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专题强化十七　带电粒子在匀强磁场中的多解和 “动态圆”处理临界问题
学习目标：会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界问题。
考点一　带电粒子在磁场中运动的多解问题
造成多解问题的几种情况分析
类型 分析 图例
带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如带正电，其轨迹为a;如带负电，其轨迹为b
磁场方向不确定 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解 粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界状态不唯一 带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
运动具有周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)
①B>，垂直纸面向里
②B>，垂直纸面向里
③B>，垂直纸面向外
④B>，垂直纸面向外
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
答案　D
解析　当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°=，可得r1=s，由r1=可得B1=;当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系可知s=+r2，得r2=，又r2=，所以B2=，综合上述分析可知，②、④正确，①、③错误，故D正确。
1.在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应的θ角可能为(　　)
A.kBL，0° B.kBL，0°
C.2kBL，60° D.3kBL，60°
答案　B
解析　若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲，
根据几何关系有R=L，由qvB=m可得v==kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°;当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙，因为上下两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R=L，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°;通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°;当离子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°，故B正确。
考点二　用“动态圆”思想处理临界、极值问题
考向　放缩图法
适用 条件 速度方向一定、大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径与粒子速度大小有关
轨迹 特点 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上
界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
例2 (2024·湖南邵阳期中)如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知AB边长为L，∠C=30°，比荷均为的带正电粒子(不计重力)以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场，则(　　)
A.粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
B.粒子在磁场中运动的最长时间为
C.粒子速度越大，在磁场中运动的路程越短
D.粒子在磁场中运动的最长路程为
答案　B
解析　根据洛伦兹力提供向心力qvB=m得r=，可知粒子速度越大，其运动半径越大。当粒子运动半径较小时从AC边射出，粒子在磁场中运动时间最长，为t=T=;当粒子运动半径较大时从BC边射出，粒子速度越大，轨迹对应的圆心角越小，在磁场中运动时间越短，故A错误，B正确;粒子速度越大，粒子在磁场中运动的轨道半径越大，当粒子运动轨迹与BC边相切时运动轨迹最长，粒子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越短，故C错误;当粒子和BC边相切时路程最大，此时有R=AB=L，粒子在磁场中运动的最长路程为s=θR=，故D错误。
2.(2024·河北邢台期中)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点。一质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是(　　)
A.粒子可能从B点射出
B.若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为L
C.若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D.若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
答案　C
解析　带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A错误;若粒子垂直于BC边射出，如图甲所示，则粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离，即R1=Lsin 60°=L，故B错误;若粒子从C点射出，如图乙所示
根据几何关系可得=+L-cos 60°2，解得R2=L，则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为sin ∠O==，则∠O=60°，粒子在磁场中运动的时间为t=×=，故C正确;由qvB0=m得r=，若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示
粒子从AB边射出时轨迹对应的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，故D错误。
考向　定圆旋转法
适用 条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同。若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径为r=，如图所示
特点 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上
界定 方法 将半径为r=的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“定圆旋转”法
例3 (2024·重庆期末)如图所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N点坐标为(0，2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求:
(1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间;
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。
答案　(1)或　(2)
解析　 (1)由题意可知，沿x轴正方向出射的离子，经半圆到达N点，由此可得r=a，可知通过M点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为60°，即t1=T，另一个轨迹转过的圆心角为300°，即t2=T，离子做匀速圆周运动，周期T=，即T=，解得t1=，t2=。
(2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与x轴正方向夹角成60°角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例为=。
3.(2024·重庆沙坪坝模拟)如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为(　　)
