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第一章 勾股定理滚动训练(1.2~1.3)
题型1 直角三角形的判定
1.下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是( ).
A. a:b:c=7:12:13
B.
C. ∠B=∠A-∠C
D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
2.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a，b，c，下列说法错误的是( ).
A. 若∠C-∠B=∠A,则△ABC 是直角三角形
B. 若 则△ABC 是直角三角形
C. 若∠A :∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是直角三角形
D. 若 则△ABC 不是直角三角形
3.如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A,B,C,D,M,N均在格点上，其中A，B，C，D四个点中能与点M，N构成一个直角三角形的是点 .
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=16,BC=12,D 为边AC上的动点,点 D 从点C 出发，沿边CA 往点A 运动，当运动到点 A 时停止.已知点 D 运动的速度为每秒2个单位长度.设点 D 运动的时间为t 秒，当 t 为多少时，△CBD 是直角三角形
题型2 利用勾股定理求三角形的面积或边长
5.如图,在 Rt△ABC 中,∠BCA = 90°,△PAB中边 AB 上的高等于AB 的长度,△QBC 中边BC上的高等于 BC的长度,△HAC 中边AC 上的高等于AC 的长度,且△PAB,△QBC 的面积分别是 10 和8,则△ACH 的面积是( ).
A. 2 B. 4 C.6 D.9
6.如图,在△ABC 中,AB=9,AC=10,BC=17,求边AB上的高.
题型3 勾股定理的应用
7.为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图(1)所示，人只要移至该门口4m 及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如图(2)所示，一个身高1.5m的学生走到D 处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C 到门铃A 的距离为( ).
A. 3m B. 4m
C. 5m D. 6m
8.如图，铁路上A，B 两点相距40千米，C，D为铁路两边的两个村庄,DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为 A 和B,DA=24千米,CB=16千米,现在要在铁路旁修建一个候车点 E，使得C，D两村到该候车点的距离相等，则候车点 E 应距点A( ).
A. 12千米 B. 16千米
C.20千米 D. 24千米
9.如图，一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20,3,2. A 和B 是这个台阶两个相对的端点.点A 处有一只蚂蚁.想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点 B 的最短路程是( ).
A. 15 B. 20 C. 25 D. 27
思维拓展
10.如图，小红家的木门左下角有一点裂缝，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边 AB 和BC 的长，再测量点 A 和点C 之间的距离，由此可推断∠B 是否为直角，这样做的依据是( ).
A.勾股定理
B.勾股定理的逆定理
C.三角形三个内角的和等于180°
D.直角三角形的两个锐角互余
11. 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC 扩充为等腰三角形ABD，且扩充部分是以 AC为直角边的直角三角形，则CD 的长为( ).
A. 或2或3 B. 3或
C.2或 D.2或3
12.如图，已知钓鱼竿 AC 的长为10m，露在水面上的鱼线BC的长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则 BB'的长为 .
13.一个三角形三边长分别为5k,12k,13k,面积S≤900,满足情况的正整数k有 个.
14. 如图,在等腰三角形 ABC 中,BC =AC,∠ACB=90°,D,E 为斜边 AB 上的点,且∠DCE=45°.
求证：
15.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5
a 2 -1 3 -1 5 -1
b 4 6 8 10
c ...
(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a= ,c= ,b= ;
(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想.
16.综合与实践
[实践任务]测量旗杆高度.
[工具素材]卷尺、升旗的绳子.
[备注说明]旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度.
[实施方案1]
步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a 升旗绳子的长度为17m；
步骤2：如图(1)，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离BC 为8m.
(1)根据上述数据，可计算出旗杆a 的高度为 m.
[实施方案2]
步骤1：如图(2)，通过测量发现旗杆b升旗绳子的长度比旗杆长1m；
步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距5m.
(2)结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度.
[实施方案3]
步骤1：如图(3)，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合(记为点 C)，另一端拉直至地面的点 B 处，并测得 BC 的长度为5m;
步骤2：如图(4)，将绳子端点 B 沿地面前进4m 至点 D，发现此时绳子另一端上升2m至点E.(备注：点D，B，C在同一水平面上，绳子保持拉直状态)
(3)结合方案3中的数据，求旗杆c 的高度.
1. C [解析]A. 令a=7x,b=12x,c=13x, ∴△ABC 不是直角三角形，不符合题意；
∴△ABC 不是直角三角形，不符合题意；
C. ∵∠B=∠A-∠C,即∠A=∠B+∠C=180°-∠A,∴∠A=90°,∴△ABC 是直角三角形,符合题意;
180°=75°,∴△ABC 不是直角三角形,不符合题意.
故选C.
2. D [解析]A.∠C-∠B=∠A,即∠A+∠B=∠C.又∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,那么△ABC 是直角三角形，说法正确；
即 ，那么△ABC 是直角三角形且∠B=90°,说法正确;
C.∠A:∠B:∠C=1:2:3.又∠A+∠B+∠C=180°,则∠C=90°,那么△ABC 是直角三角形,说法正确;D. a=3,b=5,c=4,3 +5 ≠4 ,但是: 那么△ABC 可能是直角三角形，故原说法错误.故选 D.
