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第2讲　磁场对运动电荷(带电体)的作用
学习目标
1.能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。
2.能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。
3.能够分析带电体在匀强磁场中的运动。
1.
2.
基础自测
(人教版选择性必修第二册P16T3改编)如图所示，一质量为m、带电荷量为q且不计重力的粒子，从x轴上的P(a，0)点以速度v沿与x轴成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴从N点(图中未画出)射出第一象限，则(　　)
A.粒子带正电荷
B.磁感应强度大小为
C.粒子在磁场中运动的时间为
D.N与O点相距a
答案　D
考点一　洛伦兹力的理解和应用
1.洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(3)洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，洛伦兹力一定不做功。
2.洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)安培力可以对通电导线做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3.洛伦兹力与静电力的比较
洛伦兹力 静电力
产生条件 v≠0且v不与B平行(说明:运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用) 电荷处在电场中
大小 F=qvB(v⊥B) F=qE
力的方向与场的方向关系 F⊥B(F垂直B、v所决定的平面) F∥E
做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功
例1 (2025·江苏淮安市调研)如图所示是某种粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹，匀强磁场的方向垂直纸面向里，从垂直纸面方向向里看(正视)，可能是哪种粒子的运动(　　)
A.中子顺时针运动 B.中子逆时针运动
C.质子顺时针运动 D.电子顺时针运动
答案　D
解析　中子不带电，在磁场中不会做匀速圆周运动，故A、B错误;质子受洛伦兹力方向指向圆心，根据左手定则可知，质子沿逆时针方向运动，故C错误;电子受洛伦兹力方向指向圆心，根据左手定则可知，电子沿顺时针方向运动，故D正确。
1.(2023·海南卷，2)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是(　　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
答案　A
解析　小球刚进入磁场时速度方向竖直向下，由左手定则可知，小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力方向水平向右，A正确;小球运动过程中，受重力和洛伦兹力的作用，且合力不为零，所以小球运动过程中的速度变化，B错误;小球受到的重力不变，洛伦兹力时刻变化，则合力时刻变化，加速度时刻变化，C错误;洛伦兹力永不做功，D错误。
考点二　洛伦兹力作用下带电体的运动
带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间的弹力随之变化(若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化)。
例2 (2024·江苏太湖高级中学期中)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的范围足够大的匀强磁场内，固定着倾角为θ的绝缘斜面，一个质量为m、电荷量为-q的带电小物块以初速度v0沿斜面向上运动，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ。设滑动时电荷量不变，在小物块上滑过程中，其加速度大小a与时间t的关系图像，可能正确的是(　　)
答案　C
解析　对沿斜面向上运动的小物块受力分析，由牛顿第二定律有mgsin θ+μFN=ma，FN=mgcos θ+
qvB，联立解得a=gsin θ+μgcos θ+，方向沿斜面向下，所以小物块沿斜面向上做加速度减小的减速运动，速度越小，加速度越小，速度减小的越慢，加速度减小的越慢，速度接近零时，加速度不接近零，故C正确。
考点三　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中运动轨迹的圆心、半径及运动时间的确定方法
基本思路 图例 说明
①与速度方向垂直的直线过圆心 ②弦的垂直平分线过圆心 ③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 P、M点速度垂线的交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
利用平面几何知识求半径 常用解三角形法:左图中 R=或由 R2=L2+(R-d)2 求得R=
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度s求时间 ①t=T ②t= (1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ (2)偏转角φ与弦切角α的关系: φ<180°时，φ=2α;φ>180°时，φ=360°-2α
考向　直线和平行边界磁场
1.直线边界:粒子进出磁场具有对称性(如图所示)。
2.平行边界:存在临界条件(如图所示)。
例3 (2024·广西卷，5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为+q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
A. B.
C.(1+) D.
