理 (1)
基础巩固提优
1.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理.如图，小立发现勾是9，股是40,弦长为( ).
A. 7 B. 31 C. 41 D. 49
2.如图，求图中直角三角形中未知的长度:b= ,c= .
3.如图，小明用一根长36cm的绳子围成一个直角三角形，已知这个直角三角形的最短边的长度为9cm，请你求这个直角三角形的面积.
思维拓展提优
4.一个直角三角形，若三边的平方和为128，则斜边长为( ).
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.如图，分别以直角三角形的三边a，b，c为边，向外作半圆，等腰直角三角形和正方形，上述三种情况的面积关系满足 的图形个数有( ).
A. 0个 B. 1个 C.2个 D. 3个
6.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若Rt△ABC 是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有( ).
A. 4种 B. 5种 C.6种 D.7种
7.在直角三角形中，直角边长为a，b，斜边长为c，则 (填“>”“<”或“=”).
8.[问题解决]如图,CD 为Rt△ABC 的斜边AB上的高,设CD=h,AD=m,DB=n,求证: 证明：在 Rt△ADC 中，根据勾股定理，得 在 Rt△DBC 中,根据勾股定理,得
在 Rt△ABC 中,根据勾股定理,得
∵AB=m+n,
[解法探究]小红和小明两位同学提出了不同的证明思路：
小红：我想由面积的等量关系 AC·BC=AB·CD 推理得到;
小明：我想可以取 AB 中点O，连接CO，在Rt△CDO 中，由勾股定理推理得到.
请你从两位同学中选择一种做法，并写出完整的证明过程.
9.物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B 上，另一端拴在物体C上，滑块B 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 B的左右滑动来调节物体C 的升降.实验初始状态如图(1)所示，物体C 静止在直轨道上，物体C到滑块B 的水平距离是6 dm，物体C到定滑轮A 的垂直距离是 8 dm.(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计)
(1)求绳子的总长度；
(2)如图(2),若物体C升高7dm,求滑块B 向左滑动的距离.
延伸探究提优
10.勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着及其广泛的应用，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁.因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,AB=10.
(1)如图(1),点 P 从点 B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿 BC 方向向点C 运动，连接AP.当点 P 运动多少秒时,PA=PB
(2)如图(2),当点 P 从点 B 出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线 BC 方向运动，设运动的时间为t.当△ABP 为直角三角形时，求t的值.
第2课时 探索勾股定理(2)
基础巩固提优
1.对勾股定理的一种证法采用了如图方式，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是( ).
2.如图，某自动感应门的正上方A 处装着一个感应器，离地AB=2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD 正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC =1.2米)，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD 等于( ).
A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米
3.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4,BC=7 时,则阴影部分的面积为 .
4.如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的直线距离是10m，求两树相隔的距离.
5.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图(1)的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图(2)的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成，设图(1)中空白部分的面积为 S ，图(2)中空白部分的面积为 S .
(1)请用含a,b,c的代数式分别表示S ,S ;
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理.
思维拓展提优
6.如图，一架长2.5m 的梯子AB 靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A 到墙根O的距离为0.7 m,如果梯子的顶端B 下滑0.4m至点 B'，那么梯子底端将滑动( ).
A. 0.6m B. 0.7m C. 0.8 m D. 0.9m
7.公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD 的边长是( ).
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
8.我国清初数学家梅文鼎所著的《勾股举隅》一书中：勾股定理的证明是将4个边长分别为a，b，c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形 ACDEF.若a=1，b=2，则空白部分的面积是 .
9.剪纸面塑、年画风筝、中医问诊、美食扎堆……在开封市“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心.小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离 BD为15 m；根据手中余线长度，计算出AC 的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m.已知点A,B,C,D在同一平面内.
(1)求风筝离地面的垂直高度 CD.
(2)在余线仅剩7 m且小明不走动的情况下，若想要风筝沿射线 DC 方向再上升12m，请问能否成功 并说明理由.
10.在△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图(1),则根据勾股定理,有 若△ABC 是钝角三角形(∠C是钝角)，如图(2)，请你类比勾股定理，猜想 与c 的大小关系，并证明你的结论.
11.我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，下面是用三块全等的直角三角形移、拼所形成的“无字证明”图形.已知直角三角形直角边长分别为a，b，
斜边长为c，图(1)的面积为 S ，图(2)的面积为S ，S =S ，请你据此验证勾股定理.
延伸探究提优
12.数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠.
