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福建省泉州市惠安县第四片区2025-2026学年九年级上学期期中教学素质联合拓展活动数学试卷
一、单选题
1．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．解一元二次方程，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各组的四条线段成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，，
C．1，4，5，6 D．2，3，，
5．如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（ ）

A． B． C． D．
6．如图，与位似，点为位似中心，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　）
新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+
A．1 B． C． D．1或
9．已知实数满足，那么的值为（ ）
A．2025 B． C．2026 D．
10．已知实数满足，则的值为（ ）
A．2 B．2或7 C．7 D．7或9
二、填空题
11．比较大小：__________2(填，，=)．
12．已知最简二次根式与可以合并，则的值是_______．
13．若是方程的一个根，则_______．
14．如图，在中，，，，，则的长是______．
15．欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的值为______．
16．如图是将正方形变成与之面积相等的矩形的一种方法：在正方形中，点在边上，连结，于点．以为边作矩形，使得经过点，交于点，则正方形的面积等于矩形的面积．若与的面积之比为144：25，且，则的长为_______．
三、解答题
17．计算：．
18．解方程：．
19．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升，某品牌新能源汽车8月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，10月份的销售量达到万辆，求从8月份到10月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
20．如图，在中，已知．
(1)尺规作图：在的边上找一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求的度数．
21．在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标；
(2)以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为2：1．
22．综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；
根据以上信息解答下列问题：
(1)与 互为有理化因式；
(2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”）
(3)计算：．
23．如图，在中，，点是的中点，点和点分别是边和上的动点，且．
(1)当点和点分别是边和的中点时，求的值；
(2)当时，以点为顶点的三角形与相似，求的值．
24．在中，，点是外一点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结．
观察猜想：
（1）如图1，当时，猜想：与的数量关系是 ；
类比探究：
（2）如图2，当时，猜想：与的数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）如图3，当时，，请补全图形，并求的长度．
25．已知关于的一元二次方程．
(1)当时，解该一元二次方程；
(2)求证：无论为何实数，方程总有实数根；
(3)若是方程的两个实数根，且，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A B D C D A C B
11．
12．4
13．2027
14．
15．
16．
17．解：原式
．
18．解：，
，
，
或，
．
19．解：设月平均增长率为，根据题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：月平均增长率为．
20．（1）解：如图所示，点即为所求，
（2）解：在中，∵，
∴，
由（1）可得，
∴.
21．(1)点的位置如图所示，；
(2)如图，即为所求．
22．（1）解：与互为有理化因式，
故答案为：（答案不唯一）
（2）解：∵，，
而，
∴，
故答案为：；
（3）解：
．
23．（1）解：在中，，
∴，
∵点和点分别是边和的中点，
∴，
∵
∴．
（2）解：当时，，
设，则，
由（1）得，
∴，
∵是的中点，
∴，
在等腰中，，
∴要使与相似，有以下两种情况：
①当时，
则，
∴，
此方程无解，不符合题意；
②当时，
则，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），或，
∴，
综上，．
24．解：（1）；
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由旋转知，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2），理由如下：
如图，设与相交于点，
∵，
∴，
∵，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则，
连结，作交于点，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴.
25．（1）解：当时，原方程为，
，
∴或，
∴；
（2）证明：∵，
∴
，
∴不论为何实数，方程总有实数根；
（3）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∵
∴
∴，
整理，得
∴．

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