答案　C
解析　粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得粒子做圆周运动的半径r=，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+)，故C正确。
考向　圆形边界磁场
1.沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
2.不沿径向射入时，如图乙所示。
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
例4 (2024·江苏南京期末)如图所示，圆形虚线框内有垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹;a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，粒子在磁场运动过程中(　　)
A.沿径迹Oc运动的粒子时间最短
B.沿径迹Od运动的粒子为正电子
C.沿径迹Od运动的粒子速度最大
D.沿径迹Ob、Od运动的时间相等
答案　C
解析　根据左手定则可知沿Oa、Ob径迹运动的粒子是正电子、沿Oc、Od径迹运动的粒子是负电子，故B错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有evB=m，又T=，解得R=、T=，令粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的时间t=T=
。根据题图可知，沿Oc径迹运动的粒子轨迹对应的圆心角最大，沿径迹Ob、Od运动的粒子的轨迹对应的圆心角分别60°、45°，则沿径迹Oc运动的粒子时间最长，沿径迹Ob、Od运动的粒子的时间不相等;沿径迹Od运动的粒子圆周半径最大，则沿径迹Od运动的粒子速度最大，故C正确，A、D错误。
考向　三角形边界磁场
例5 如图所示，边长为L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。粒子速度大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力。下列说法正确的是(　　)
A.磁感应强度大小为
B.磁感应强度大小为
C.若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为
D.若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为
答案　B
解析　磁场垂直纸面向外，恰好没有粒子穿出磁场区域，临界轨迹如图所示，因此粒子的直径等于过O点垂直于ab(bc、ac)的线段大小，设垂足为d，由几何关系得Od=L，所以半径r=L，由洛伦兹力提供向心力有qvB=m，解得B==，故A错误，B正确;当发射粒子速度为2v时，由q·2vB=m，解得r1==，粒子在磁场中运动的最短时间对应其在磁场中转过最小的角度，当粒子从垂足d出去时，运动时间最短，由几何关系可得，转过的角度为θ=60°，则tmin=，又因为T===，则有tmin=，故C、D错误。
考向　矩形边界磁场
例6 (2024·江苏南京期末)如图所示OACD是一长为OA=L的矩形，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的粒子从O点以速度v0垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为α，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则(　　)
A.粒子一定带正电
B.矩形磁场的宽度最小值为
C.粒子从О到A所需的时间为
D.匀强磁场的磁感应强度大小为
答案　D
解析　由左手定则可知粒子一定带负电，A错误;由几何关系得粒子的轨迹半径r=，矩形磁场的宽度最小值为d=r(1-cos α)=，B错误;粒子从O到A所需的时间为t=r·=，C错误;根据qv0B=m得匀强磁场的磁感应强度大小为B=，D正确。
2.如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度的反向延长线一定过圆心a，由于粒子能经过C点，因此粒子出磁场时一定沿ac方向，轨迹如图所示。由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为r=L-L=(-1)L，根据牛顿第二定律得qv0B=m，解得v0=，故C正确。
A级　基础对点练
对点练1　洛伦兹力的理解和应用
1.显像管原理的示意图如图所示，当没有磁场时，电子束将打在荧光屏正中的O点，安装在管径上的偏转线圈可以产生磁场，使电子束发生偏转。设垂直纸面向里的磁场方向为正方向，若使电子打在荧光屏上的位置由b点逐渐移动到a点，下列变化的磁场能够使电子发生上述偏转的是(　　)