A.　 B.　
C.　 D.　
答案　A
解析　若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示)，不难得出离y轴最远为|x|=2r=，离x轴最远为y=2r=，所以A项正确。
考向　平移圆法
适用 条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子，它们进入匀强磁场时，做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r=，如图所示
特点 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上
界定 方法 将半径为r=的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
例4 如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B=。现垂直AB边射入质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t0(不计重力)。则下列判断中不正确的是(　　)
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B.该匀强磁场的磁感应强度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D.粒子进入磁场时速度大小为
答案　D
解析　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，即T=t0，可得周期为T=4t0，故A正确;由T=4t0，R=，T=，可得B==，故B正确;运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，由于t0=T，则粒子在磁场中转过的圆心角为120°，根据几何关系有Rsin +=d，解得R=d，故C正确;根据v=，T=4t0，R=d，可得v=，故D错误。
4. (2024·陕西西安期中)如图所示，在xOy平面直角坐标系内，OA与x轴的夹角为37°，OA足够长，OA与x轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B=。在OA上分布着足够多的粒子源，可以向磁场中发射速度大小为v0、方向垂直于OA的带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为+q，则带电粒子能打到x轴距坐标原点最远位置的横坐标为(　　)
A.3L0 B.4L0 C.5L0 D.6L0
答案　C
解析　带电粒子在磁场中运动由洛伦兹力提供向心力，qv0B=，将磁感应强度B=代入解得r=3L0，OA上的粒子源向外发射的所有带电粒子在磁场中运动的轨迹为平移圆。如图甲所示，根据几何关系可得当粒子半径O1P与OA垂直时，打到x轴上的P点距坐标原点最远，根据几何关系得OP===5L0，另外要注意本题中带电粒子打的最远的距离不是轨迹与x轴相切时，如果相切时作出轨迹图如图乙所示
根据几何关系有OQ===4L0，所以Q点不是距离坐标原点最远的点，故C正确。
1.如图所示，斜边长为a的等腰直角三角形MNP处于一匀强磁场中，比荷为的电子以速度v0从M点沿MN方向射入磁场，欲使电子能经过NP边，则磁感应强度B的取值应为(　　)
A.B≤ B.B≤
C.B≥ D.B≥
答案　A
解析　若电子恰能经过P点，轨道半径r=a，由ev0B0=m，可得此时B0==，则欲使电子能经过NP边，则磁感应强度B的取值满足B≤，故A正确。
2.如图所示，边长为L的正方形区域ABCD(含边界)内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从D点沿DC方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度可能为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　若粒子恰好从A点射出磁场，则轨道半径为r1=，由qv1B=m可得v1==;若粒子恰好从B点射出磁场，则轨道半径为r2=L，由qv2B=m可得v2=，为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度v<或v>，故A正确。
3.如图所示，两个同心圆之间的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个同心圆的半径分别为a和3a，圆心处有一粒子源，能发射速度为v的粒子，粒子的质量为m，电荷量为q，忽略重力。若粒子均被限制在图中实线圆围成的区域内，则磁感应强度最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　当粒子在磁场中的运动轨迹和实线圆相切时，粒子在图中实线圆围成的区域内运动的半径最大，由r=知，此时磁感应强度最小。粒子的运动轨迹如图，设粒子在磁场中运动的最大半径为r，根据几何知识有r2+a2=(3a-r)2，所以粒子的最大半径为r=a，由qvB=m，可得磁感应强度的最小值为B=，故C正确。