[初步尝试](1)如图(1),长方形纸片ABCD可看作由2个全等的小正方形组成，E是AD的中点，沿着BE，CE 剪2刀，得到3块图案①,②,③,保持③不动,移动①,②,可以拼接成一个大正方形纸片BFCE.若 AB=1，则BF = .
[深入实践](2)如图(2)，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点.沿着 AB，CD 将这个“十字形”纸片剪2刀,得到4 块图案①,②,③,④,保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片.请在正方形网格(如图(2))中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号.
[拓展迁移](3)如图(3)，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”中受到启发，将两个边长不等的正方形纸片ABCD，GCEF 剪拼成一个大正方形纸片BQPG. P，M，N为剪痕与原正方形边的交点,已知AB=3,EN=1.
①HQ= ,HN= ;
②求正方形 BQPG 的面积.
13.如图,在△ABC 中,AB=AC,E 是边AB 上一点,连接CE,在 BC 的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC= 10,则四边形 EBFC 的面积为
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理(1)
1. C
2.12 26 [解析]根据勾股定理可知, 12 ,所以b=12.
根据勾股定理可知， 所以c=26.解后反思 勾股定理有许多变形，如用a，b表示直角边，c表示斜边，则有 还可以变形为
3.设这个直角三角形的较长直角边的长度为x cm，则斜边长度为(36-9-x) cm.
根据勾股定理，得 解得x=12,∴这个直角三角形的面积 故这个直角三角形的面积为54cm .
4. C[解析]设直角三角形的三边长为a，b，c，c为斜边.由勾股定理，得
∵直角三角形三边的平方和为128， ，即斜边长为8.故选C.
5. D [解析]由题图(1),得
由题图(2)，得
由题图(3)，得
∴满足 的图形个数有3个.
故选 D.
6. B[解析]设短直角边是a，长直角边是b，斜边是c，当a=1时，根据“倍长三角形”定义，可能有两种情况：
①长直角边是短直角边的2倍(b=2a),则b=2×1=2,此时较长直角边为2，即较长直角边的长度平方为4；
②斜边是短直角边的2倍(c=2a),则c=2×1=2,由勾股定理，得 ，此时较长直角边的长度平方为3.
当b=1,即 时，
根据“倍长三角形”定义，长直角边是短直角边的2倍时，即 此时较长直角边的长度平方就是1.
当c=1时，根据“倍长三角形”定义，可能有两种情况：
①当b=2a 时，由勾股定理 代入b=2a,c=1,得 故 符合条件；
②当c=2a,则 由勾股定理，得 ，符合条件.
故较长直角边的长度平方所有可能取值有5种，即较长直角边的长度所有可能取值有5种.故选 B.
7.< [解析]∵08.选择小红同学的证明思路：在Rt△ADC 中，根据勾股定理，得.
在 Rt△DBC 中,根据勾股定理,得
∵∠ACB=90°,
∴AC·BC=AB·CD,等号两边同时平方,得 AC ·
∴即
化简，得
一题多解 选择小明同学的证明思路：如图，取AB 的中点O,连接CO,则
∵∠ACB=90°,
在Rt△CDO中,( CD ,
化简，得
9.(1)根据题意,得AC=8dm,BC=6dm,∠ACB=90°, ,即AB=10 dm.
∴AB+AC=10+8=18(dm),故绳子的总长度为18dm.
(2)如图,
根据题意,得∠ADB=90°,AD=8dm,CD=7 dm,AB=(10+7) dm,
即BD=15 dm,
∴BE=BD-DE=15-6=9(dm).
故滑块 B 向左滑动的距离为 9 dm.
10.(1)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,AB=10,由勾股定理，得 即BC=8.
∵点 P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向向点C 运动，设运动时间为x秒，则PA=PB=x，∴PC=8-x,
在 Rt△APC 中,由勾股定理,得
解得
∴点 P 运动秒时,PA=PB.
(2)当∠PAB=90°时,如图,BP=2t,CP=2t-8,在 Rt△APC 中,由勾股定理,得 在Rt△APB 中,由勾股定理,得
解得
当∠APB=90°时,则 P 与C重合,则2t=8,解得t=4.综上所述，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为 或4.
第2课时 探索勾股定理(2)
1. B [解析] 整理，得 由 即
∴证明中用到的面积相等关系是 S四边形ABCD.故选B.
思路引导由三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理.
