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专题强化十八　洛伦兹力与现代科技
学习目标
1.理解质谱仪、速度选择器和回旋加速器的原理，并能解决相关问题。
2.会分析电场和磁场叠加的几种实例。
考点一　质谱仪的原理和分析
1.作用
测量带电粒子质量和分离同位素。
2.原理(如图所示)
(1)加速电场:qU=mv2。
(2)偏转磁场:qvB=m，l=2r，由以上两式可得
r=，m==。
例1 (2023·福建卷，14)阿斯顿(F.Aston)借助自己发明的质谱仪发现了氖等元素的同位素而获得诺贝尔奖，质谱仪分析同位素简化的工作原理如图所示。在PP'上方存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两个氖离子在O处以相同速度v垂直磁场边界入射，在磁场中发生偏转，分别落在M和N处。已知某次实验中，v=9.6×104 m/s，B=0.1 T，落在M处氖离子比荷(电荷量和质量之比)为4.8×106 C/kg;P、O、M、N、P'在同一直线上，离子重力不计。
(1)求OM的长度;
(2)若ON的长度是OM的1.1倍，求落在N处氖离子的比荷。
答案　(1)0.4 m　(2)4.36×106 C/kg
解析　(1)氖离子在磁场中做匀速圆周运动，设落在M处氖离子半径为r，由洛伦兹力提供向心力可得
qvB=m，又lOM=2r
代入数据可得lOM=0.4 m。
(2)设落在N处的氖离子的半径为r'
则lON=1.1lOM=2r'
在N处的氖离子比荷=
代入数据可得≈4.36×106 C/kg。
1.(2024·江苏泰州模拟)阿斯顿最早设计了质谱仪，并用它发现了氖20和氖22，证实了同位素的存在。如图所示，某种氖离子从容器A下方的小孔S1连续不断地飘入电压为U的加速电场，其初速度可视为零，然后经过小孔S3垂直于磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，离子经磁场偏转后最终到达照相底片D上，不考虑离子重力及离子间的相互作用。
(1)若氖离子最终打在照相底片D上的位置到小孔S3的距离为L，求氖离子的比荷;
(2)质谱仪工作时，加速电压会在U±ΔU范围内波动，容器A中有氖20和氖22两种离子，要使它们在磁场中运动的轨迹不发生交叠，应小于多少(结果用百分数表示，保留2位有效数字)。
答案　(1)　(2)4.8%
解析　(1)氖离子在电场中加速的过程中，由动能定理得qU=mv2
氖离子进入磁场后做匀速圆周运动，则
qvB=
又R=
联立可得=。
(2)因为R==
由于电压在U±ΔU之间有微小变化，氖20离子在磁场中运动的最大半径为
R==
设m'为氖22离子的质量，氖22离子在磁场中运动的最小半径为
R'==
两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠的条件为R即<
解得<
设u为原子质量单位，则
<
可得<4.8%。
考点二　回旋加速器的原理和分析
1.构造
如图所示，D1、D2是两个半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。
2.原理
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子就被加速一次。
3.最大动能
由qvmB=m、Ekm=m得Ekm=，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D型盒半径R决定，与加速电压无关。
4.总时间
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n=，粒子在磁场中运动的总时间t=T=·=。
例2 (2024·江苏常州期末)2023年中科院的医用重离子加速器研发及产业化团队获第三届全国创新争先奖牌。回旋加速器可作为重离子加速器的注入器，其工作原理如图甲所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的宽度为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速离子的质量为m、电荷量为+q，加在狭缝间的交流电压如图乙所示，周期T=，U0未知。一束该种离子在t=0~时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零。假设能从D形盒出射的离子每次经过狭缝均做匀加速直线运动，不考虑重力、离子间相互作用及相对论效应，离子在狭缝中的运动时间不能忽略。
(1)求出射离子的最大动能Ekm;
(2)若离子第2次与第4次加速轨迹间距为x，求第4次加速后粒子的速度大小v4;
(3)要使飘入狭缝的离子中有超过60%能射出，求U0应满足的条件。
答案　(1)　(2)