4.如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a=60°，∠b=90°，边长ab=L。一个粒子源在b点将质量为m，电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由左手定则和题意知，沿ab方向射出的粒子在磁场区域内转动半周，运动的时间最长，半径最大的为恰与ac边相切的粒子，粒子轨迹如图所示，由几何关系知r=abtan 30°=L，由洛伦兹力提供向心力有qvB=m，解得速度的最大值是v=，故B正确。
5.如图，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场。从圆周上的P点在纸面内沿不同方向射入各种速率的同种粒子，粒子的质量为m、电荷量为+q。其中速率为v0且沿PO方向射入的粒子，经时间t后从A点离开磁场，∠POA=90°。则(　　)
A.磁场方向垂直纸面向里
B.粒子在磁场中运动的周期为2t
C.速率为2v0的粒子在磁场中运动的最长时间为t
D.粒子从A点离开磁场时的速率最小值为v0
答案　D
解析　由题意知该粒子带正电，结合左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误;由题意知粒子在磁场中偏转用时为t，则可知周期为4t，故B错误;速率为v0且沿PO方向射入的粒子，从A点离开磁场，由几何关系可知，运动轨迹的半径为R，而由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m，得R=，由此可知，当粒子速率为2v0时，粒子运动轨迹的半径为2R，根据几何关系可知，当粒子轨迹的弦长等于圆形磁场的直径时，对应的圆心角最大，为，因此可得运动的最长时间为
t max=T=×4t=t，故C错误;当AP连线为粒子在磁场中运动轨迹的直径时，粒子从A点离开磁场时的速率最小，由几何关系可知，此时粒子的轨迹半径为r=R，由洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得v==，而速度为v0的粒子沿PO方向射入恰好从A点离开，有v0=，联立可得v=v0，故D正确。
6.如图所示，MN是一荧光屏，当带电粒子打到荧光屏上时，荧光屏能够发光。MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一小孔，PQ与MN垂直。一束质量为m、电荷量为+q或-q的两种粒子(不计重力)，以相同的速率v，从小孔P处沿垂直于磁场且与PQ夹角为θ的范围内向各个方向射入磁场区域，不计粒子间的相互作用。则以下说法正确的是(　　)
A.在荧光屏上P点两侧将出现两段相等长度的条形亮线，其长度为(1-cos θ)
B.在荧光屏上P点两侧将出现两段相等长度的条形亮线，其长度为(1-sin θ)
C.在荧光屏上将出现一个圆形亮斑，其半径为
D.在荧光屏上将出现一个圆形亮环，其外半径为，内半径为cos θ
答案　A
解析　粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，则r=。
可知，正粒子垂直边界射入，轨迹如图甲，此时出射点最远，与边界的交点和P的间距为2r;正粒子沿着右侧边界射入，轨迹如图乙，此时出射点最近，与边界的交点和P的间距为2rcos θ;可知在荧光屏上P点左侧将出现一段条形亮线，其长度为L=2r-2rcos θ=(1-cos θ);同理可得，负粒子在荧光屏上P点右侧出射，将出现一段条形亮线，其长度也为L=(1-cos θ)，故在荧光屏上P点两侧将出现两段相等长度的条形亮线，其长度为(1-cos θ)，故A正确。
7.如图所示，半径为R的圆形区域中，有磁感应强度大小为B，垂直纸面向里的匀强磁场，质子从A点沿直径AC方向以速度v(未知)射入，射出磁场时，速度偏转角为60°，已知质子质量为m，电荷量为q，则(　　)
A.质子做圆周运动的半径为2R
B.质子的速度大小v=
C.若质子的速度大小为v'=v，当质子的入射速度方向与AC夹角为30°斜向右下方时，质子在磁场中的运动时间最长
D.若质子的速度大小为v'=v，则质子在磁场中运动的最长时间为
答案　C
解析　质子沿AC方向射入时，运动轨迹如图甲所示，根据几何关系，质子的轨迹半径r1==R，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，解得v=，A、B错误;若质子的速度为v'=v，根据r=得质子的运动半径为r2=2R，当质子的入射速度方向与AC夹角设为φ斜向右下方，且从C点射出时，在磁场中运动时间最长，如图乙所示，由几何关系可得sin φ==，φ=30°，对应时间为t=×，解得t=，C正确，D错误。
8.如图所示，直角△MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。
