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2025-2026 学年度第二学期期末阶段作业八年级数学试卷
一、选择题(共8小题,每小题3分,计24分）
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
2．下列四个标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．将多项式进行分解因式时，应提取的公因式为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在梯形中，，对角线与相交于点，若的面积是，的面积是，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．7
7．如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，对角线、相交于点，交于点，连接，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二,填空题(共6小题,每小题3分,计18分)
9．分解因式：__________．
10．正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．
11．如图，一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集是__________．
12．在平面直角坐标系中，如果将向右平移4个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为__________．
13．如图，在等腰中，，点、、分别是边，，上的点，连接、，若，，则四边形的周长是__________．
14．如图，在四边形中，，，，连接，过点作分别交、于点、，连接交于点，若，，则的长为__________．
三、解答题(共12小题,计78分.解答应写出过程)
15．（5分）解不等式组： ．
16．（5分）解方程：
17．（5分）对于任意实数、，定义新运算“□”，规定，已知，，将的结果进行因式分解．
18．（5分）如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点D，使得点D到的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）．
19．（5分）如图，在中，点、分别为边、的中点，点在的延长线上，连接，点、分别为、的中点，连接、、．求证：四边形为平行四边形．
20．（5分）先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值．
21．（6分）在如图所示的正方形网格中，的顶点、、均在网格格点上．
(1)将先向右平移5格，再向上平移1格得到，请在方格纸中画出；（点、、的对应点分别为点、、）
(2)将绕点逆时针旋转得到，请在方格纸中画出．（点、的对应点分别为点、
22．（7分）如图，已知在和中，，，与相交于点，过点作于点，求证：垂直平分．
23．（7分）为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式．
甲：无论购买数量为多少，一律按照20元/张购买；
乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次打折优惠．
设乐乐一年内所需动物园的门票为张，按照甲种购票方式所需总费用为元，按照乙种购票方式所需总费用为元，其中与之间的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题：
(1)请你分别求出、与之间的函数关系式；
(2)乐乐一年内去动物园多少次时，选择甲种购票方式所需费用小于选择乙种购票方式所需费用．
24．（8分）如图，点为的边的中点，过点作于点，的延长线交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
25．（8分）某公司重新装修会议室，计划购买两种型号壁纸．已知每张甲种型号壁纸比乙种型号壁纸贵15元．用1200元购买甲种型号壁纸与用900元购买乙种型号壁纸的张数相等．
(1)每张甲种型号壁纸与每张乙种型号壁纸的价格分别为多少元？
(2)该公司计划购买甲种型号壁纸与乙种型号壁纸共120张，总费用不超过6150元，那么最多能购买多少张甲种型号壁纸？
26．（12分）【问题引入】
(1)如图1，线段、相交于点，且，，连接，，求证：；
【解法探究】
为帮助学生理清思路，李老师给同学们做了如下提示：如图2，过点作，且，连接．请根据李老师给出的辅助线思路完成探究过程．
【学以致用】
(2)如图3，为某农场的一块试验田，农技员要在、边上分别布设灌溉水管的出水口、，从、两个主水管接口分别向两个出水口铺设两条等长的灌溉支管和，两条支管在点处交汇，形成的夹角，已知田间小路的长为4米，的长为米，测量得，为了做好合理预算，求灌溉支管的长度．（灌溉水管、灌溉支管、小路的宽度及出水口、水管接口的大小均忽略不计）
参考答案
1．A
2．D
3．B
4．D
5．C
6．D
7．B
8．C
9．
10．12
11．
12．
13．26
14．
15．解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组得解集为．
16．解：
方程两边同时乘以去分母得：
，解得：，
检验：当时．
所以原分式方程的解是．
17．解：
.
18．如图所示，点即为所求，
19．证明：点、分别为边、的中点，
是的中位线，
，且．
点、分别为、的中点，
是的中位线，
，且，
，且，
四边形是平行四边形．
20．解：
，
∵，，
∴把代入得：原式．
21．(1)如图，即为所求．
(2)如图，即为所求．
22．证明：在和中，，，
，
，
，
是等腰三角形，
又，
，
垂直平分．
23．（1）解：根据题意，得与之间的函数关系式为．
设与之间的函数关系式为，
将，代入，得：
解得：
与之间的函数关系式为．
（2）解：由题意得，即，
解得．
当乐乐一年内去动物园少于8次时，选择甲种购票方式所需费用小于选择乙种购票方式所需费用．
24．(1)证明：四边形是平行四边形，
，
．
点是的中点，
．
，
在与中，
，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
．
点是的中点，
．
，，
，
由，可得，
．
在中，，
，
在中，．
25．（1）解：设每张乙种型号壁纸价格为元，则每张甲种型号壁纸的价格为元，
根据题意，得，解得．
经检验：是原分式方程的解
．
答：每张甲种型号壁纸价格为60元，则每张乙种型号壁纸的价格为45元．
（2）解：设计划购买甲种型号壁纸张，则计划购买乙种型号壁纸张，
根据题意，得，解得．
答：该公司最多能购买甲种型号壁纸50张．
26．(1)证明：，，
四边形是平行四边形，
．
，
．
，，
，
是等边三角形，
．
结合三角形三边关系得，
当共线时，则
即，
．
（2）解：如图3，过点作，过点作，，相交于点，过点作交的延长线于点，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
，，，
，
∵
∴
，
即，
∴，
，
∵的长为米，
．
在中，．
，，
．
，，
，
是等边三角形，
．
故灌溉支管的长度为米．

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