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　　　　　　　　　带电粒子在立体空间中的运动
带电粒子的螺旋线运动和旋进运动
1.空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
2.空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
例1 (2024·江苏苏州三模)图甲为洛伦兹力演示仪，调节玻璃泡角度使电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。图乙为电子运动轨迹示意图，空间存在平行x轴的匀强磁场，在xOy平面内由坐标原点以初速度v0将电子射入磁场，方向与x轴正方向成α角(α<90°)，螺旋线的直径为D、螺距为Δx，则下列关系式正确的是(　　)
A.sin α= B.sin α=
C.tan α= D.tan α=
答案　D
解析　电子在zOy平面内做匀速圆周运动，其周期为T=;电子沿x方向做匀速直线运动，则有Δx=v0cos α·T=v0cos α·，沿z方向有D=2r=2，联立可得tan α=，故D正确。
例2 (2024·湖南卷，14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向;筒外x≥0区域有一匀强电场，电场强度大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电荷量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值;
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值;
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)将电子的初速度分解为沿x轴方向的速度v0和沿y轴方向的速度vy0，则电子做沿x轴正方向的匀速运动和投影到yOz平面内的圆周运动，又电子做匀速圆周运动的周期为T=，电子均能经过O进入电场，则
=nT(n=1，2，3，…)
联立解得B=(n=1，2，3，…)
当n=1时，Bmin=。
(2)由于电子始终未与筒壁碰撞，则电子投影到yOz平面内的圆周运动的最大半径为r，由洛伦兹力提供向心力有evy0maxBmin=m
则|tan θ|==。
(3)电子在电场中做类斜抛运动，当电子运动到O点时沿y轴正方向的分速度大小为vy0max时，电子在电场中运动的y轴正方向的最大位移最大，由牛顿第二定律有eE=ma
由速度位移公式有2aym=
联立解得ym=。

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