∠M=30°，NP=L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子所受的重力。下列说法正确的是(　　)
A.可能有正电子从M点射出磁场
B.负电子从D点离开磁场时的速度大小为
C.从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为
D.正电子在磁场中运动的最长时间为
答案　C
解析　根据正电子运动的轨迹可知，正电子不可能从M点射出磁场，A错误;负电子从D点离开磁场时运动轨迹如图所示，由几何关系有+=r2，解得r=L，则由洛伦兹力提供向心力有evB=m，可得负电子的速度大小为v==，B错误;从MN边射出的正电子中运动轨迹与MN相切的在磁场中运动的时间最长，如图所示，由几何关系可知圆心角为120°，则最长时间t max=×=，选项C正确;正电子从CM之间射出时用时最长，则在磁场中运动的最长时间为t max'==，选项D错误。
9.如图所示，磁场只存在于x轴上方区域，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。x轴下方有两块足够长的平行金属薄板，两板间距为d，上板与x轴重合，上板中心有一小孔C，C到坐标原点的距离为2R。位于坐标原点的粒子源能发射质量为m，电荷量为q的负离子，其速度方向与y轴夹角最大值为60°，且各个方向均有速度大小在和之间的离子射出。未能射入C孔的离子被接地外罩屏蔽(图中没有画出)。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。求:
(1)垂直射入小孔C的离子速度的大小;
(2)若在两金属板间加载电压，使电流表示数为0，求所加电压的大小;
(3)若在两金属板间不加载电压，求离子打在下面金属板上区域的长度L。
答案　(1)　(2)　(3)2d
解析　(1)设离子以速度v0垂直x轴射入小孔C，则离子在磁场中的轨迹半径为R，则有
qv0B=，解得v0=。
(2)设离子以速度v1与y轴成θ角射出，在磁场中运动的轨迹半径为R1，并射入小孔C中，如图所示，
根据qvB=
可得r=
则==cos θ
根据运动的合成与分解有v1y=v1cos θ=v0
电流表示数为0，则离子到达下极板时竖直速度为零，则qU=m，解得U=。
(3)设能射入小孔C的离子的速度为v2，v2应满足v0≤v2≤v0
当v2=v0时，有cos θ=
解得θ=45°
因此根据对称性可知，离子打在下面金属板上区域的长度
L=2dtan θ=2d。
10.如图所示，质量m=8.0×10-25 kg、电荷量q=1.6×10-15 C的带正电粒子，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且均在与x轴正方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，大小均为v0=2.0×107 m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.1 T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上，并且把荧光屏MN向左平移时，屏上光斑长度和位置保持不变(π=3.14)。求:
(1)粒子从y轴穿过的范围;
(2)荧光屏MN上光斑的长度;
(3)从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差;
(4)画出所加磁场的最小范围(用阴影表示)。
答案　(1)0~ m　(2) m
(3)7.7×10-9 s　(4)见解析图
解析　设粒子在磁场中运动的半径为R
由洛伦兹力提供向心力得qv0B=
解得R=0.1 m
当把荧光屏MN向左平移时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子出射方向平行，且都沿x轴负方向，则所加磁场边界为圆弧形，对应半径为r=0.1 m。
(1)如图所示，初速度沿y轴正方向的粒子直接穿过y轴;由几何关系知，初速度方向与x轴正方向成30°角的粒子，转过的圆心角∠OO2B为150°，则∠OO2A=120°
粒子从y轴穿过的最高点A与O的距离为
2Rcos 30°=R
即从y轴穿过的范围为0~R，即0~ m。
(2)初速度沿y轴正方向的粒子，射出磁场时沿y轴方向运动的距离yC=R
由(1)知∠O2OA=30°
初速度方向与x轴正方向成30°角的粒子，射出磁场时沿y轴方向运动的距离
yB=R+Rcos 30°
则荧光屏上光斑的长度l=yB-yC= m。
(3)粒子运动的周期T==3.14×10-8 s
从B点和C点射出的粒子在磁场中运动转过的圆心角分别为150°和90°，则在磁场中运动的时间差t1=·T-·T=T
出磁场后，打到荧光屏MN上的时间差t2=
从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差
t=t1+t2≈7.7×10-9 s。
(4)如(1)解析图中阴影部分所示。

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