(3)U0>
解析　(1)当运动半径为R时离子的动能最大，由洛伦兹力提供向心力得v=
则Ekm=mv2=。
(2)离子被加速2次有2qU0=m
qv2B=m
离子被加速4次有4qU0=m
qv4B=m
由题意有R4-R2=x
联立解得v4=。
(3)离子被加速n次达到Ekm，则Ekm=nqU0
离子在狭缝间做匀加速运动，设n次经过狭缝的总时间为Δt，有a=，nd=aΔt2
只有在0至时间内飘入的离子才能每次均被加速，则所占的比例为η=
由η>60%
解得U0>。
2.(2024·江苏南通高三期中)如图所示，回旋加速器核心部分是两个D形盒，处在垂直于盒底面的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，盒的圆心为O。两盒间接有高频交流电，在盒间产生大小不变的加速电压，使粒子每次穿过狭缝时都得到加速，忽略加速时间。质量为m、电荷量为-q的粒子从O点附近飘入加速电场，经过N次加速后离开加速器，此时粒子的动量大小为p。
(1)求D形盒的半径R;
(2)粒子多次加速后经过P点绕O做半径为r的圆周运动，求粒子加速到P点所需的时间t。
答案　(1)　(2)
解析　(1)在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，则qvB=m
又根据题意可知动量p=mv
解得R=。
(2)在电场中N次加速，由动能定理有NqU=mv2
假设经过P点时经过了n次加速则有nqU=m
又根据洛伦兹力提供向心力有qvnB=m
联立以上各式解得n=N=
由洛伦兹力提供向心力有qvB=m
整理可得T=
粒子加速到P点所需要的时间t=(n-1)
联立以上各式可得t=。
考点三　电场与磁场叠加的应用实例
实例　速度选择器
(1)平行板间
电场强度E和磁感应强度B互相垂直(如图)。
(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是洛伦兹力与静电力平衡，即qvB=qE，有v=。
(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量。
(4)速度选择器具有单向性。
例3 如图所示，平行金属板上下两极板之间有电场强度为E的匀强电场，在此空间有方向垂直于纸面向里的匀强磁场。左右两块绝缘板上的小孔a、b连线与金属极板平行，不计带电粒子的重力。任意的带电粒子从一个孔入射，下列说法中正确的是(　　)
A.只能是正电荷以合适速度从a孔射入，才能从b孔射出
B.只能是负电荷以合适速度从b孔射入，才能从a孔射出
C.不管正负电荷，只要速度合适，从a孔射入，都能从b孔射出
D.不管正负电荷，只要速度合适，从b孔射入，都能从a孔射出
答案　C
解析　粒子从a孔射入，从b孔射出，说明粒子受力平衡，即qE=qvB，则有v=，当粒子带正电荷时，粒子射入后，静电力向下，洛伦兹力向上;当粒子带负电荷时，静电力向上，洛伦兹力向下;则可知当速度为v=时，不管正负电荷，均能从a孔射入，从b孔射出，故A错误，C正确;当从b孔射入时，如果粒子带正电荷，在射入时，其所受洛伦兹力与静电力均向下，粒子会向下偏转，则粒子不能从a孔射出;同理，当粒子带负电荷时，从b孔射入时，其所受洛伦兹力与静电力均向上，粒子会向上偏转，粒子不能从a孔射出，故B、D错误。
实例　磁流体发电机
(1)原理:如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，B板是发电机的正极。
(2)电源电动势E:设A、B平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外连接电阻为R。当正、负离子所受静电力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U，则q=qvB，即电源电动势为E=U=Blv。
(3)电源内阻:r=ρ。
(4)回路电流:I=。
例4 (2024·江苏苏州高三期末)如图所示为磁流体发电机原理图，平行金属板A、B之间有一个很强的磁场，将一束等离子体喷入磁场，A、B两板间便产生电动势从而向外供电，下列说法正确的是(　　)
A.A板为发电机正极
B.发电机能量来源于磁场能
C.仅提高喷射的速度，发电机电动势增大
D.仅减小金属板间距，发电机电动势增大
答案　C
解析　根据左手定则可知，正离子在洛伦兹力的作用下向下运动至B板，则B板带正电，B板为发电机正极，故A错误;发电机能量来源于气体的内能，故B错误;当平衡时有qvB=q，解得U=Bdv，故仅提高喷射的速度，发电机电动势增大，仅减小金属板间距，发电机电动势减小，故C正确，D错误。
实例　电磁流量计
(1)流量(Q)的定义:单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积。
(2)导电液体的流速(v)的计算