2. B [解析]如图,过点D 作DE⊥AB 于点E.
∵AB=2. 1 米,BE=CD=1. 6 米,
ED=BC=1.2米,
∴AE=AB-BE=2.1-1.6=0.5(米).在 Rt△ADE 中,由勾股定理,得 所以AD=1.3米,
故选 B.
3.14 [解析]在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=7,由勾股定理,得. 所以阴影部分的面积
知识拓展 符合以两直角边为边(或直径)所作的两个图形的面积和等于以斜边为边(或直径)所作的图形的面积的常见图形有以下几种：
4.如图,过点 D作DE⊥AB 于点E.
由题意知,AB=10m,CD=4m,AD=10m,
易知BE=CD=4m,所以AE=10-4=6(m).
在 Rt△AED 中,由勾股定理,得. 所以DE=8m.
所以易得BC=DE=8m.
故两树相隔的距离为8m.
思路引导通过“作垂线”构造直角三角形是利用勾股定理解决实际问题常用的添加辅助线的方法.
5.(1)题图(1)中空白部分的面积 题图(2)中空白部分的面积
(2)由 得 所以 思路引导 探索勾股定理的关键是找面积相等：①根据直角三角形以及正方形构造图形：②用代数式表示出图形面积S ，S ；③根据面积相等列出等式；④推导出勾股定理.
6. C [解析]∵AB=2.5m,AO=0.7m,
∴BO=2.4m.
∴A'A=A'O-AO=1.5-0.7=0.8(m).
故梯子将滑动的距离是0.8m.故选C.
思路引导 利用勾股定理计算出BO的长，进而可得B'O的长，然后利用勾股定理计算出 A’O的长，进而可得答案.
7. B [解析]∵勾a=6,弦c=10,
∴股b=8,
∴小正方形 ABCD 的面积为
∴小正方形ABCD 的边长为2.故选 B.
思路引导 先用勾股定理计算出股b，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，得出小正方形ABCD的面积，进而求出边长.
8.3[解析]∵四个直角三角形全等，
∴AB=BE=EF=AF,
∵∠AFG+∠EFH=90°,∴四边形 ABEF 为正方形,
∴空白部分的面积为 2=3.
9.(1)如图(1),过点A 作AE⊥CD于点E,则AE=BD=15m,AB=ED=1.5m,∠AEC=90°,在Rt△AEC 中, ∴CE=8m,∴CD=CE+ED=8+1.5=9.5(m).
故风筝离地面的垂直高度 CD 为9.5m.
(2)不能成功.理由如下：
假设能上升12m,如图(2),延长DC 至点F,连接AF,则CF=12m,∴EF=CE+CF=8+12=20(m).
在 Rt△AEF 中,
∴AF=25m.
∵AC=17m,余线仅剩7m,∴17+7=24<25,
∴不能上升12m，即不能成功.
10.猜想: 证明如下：如图,作 AC 边上的高 BD,设CD=x,
则
整理，得
∵2bx>0,∴a +b 解后反思 类比勾股定理，作出高 BD 把三角形分成两个直角三角形，观察两个直角三角形有一个共同的直角边，利用勾股定理求出共同边的长，从而得到三边的关系.
11.因为题图(1)由一个边长为a 的正方形、一个边长为b 的正方形和三个全等的直角边长分别为a，b的直角三角形拼成，所以
因为题图(2)由一个边长为c的正方形和三个全等的直角边长分别为a，b的直角三角形拼成，
所以
因为 所以
所以
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
12.(1)2 [解析]∵长方形纸片ABCD可看作由2个全等的小正方形组成，E是AD的中点，
∴AB=AE=1,.
∵拼接成一个大正方形纸片BFCE，
(2)如图展示了两种不同的拼法(答案不唯一).
(3)①3 2 [解析]∵由题意,得△ABM≌△HQN,△GMD≌△PNE,
∴AB=HQ=3,AM=HN.
∵AB=AD=3,EN=DM=1,
∴AM=3-1=2,∴HN=AM=2.
②由①可知HQ=3,HN=2,
在 Rt△QHN 中,(
在 Rt△BQN 中,
在 Rt△BHQ 中,
设BH=x,则解得
∴正方形 BQPG的面积是
13.60 [解析]∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵BF∥AC,∴∠ACB=∠CBF,
∴∠ABC=∠CBF,∴BC平分∠ABF.
过点C作CM⊥AB,CN⊥BF,如图所示.
则CM=CN
且BF=
∵AC=13,∴AB=AC=13.
设AM=x,则BM=13-x,
由勾股定理，得
解得
∴四边形 EBFC 的面积为 60.

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