3. C [解析]·
∴△AMN 不是直角三角形，故点 A 不符合题意；
∴△BMN 不是直角三角形，故点 B 不符合题意；
∴△CMN 是直角三角形，故点 C 符合题意；
∴△DMN 不是直角三角形，故点 D 不符合题意.
所以能与点M，N构成一个直角三角形的是点C.
4.∵∠ABC=90°,AB=16,BC=12,
,即AC=20,
当∠CBD=90°时,则点 D 与点A 重合,
当∠BDC=90°时,则AC⊥BD.
即
综上，当t为 或10时,△CBD 是直角三角形.
5. A [解析]在 Rt△ABC中,∠BCA=90°,
∵△PAB 中边AB 上的高等于AB 的长度,△QBC 中边BC上的高等于BC的长度，△HAC 中边AC 上的高等于AC 的长度,且△PAB,△QBC的面积分别是10和8,
∴△ACH的面积S△QBC=10-8=2.故选 A.
6.如图,作CD⊥AB,交 BA 的延长线于点D,设AD=x,则BD=9+x.
在 Rt△ADC 中,
在Rt△BDC中,
解得x=6,即AD=6.. ∴CD=8,即边AB上的高为8.
7. C [解析]由题意可知,BE=CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),CE=4m,
由勾股定理，得.
∴AC=5m,
∴该学生头顶C到门铃A 的距离为5m.故选C.
8. B [解析]设AE=x千米,则BE=(40-x)千米.
∵DA⊥AB,CB⊥AB,C,D 两村到候车点E 的距离相等,
故 ,解得x=16,
则候车点 E 应距点A16千米.故选 B.
思路引导 根据题意利用勾股定理得出 进而求解即可.
9. C[解析]一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20，3，2.A 和B是这个台阶两个相对的端点，平面展开如图所示.
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长.
设蚂蚁沿台阶面爬行到点 B 的最短路程为x，
由勾股定理，得.
解得x=25(负值舍去).故选C.
归纳总结 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.
10. B [解析]
∴△ABC 是直角三角形,且∠B=90°.
故选 B.
11. A [解析]分三种情况:①当AD=AB 时,则CD=BC=3;②当AD=BD时,设CD=x,则AD=x+3,由勾股定理，得 解得 ③当BD=AB 时,由勾股定理,得AB=5,则CD=5-3=2.故CD的长为3或 或2.故选A.
易错警示 本题考查了勾股定理的应用以及分类讨论的思想，关键在于找到三种情况，即AD=AB，AD=BD 和BD=AB，要考虑全面，切勿漏解.
12.2m [解析]∵AC=10m,BC=6m,
∴AB =AC -BC =10 -6 =64,∴AB=8m.
13.5 [解析]由题意,得
∴三角形为直角三角形，且两直角边边长分别是 5k，12k，
∵S≤900,
又k为正整数,∴k=1,2,3,4,5,
∴满足情况的正整数k有5个.
14.如图,将△ADC 绕点C逆时针旋转90°到△BFC 的位置,则CD=CF,AD=BF,∠BCF=∠ACD,∠CBF=∠A.∵BC=AC,∠ACB=90°,
∴∠A=∠ABC=∠CBF=45°,
∴∠EBF=90°,
∵∠DCE=45°,∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°.
∵∠ACD=∠BCF,
∴∠ECF=∠ECB+∠FCB=∠ECB+∠ACD=45°,
∴∠ECF=∠ECD.
在△DCE与△FCE中,
∴△DCE≌△FCE(SAS),
∴DE=EF,.
一题多解如图,把△ACD沿着CD折叠,得到△FCD,连接EF,
则△ACD≌△FCD,所以 AC=BC =CF,AD = FD,∠1=∠2,∠A=∠5.
因为∠ACB =90°,∠DCE =45°,所以∠1+∠4=45°,∠2+∠3=45°,∠A+∠B=90°,所以∠3=∠4.
因为CE=CE,所以△CFE≌△CBE,所以EF=EB,∠6=∠B,所以∠5+∠6=90°.
因此，在 Rt△EDF 中，根据勾股定理，得
(2)以a，b，c为边的三角形是直角三角形.证明如下：
因为 所以 1) ,而 所以 即以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
16.(1)15 [解析]由题意,设旗杆a 的高度为 xm.
∵绳子长度为17m，且绳子拉直时构成直角三角形，
∴由勾股定理，得.
∴x=15(负值舍去).
(2)由题意，设旗杆b的高度为 ym，则绳子的长度为(y+1)m.
∵绳子拉直时，旗杆底端与绳子末端相距5m，
∴由勾股定理，得
∴y=12.
故旗杆b的高度为12m.
(3)由题意,设AB段的长度为 zm.
∵绳子拉直至点B,BC=5m,
∵绳子端点前进 4m 至点 D，绳子另一端上升2m 至点E,
解得z=13,
即
∴AC=12m,故旗杆c 的高度为12m.

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