如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动。导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q=qvB，可得v=。
(3)流量的表达式:Q=Sv=·=。
(4)电势高低的判断:根据左手定则可得φa>φb。
例5 如图，电磁流量计的测量管横截面直径为D，在测量管的上下两个位置固定两金属电极a、b，整个测量管处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。当含有正、负离子的液体从左向右匀速流过测量管时，连在两个电极上的显示器显示的流量为Q(单位时间内流过的液体体积)，下列说法正确的是(　　)
A.a极电势低于b极电势
B.液体流过测量管的速度大小为
C.a、b两极之间的电压为
D.若流过的液体中离子浓度变高，显示器上的示数将变大
答案　C
解析　由左手定则可知，正离子向上偏转，负离子向下偏转，则a极电势高于b极电势，选项A错误;由Q=vS=v·πD2，解得液体流过测量管的速度大小为v=，选项B错误;当离子受到的静电力与洛伦兹力达到平衡时，有q=qvB，解得a、b两极之间的电压为U=，选项C正确;因a、b两极间的电压与流过的液体中离子浓度无关，则当离子浓度变高时，显示器上的示数不变，选项D错误。
实例　霍尔元件
(1)定义:高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A'之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
(2)电势高低的判断:如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A'的电势高。若自由电荷是正电荷，则下表面A'的电势低。
(3)霍尔电压的计算:导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A'间出现电势差，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，A、A'间的电势差(U)保持稳定，由qvB=q，I=nqSv，S=hd;联立得U==k，其中k=称为霍尔系数。
例6 (2024·江苏镇江模拟)笔记本电脑盖上屏幕，屏幕盖板上磁铁和主板机壳上“霍尔传感器”配合，使屏幕进入休眠模式，其工作原理如图所示。当电脑盖上屏幕时，相当于屏幕边缘的磁极靠近霍尔元件，已知该霍尔元件载流子为电子，以下说法正确的是(　　)
A.盖上屏幕，a端带正电
B.打开屏幕，a端带正电
C.盖上屏幕过程中，a、b间电势差逐渐增大
D.盖上屏幕过程中，a、b间电势差不变
答案　C
解析　无论盖上屏幕还是打开屏幕，霍尔元件所处磁场方向向下，电流方向向左，根据左手定则可知，载流子受力方向指向a，因此a端带负电，A、B错误;盖上屏幕过程中，磁感应强度变大，霍尔电压U=k增大，a、b间电势差逐渐增大，C正确，D错误。
1.(2024·江苏南京检测)关于下列四幅图的说法正确的是(　　)
A.图甲是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，要想粒子获得的最大动能增大，可增大加速电压U
B.图乙是磁流体发电机的结构示意图，可以判断出B极板是发电机的正极，A极板是发电机的负极
C.图丙是速度选择器的示意图，带电粒子(不计重力)能够从右向左沿直线匀速通过速度选择器
D.图丁是质谱仪的结构示意图，粒子打在底片上的位置越靠近狭缝S3说明粒子的比荷越小
答案　B
解析　题图甲中，根据qvB=可知v=，粒子获得的最大动能为Ek=mv2=m=，所以要想粒子获得的最大动能增大，可增加D形盒的半径R和增大磁感应强度B，增大电压U不能增大最大动能，故A错误;题图乙中根据左手定则，正电荷向下偏转，所以B极板带正电，为发电机的正极，A极板是发电机的负极，故B正确;题图丙中，负电荷从右向左运动通过复合场时，静电力竖直向上，根据左手定则，洛伦兹力方向也向上，不能从右向左沿直线匀速通过速度选择器，同理正电荷也不能从右向左匀速通过，故C错误;题图丁中，由qvB=m可得=，知R越小比荷越大，故D错误。
2.如图所示的装置叫质谱仪，最初是由阿斯顿设计的，是一种测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。其工作原理如下:一个质量为m、电荷量为q的离子，从容器A下方的小孔S1飘入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向，进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D上。不计离子重力，则(　　)
A.离子进入磁场时的速率为v=
B.离子在磁场中运动的轨道半径为r=
