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2025-2026学年内蒙古包头三十五中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.若x＜y,则下列式子中错误的是（　　）
A. x-2＜y-2 B. x+2＜y+2 C. -2x＞-2y D.
3.下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若a2＞b2，则a＞b
C. 两直线平行，内错角相等 D. 全等三角形的对应角相等
4.如图，△ABC沿BC方向平移2个单位长度后得到△A′B′C′，连接AA′，若四边形ABC′A′的周长是13，则三角形ABC的周长是（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.下列分式中，是最简分式的是（　　）
A. B. C. D.
6.某课外密码研究小组接收到一条密文：8x（m2-n2）-8y（m2-n2）.已知密码手册的部分信息如表所示：
密文 … m-n m+n x-y x+y 8 x …
明文 … 包 爱 头 美 我 丽 …
把密文8x（m2-n2）-8y（m2-n2）用因式分解解码后，明文可能是（　　）
A. 美丽包头 B. 我爱包头 C. 我爱美丽 D. 包头爱美
7.如图，在△ABC中，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，若∠B=35°，∠C=56°，则∠EAF的度数为（　　）
A. 28° B. 27°
C. 23° D. 21°
8.已知关于x,y的方程组的解满足x+y＞1，则k的取值范围是（　　）
A. k＞4 B. k＜4 C. k＞2 D. k＜2
9.如图，函数y1=-2x与y2=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式-2x＞ax+3的解集是（　　）
A. x＞2 B. x＜2
C. x＞-1 D. x＜-1
10.如图，△ABC是等边三角形，点P在边BA的延长线上，PE⊥AC交CA的延长线于点E，点Q在边BC上，CQ=PA，连接PQ交AC于点D，结论①AB=2DE，②DE=DC，③PD=DQ，④PQ⊥BC，正确的有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：a2b-4ab+4b=______．
12.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 ．
13.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，则△CDE的周长为 .
14.若分式的值为0，则x的值为 .
15.如图，把长方形ABCD沿BD折叠，得到△BDE，BE交AD于点F，DF平分∠BDE，若BC=12，则AF长为 .
16.如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，点P是Rt△ABC三个内角角平分线的交点，点P到边AB的距离为 .
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中.
19.(本小题8分)
如图所示的直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（-2，-4），B（0，-4），C（1，-1）.
（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）直接写出点A关于原点O对称的点M的坐标______.
20.(本小题8分)
2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作.随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业为提高工作效率，决定购买机器人.购买1台入门级人形机器人和2台商用级人形机器人共需18万元，购买3台入门级人形机器人和4台商用级人形机器人共需38万元.
（1）求入门级人形机器人和商用级人形机器人的单价分别是多少万元；
（2）某公司计划购买入门级人形机器人和商用级人形机器人共30台，总费用不超过110万元，问最多可以购买商用级人形机器人多少台？
21.(本小题12分)
如图，将△ABC的边BA、BC延长到E、F，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，连接CP，∠BPC=25°，过点P作BE、BF的垂线，垂足分别为M，N.
（1）求证：点P在∠ACF的角平分线上；
（2）用等式表示AC、AM、CN的数量关系，并说明理由；
（3）求∠CAP的度数.
22.(本小题12分)
“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”.几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题.综合实践课上，老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是老师的课堂主题展示：
（1）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，点D为线段AB上的一动点（点D不与A，B重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转到CE，连接DE，连接BE，∠ACB=∠DCE=α.解答下列问题：
【观察发现】①如图1，小明发现当α=90°时，线段AD=BE且AD⊥BE，请说明理由.
【类比探究】②如图2，当α=60°时，试探究线段AC与BE的位置关系，并说明理由.
【拓展延伸】（2）如图3，△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB，点P为△ABC内一点，∠APC=120°，CP=3，AP=6，请直接写出BP的长.（提示：顶角为120°的等腰三角形三边之比为
参考答案
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】b（a-2）2
12.【答案】六
13.【答案】
14.【答案】-1
15.【答案】4
16.【答案】1
17.【答案】见解析．
18.【答案】解：原式=+
=+
=+
=
=，
当x=（）-1=2时，原式==1．
19.【答案】
（2，4）
20.【答案】入门级人形机器人的单价是2万元，商用级人形机器人的单价是8万元
最多可以购买商用级人形机器人8台
21.【答案】作PD⊥AC于D，

∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上.AM+CN=AC，理由如下，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴AD=AM，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC 65°
22.【答案】①∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-CDB=∠DCE-∠CDB，
即∠ACD=∠BCE，
又∵AC=BC，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，
∴∠DBC=∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠DBC+∠CBE=90°，
∴AD⊥BE．
②AC∥BE，理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
∵CA=CB，
∴∠A=∠CBA==60°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠A=∠CBE=60°，
∴∠ACB=∠CBE，
∴AC∥BE
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