答案　C
解析　电子打在荧光屏上的位置由b点逐渐移动到a点，所以电子先受到向下的洛伦兹力，且逐渐减弱为零，后受到向上的洛伦兹力，且逐渐增强。根据左手定则可以判断，磁场的方向先垂直纸面向里，方向为正，且逐渐减弱为零，然后磁场的方向垂直纸面向外，方向为负，且逐渐增强，故C正确，A、B、D错误。
2.(2024·吉林长春模拟)来自太阳的高能带电粒子流被地磁场俘获，形成绚丽的极光美景。如图所示，是某高能粒子被地磁场俘获后的运动轨迹示意图，忽略引力和带电粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A.图中所示的带电粒子带正电
B.图中所示的带电粒子做螺旋运动时，旋转半径一定越来越小
C.洛伦兹力对带电粒子做负功，使其动能减小
D.带电粒子在靠近地球北极过程中动能增大
答案　B
解析　地磁场由南指向北，根据左手定则可知粒子带负电，故A错误;粒子在运动过程中，南北两极的磁场较强，由洛伦兹力提供向心力得轨迹半径为R=，可知当磁感应强度增加时半径减小，题图中所示的带电粒子做螺旋运动时旋转半径一定越来越小，故B正确;洛伦兹力始终与速度垂直，所以洛伦兹力不做功，动能不变，故C、D错误。
对点练2　洛伦兹力作用下带电体的运动
3.如图所示，用细线吊一个质量为m的带电绝缘小球，小球处于匀强磁场中，空气阻力不计。小球分别从A点和B点向最低点O运动，当小球两次经过O点时(　　)
A.小球的动量相同
B.细线所受的拉力相同
C.小球所受的洛伦兹力相同
D.小球的向心加速度相同
答案　D
解析　带电小球受到的洛伦兹力与小球的速度方向时刻垂直，洛伦兹力对小球不做功，只有重力做功，故小球两次经过O点时速度大小相等，但速度方向相反，所以动量大小相等，方向相反，选项A错误;小球分别从A点和B点向最低点O运动，两次经过O点时速度方向相反，由左手定则可知两次经过O点时洛伦兹力方向相反，则细线的拉力大小不同，选项B、C错误;由a=可知小球两次经过O点时向心加速度大小相同，方向都是竖直向上，选项D正确。
4.(2024·江苏南通开学考试)如图所示，光滑圆管竖直固定在水平匀强磁场中，一带正电小球从管口由静止开始下落，圆管对小球的冲量I随下落时间t和下落高度h关系图像中正确的是(　　)
答案　C
解析　小球竖直方向只受重力，做自由落体运动，则有v=gt;水平方向根据平衡条件得圆管对小球的弹力大小为FN=qvB=qBgt，则圆管对小球的冲量为I=FNt=qBgt2∝t2或I=∑FNt=∑qvBt=qB∑vt=qBh∝h，故C正确。
对点练3　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
5.如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O为圆心，一带电粒子从磁场边界圆上的A点以速度v0沿圆的半径方向射入磁场，经磁场偏转，粒子从P点射出磁场，PO⊥AO，仅改变粒子从A点射入磁场的速度大小后粒子从Q点射出磁场，∠QOC=60°，则改变后粒子的速度大小为(　　)
A.v0 B.v0 C.2v0 D.v0
答案　B
解析　设圆形磁场区域半径为R，当粒子的速度为v0时，由题意知r1=R，则qv0B=m，设改变后粒子的速度大小为v，轨迹如图所示，由几何关系知r2=，则qvB=m，解得v=v0，故A、C、D错误，B正确。
6.如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，∠A=60°，∠B=30°，放置在A点的放射源沿着AC方向发出各种速率的带负电粒子，放置在B点的放射源沿着BC方向发出各种速率的带正电粒子，正、负粒子的比荷相同，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。若从边界AC飞出的正粒子在磁场中飞行的最长时间为t，则从边界BC飞出的负粒子在磁场中飞行的最长时间为(　　)
A.t B.t C.t D.2t
答案　C
解析　从A点飞出的正粒子在磁场中飞行时间最长，由几何关系可知，从A点飞出的正粒子在磁场中运动的圆心角为60°，则t=·T，则T=6t，从边界BC飞出的负粒子速度方向与BC相切时，在磁场中飞行的时间最长，由几何关系可知，与边界BC相切飞出的负粒子在磁场中做圆周运动轨迹所对应的圆心角为90°，则粒子运动时间为t'=·T=，故C正确。
7.(2025·贵州遵义模拟)如图所示，空间存在垂直纸面向外的环形匀强磁场，磁感应强度为B，磁场内、外边界为两个同心圆，半径分别为R、3R。现有质量为m、电荷量为+q的粒子，沿半径方向垂直于磁场进入环形区域，粒子恰好不能进入小圆区域，不计重力。则粒子在磁场中运动的(　　)
A.轨道半径为1.5R B.轨道半径为3R
C.运动时间为 D.运动时间为
答案　C
解析　粒子恰好不能进入小圆区域，则运动轨迹如图所示