C.离子在磁场中运动的轨道半径为r=
D.若a、b是两种同位素的原子核，从照相底片上获知a、b在磁场中运动轨迹的直径之比是1.08∶1，则a、b的质量之比为1.08∶1
答案　C
解析　离子在电场中加速有qU=mv2，解得v=，故A错误;在磁场中偏转有qvB=m，解得r=，同位素的电荷量一样，其质量之比为==1.082，故C正确，B、D错误。
3.为研究PM2.5的相关性质，让一带电的PM2.5颗粒(重力不计)，垂直射入正交的匀强电场和匀强磁场区域，如图所示，其中M、N为正对的平行带电金属板，观察发现该颗粒恰好水平向右做直线运动，则下列判断正确的是(　　)
A.M板可能带负电
B.PM2.5颗粒一定带负电
C.若仅使PM2.5颗粒的电荷量增大，颗粒可能向M板偏移
D.若仅使PM2.5颗粒的速度增大，颗粒可能向N板偏移
答案　D
解析　PM2.5颗粒做直线运动，无论该颗粒带何种电荷，静电力与洛伦兹力都是大小相等，方向相反，根据左手定则，M板一定带正电，PM2.5颗粒可能带负电，故A、B错误;根据静电力和洛伦兹力平衡，即qvB=qE，得v=，则运动状态与电荷量的多少无关，故C错误;若使PM2.5颗粒的速度增大，则洛伦兹力增大，静电力与洛伦兹力不平衡，出现偏转现象，因颗粒电性不确定，洛伦兹力方向不确定，所以可能向N板偏移，故D正确。
4.(2024·江苏连云港期中)如图所示为一回旋加速器的示意图，已知D形盒中心O处的粒子源产生的带电粒子，经电场加速了n次后从D形盒出口出来，则(　　)
A.增大两盒间的电压可增大出射粒子的最大动能
B.粒子在第n次通过窄缝前后半径之比为∶
C.粒子速度逐渐变大时，极板所加交流电的周期也同步变大
D.两盒间的电压变大，粒子在磁场中运动的总时间也变大
答案　B
解析　当粒子速度达到最大时有qvmB=m，可知出射粒子的最大动能为Ekm=m=，可知出射粒子的最大动能与两盒间的电压无关，故A错误;粒子运动一周两次通过窄缝，第n次通过窄缝后，根据动能定理有nqU=m，根据洛伦兹力提供向心力有qvnB=m，解得Rn=
∝，则粒子在第n次通过窄缝前后半径之比为Rn-1∶Rn=∶，故B正确;粒子速度逐渐变大时，极板所加交流电的周期不变，故C错误;根据T=，可知粒子转动周期不变，由Rn=得粒子转动的圈数为n=，粒子在磁场中运动的总时间为t=nT，可知两盒间的电压变大，粒子在磁场中运动的总时间变小，故D错误。
5.有一种污水流量计，其原理可以简化为如图所示的模型:废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出。流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是(　　)
A.正、负离子所受洛伦兹力的方向水平向左
B.正、负离子所受洛伦兹力的方向是相同的
C.污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D.只需要测量M、N两点间的电压就能够推算废液的流量
答案　D
解析　根据左手定则，正离子受到竖直向下的洛伦兹力，负离子受到竖直向上的洛伦兹力，故A、B错误;不带电的液体在磁场中流动时，由于没有自由电荷，不能形成电场，M、N两点没有电势差，因此无法测出流速，故C错误;根据qvB=q，可得流速v=，流量Q=Sv=·=，故D正确。
6.(2024·江苏宿迁期末)如图所示是磁流体发电机的示意图，两平行金属板A、B与电阻R和电流表相连，现将等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)喷入磁场，下列说法正确的是(　　)
A.A板的电势高于B板电势
B.若只增大两板间距离，电流表示数减小
C.若只增大磁感应强度，电流表示数减小
D.磁流体发电机的非静电力为洛伦兹力
答案　D
解析　根据左手定则可知，正电荷打在下极板上，负电荷打在上极板上，所以下极板带正电、上极板带负电，则B板的电势高于A板的电势，故A错误;根据稳定时静电力等于洛伦兹力即q=qvB得U=Bdv，由欧姆定律得I==，所以，若只增大磁感应强度或只增大两板间距，R中电流增大，故B、C错误;磁流体发电机的非静电力为洛伦兹力，故D正确。
7.(2024·江苏连云港期中)如图所示，质谱仪的容器A中有质量分别为m1和m2的两种同位素离子，它们从静止开始先经电压为U的电场加速，然后垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打在照相底片上。由于实际加速电压的大小在U±ΔU范围内有微小变化，这两种离子在底片上可能发生重叠，不计离子重力。下列说法正确的是(　　)
A.两种粒子均带负电
B.打在M处的粒子质量较大
C.若ΔU一定，U越大越容易发生重叠
D.若U一定，ΔU越大越容易发生重叠
答案　D
