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2.1 认识实数
基础巩固提优
1.下列说法正确的是( ).
A.有理数可以用有限小数或无限循环小数表示
B.无限小数就是无理数
C.不循环小数是无理数
D.0既不是有理数，也不是无理数
2.实数4 的相反数是( ).
A. - 4 B.4 C.2 D.
3.下列各数中，是无理数的是( ).
A. 0 B. C. 3.14 D.
4.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( ).
A. a>-2 B. a+b>0
C. |a|>|b| D. b-a<0
5.下列实数中，最小的数是( ).
A. - 1 B.0 C. D. 2
6.下列各数中，哪些是整数 哪些是负分数 哪些是无理数
①-5; ③π;④+9;⑤-3.14;⑥0;
⑦2.828828882…(相邻两个2之间依次增加1个8).
思维拓展提优
7.下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数； 不仅是有理数，而且是分数； 是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数.其中错误说法的个数为( ).
A. 7 B. 6 C.5 D.4
8.下列四个选项中，是负无理数的是( ).
B. - 1 C.0 D.3
9.小聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”“整数”“正数”“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上分别填上一个适合的数.
10.如图，在4×4 的正方形网格中，每个小方格边长为1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图(1)中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图(2)中，画一个直角三角形，且满足它是轴对称图形；
(3)在图(3)中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.
11.多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，伟大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2 的比例中项(若1:x=x:2,则x叫1和2的比例中项)时，他怎么也想不出这个比例中项的值.后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理 2，他想x代表对角线的长，而 那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：
(1)x是整数吗 为什么
(2)x可能是分数吗 是，能找出来吗 不是，能说出理由吗
(3)由(1)(2)得x 无理数.(填“是”或“不是”)
延伸探究提优
12.数学课上，好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗
以0.3为例，老师给小明做了以下解答(注：0.3即0.33333…):
设0.3为x,即0.33=x,等式两边同时乘10，得3.3=10x,即3+0.3=10x,因为0.3=x,所以3+x=10x,解得 即
因为分数是有理数，所以0.3是有理数.
同学们，你们学会了吗 请根据上述阅读，解决下列问题：
(1)无限循环小数0.2写成分数的形式是
(2)请用解方程的办法将 写成分数.
13.如图,A,B,C均为正方形,若A 的面积为10，C 的面积为1，则B 的边长可以是 .(写出一个答案即可)
1 认 识 实 数
1. A 2. A
3. B [解析]0是整数,3.14是有限小数, 是分数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数.故选 B.
4. C [解析]根据题图所示,可得a<-2,0|b|，∴选项A不符合题意，选项C符合题意；
∴a+b<0,∴选项B不符合题意;
∴b-a>0,∴选项D不符合题意.
故选C.
5. A [解析]· ∴最小的数是-1.故选 A.归纳总结 利用实数大小的比较方法：1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.2.正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.3.两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.按照从小到大的顺序排列找出结论即可.
6.整数:①④⑥;负分数:②⑤;无理数:③⑦.
7. B[解析]①没有最小的整数，所以原说法错误；
②有理数包括正有理数、0和负有理数，所以原说法错误；
是无理数，所以原说法错误；
是分数，所以是有理数，所以原说法错误；
⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；
⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；
⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误.
故其中错误说法的个数为6.故选 B.
解后反思 本题考查了有理数的分类和无理数的概念，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键.注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数.
8. A [解析] 是负无理数，-1，0，3是整数，它们不是无理数.故选 A.
9.填数如图：(答案不唯一)
关键提醒 本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键.
10.(1)如图(1),△ABC 即为所求.
(2)如图(2),△ABC 即为所求.(答案不唯一)
(3)如图(3),△ABC 即为所求.(答案不唯一)
归纳总结 (1)与方格线重合的线段，长度可直接读出，
是有理数；(2)不在方格线上的线段，可看成某一直角三角形的斜边，利用勾股定理求出其长度的平方.若该平方是整数或分数的平方，则线段的长是有理数；若该平方不是整数或分数的平方，则线段的长是无理数.
11. (1)不是.理由如下:
因为1<2<4,而 所以
又x>0,所以1但在1和2之间不存在另外的整数，所以x不是整数.
(2)不是，因为任何分数的平方都不可能是整数.
(3)是
12.(1) [解析]设0.2为x,即0.22=x,等式两边同时乘10,得2.2=10x,即2+0.2=10x.
因为0.2=x,所以2+x=10x,解得 即
(2)设 为x,即0.212i=x,
等式两边同时乘100,得21.21=100x,
即21+0.21=100x.
因为(0.21=x,所以21+x=100x,
解得 即
13.2(答案不唯一) [解析]
∴正方形A 的边长为 正方形C的边长为1，
∴1<正方形B 的边长
∴正方形 B 的边长可以是2.(答案不唯一)
思路引导 根据正方形的面积公式得到正方形A 的边长为 正方形C 的边长为1，得到1<正方形 B 的边长 于是可得结论.

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