根据几何关系得r2+(3R)2=(r+R)2，解得粒子轨道半径为r=4R，故A、B错误;由tan θ==得θ=37°，则粒子在磁场中的运动时间为t=T=，故C正确，D错误。
B级　综合提升练
8.(2024·湖北卷，7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　)
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
答案　D
解析　根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动性质可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，粒子射出圆形区域时的速度方向一定沿该区域的半径方向，A、B错误;当粒子在磁场中运动的轨迹半径为r1=R时，粒子连续两次由A点沿AC方向射入磁场区域的时间间隔最短，其运动轨迹如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力有qv1B=m，又T1=，则最短时间间隔为tmin=2T1=，C错误;粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短时，粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何关系可知此时粒子的轨迹半径为r2=R，由洛伦兹力提供向心力有qv2B=m，联立解得v2=，D正确。
9.(2024·重庆卷)有人设计了一粒子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O点在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子会被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的其他影响。
(1)求O、K间的距离;
(2)若速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求M、O间的距离;
(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时零点，求打开磁场开关的时刻。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)当速率为v0的粒子经过O点时打开磁场开关，根据左手定则可判断粒子将沿逆时针方向运动，由洛伦兹力提供向心力有
qv0B=
由于该粒子会被收集，则作出该粒子的运动轨迹如图甲所示，由几何知识有OK=2r=。
(2)若速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，作出其运动轨迹如图乙所示，由洛伦兹力提供向心力有
4qv0B=
设O、M之间的距离为d，则由几何知识有
=(r1-2r)2+d2
联立解得d=。
(3)作出t时刻打开磁场开关后粒子的运动轨迹如图丙所示
设打开磁场开关时粒子距O点的距离为l，则由几何关系可得
=(r1-2r)2+l2
解得l=2r
则打开磁场开关的时刻为t==。
10.(2025·江苏扬州二模)如图所示，在坐标系xOy中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0。质量为m、电荷量为-q的带电粒子在纸面内从P点沿与y轴成α=30°方向射入磁场，已知P点的纵坐标yP=d，不计粒子重力。
(1)若粒子不离开磁场，求粒子速度的最大值vm;
(2)若粒子离开磁场，求粒子在磁场中运动时间t的范围;
(3)若磁场为非匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随y方向均匀增大，关系为B=。粒子以大小为v=的速度从P点沿图示方向射入磁场，求粒子从P点运动到离x轴最远位置的过程中运动轨迹与x轴围成的面积S。
答案　(1)　(2)解析　(1)若粒子恰好不离开磁场，则运动轨迹与x轴相切，如图所示
由几何关系有d=rsin α+r
由洛伦兹力提供向心力有
qvmB0=m
解得vm=。
(2)粒子在磁场中的运动周期T==
当粒子恰好离开磁场时，在磁场中运动时间最长
t1=T=
当粒子的半径足够大时，可视为粒子从磁场边界x轴上进入磁场，轨迹如图所示，此时粒子在磁场中运动时间最短，为t2=T=
综上所述，粒子在磁场中运动时间的范围为
(3)设粒子在x轴方向上的分速度为vx，粒子运动至离x轴最远位置时y轴方向上的分速度为零，在y轴方向根据动量定理有
-qBvxΔt=0-mvcos α
其中B=
则∑qvxΔt=mvcos α
可得q∑yvxΔt=mvcos α
根据∑yvxΔt=∑yΔx=S
解得S=d2。

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