解析　根据左手定则可知两种粒子均带正电，故A错误;粒子经过加速电场时有qU=mv2，进入磁场后有qvB=m，联立解得r=，即质量小的粒子在磁场中运动半径也较小，打在M处的粒子质量较小，故B错误;假设m2的质量大，则m1的最大半径为r1=，m2的最小半径为r2=，若两种粒子的轨迹不发生重叠，则有r18.(2024·江苏连云港期中)如图所示为利用霍尔元件制成的磁传感器。已知该长方体金属导体宽为d、高为h，上、下表面接线柱M、N连线与导体竖直边平行，上表面过接线柱M的水平虚线与导体水平边平行，当导体通过一定电流，且电流与磁场方向垂直时，下列说法正确的是(　　)
A.电压表a端接“+”接线柱
B.为提升磁传感器的灵敏度，可减小导体的宽度d
C.将电压表的表盘改装为磁传感器的表盘，则刻度线不均匀
D.若上表面接线柱M沿虚线向右移动少许，则电压表示数不变
答案　B
解析　金属导体中载流子为自由电子，其定向移动方向与电流方向相反，根据左手定则可知电子将向上表面偏转，所以电压表a端接“-”接线柱，故A错误;当M、N间的稳定电压为U时，电子所受静电力和洛伦兹力平衡，有=evB，根据电流的微观表达式有I=nedhv，解得U=，所以电压U与B成正比例关系，而电压表盘上电压刻度线均匀，所以由电压表盘改装的磁传感器刻度线均匀，故C错误;磁传感器的灵敏度=，为提升磁传感器的灵敏度，可减小导体的宽度d，故B正确;在电源之外的电路中沿电流方向电势降低，若上表面接线柱沿虚线向右移动少许，则N、M在沿电流方向也会存在电势差，且N处电势高于M处电势，所以电压表示数会变大，故D错误。
9.(2024·甘肃卷，15)质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U;Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里;Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子(不计重力)，加速后进入速度选择器做直线运动，再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。
(1)粒子带正电还是负电 求粒子的比荷;
(2)求O点到P点的距离;
(3)若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2(E2略大于E1)，方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O'点上。求粒子打在O'点的速度大小。
答案　(1)正电　　(2)　(3)
解析　(1)粒子在Ⅲ区域磁场中向上偏转，根据左手定则可知，粒子带正电
粒子在Ⅱ区域中做直线运动，必是匀速直线运动，则有qv0B1=qE1
粒子在Ⅰ区域中，根据动能定理有qU=m
联立解得=。
(2)粒子在Ⅲ区域磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有
qv0B2=m
根据几何关系有dOP=2r
结合(1)问解得dOP=。
(3)将粒子进入速度选择器时的速度v0分解为水平向右的速度大小为v1=和水平向左的速度大小为v2=-v0，则粒子在速度选择器中的运动就分解为了以速度v1向右的匀速直线运动和以速率v2逆时针的匀速圆周运动
由于粒子垂直打在O'点，则粒子在O'点的速度
v=v1+v2=-v0=。
10.(2024·江苏常州中学开学考试)清华大学研究的新型SSMB- EUV光刻技术，用于提供高强度、可调波长的极紫外光源。方案中的同步轨道如图所示，密度分布非常均匀的稳流电子束被导入同步轨道。同步轨道上存在磁感应强度为B的匀强磁场，电子在磁场控制下沿着固定半径的轨道做匀速圆周运动，每转一周，穿越一次加速腔，从中获得能量，如图所示。同步加速器中磁感应强度随电子速度的增加而增加。已知圆形轨道半径为R，电子的质量为m，电荷量为-e，加速腔ab的长度为L，L R，当电子进入加速腔时，加速电压的大小始终为U，离开加速腔后，加速腔的电压变为0，加速电场的频率与电子的回旋频率保持同步。已知加速腔外无电场，腔内无磁场，不考虑重力、相对论效应以及粒子间相互作用。
(1)当电子在同步轨道的动能为Ek时，求轨道处的磁感应强度B的大小;
(2)长度为d(d(3)注入初动能为Ek、长度为d的电子束，最多可以被加速腔加速几次
答案　(1)　(2)d　(3)Ek
解析　(1)电子在磁场做匀速圆周运动，有
evB=m
又Ek=mv2
得B==。
(2)若某次电子未被加速前有d=v0Δt
其中Ek=m
被加速后有eU=m-Ek
加速后长度为d1=v1Δt
联立解得d1=d。
(3)设注入初动能为Ek、长度为d的电子束，最多可以被加速腔加速n次，有
neU=m-Ek
dn=vnΔt
dn=L
联立解得n=Ek。

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