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2025-2026学年甘肃省兰州市外国语学校七年级（下）期末
数学试卷
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列国产软件图标属于轴对称图形的是( )
A. B.
C. 米可智能 D. 通义千问
2.已知等式，则下列变形错误的是( )
A. B. C. D.
3.“翻开人教版数学九年级下册，恰好翻到第页”，这个事件是( )
A. 确定事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 随机事件
4.如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是( )
A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等
5.如图，与相交于点，于点若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是( )
A. B. C. 或 D. 或
7.如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，三点共线，过点作，使得点，，在同一直线上，得到≌，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定≌的依据是( )
A. B. C. D.
8.张老师让同学们作中边上的高，下列作法正确的是( )
A. B.
C. D.
9.为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程与时间之间的图象如图所示，下列说法错误的是( )
A. 甲、乙两人练习的长跑路程是
B. 甲、乙两人同时达到终点
C. 前分钟，甲比乙每分钟快
D. 分钟后，乙跑在甲的前面
10.如图，在中，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且分别交于点，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
11.如图，厘米，厘米，，如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动若经过秒后，与全等，则的值是( )
A. B.
C. 或 D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.据统计，人的头发直径约微米，在好奇心的驱使下，阳阳同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为 ．
13.李明打算购买张高铁车票，从如图所示的个座位中随机选择个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是 ．
14.如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为 ．
15.如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
用乘法公式进行简便计算．
；
．
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
19.本小题分
如图，在正方形网格中有一个．
画出关于直线的对称图形；
若网格上的每个小正方形边长均为，求的面积；
20.本小题分
已知：如图，，
判断与的位置关系，并说明理由；
若于点，，求的度数．
21.本小题分
某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为份，如图所示同时规定：顾客购物满元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据：
转动转盘的次数
指针落在“谢谢参与”区域的次数
指针落在“谢谢参与”区域的频率
完成上述表格：______，______；
若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是______；结果都精确到
顾客转动转盘一次，得到“谢谢参与”的概率记为，若当天有人参加活动，大概有多少人转到“谢谢参与”．
22.本小题分
如图，与中，与交于点，且，．
求证：≌；
当，求的度数．
23.本小题分
如图，现有一块长为，宽为的长方形空地，开发商计划在这块长方形空地中间预留一个边长为的正方形花坛，并将其余空地图中阴影部分进行绿化．
求需要进行绿化的空地面积用含，的代数式表示，并化简；
若，，绿化空地的价格为元，则完成绿化共需要多少元？
24.本小题分
如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
碗的数量只
高度
上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？
用表示这摞碗的高度，用只表示这摞碗的数量，请用含有的代数式表示；
若这摞碗的高度为，求这摞碗的数量．
25.本小题分
【定义】一个正整数除以它的各位数字之和，所得的商叫做这个数的平均商．
例如：的平均商的平均商的平均商．
【理解】的平均商为 ______，的平均商为 ______；
【探究】数学兴趣小组开展研究，首先计算部分两位数的平均商保留两位小数，结果如表：
个位数字
平均商
十位数字
老师：“请同学们观察表格，谈谈你的发现”
小明：“我发现，个位数字与十位数字相同的两位数的平均商相同”
小莉：“我发现，当个位数字相同时，十位数字越小，平均商越小”
请你再写出一条新的发现．
假设一个两位数的个位数字与十位数字都为，请结合计算，说明小明的说法是否合理．
【拓展】利用上述研究思路，可以得出平均商最小的三位数是 ______．
26.本小题分
【问题呈现】
在中，，点是直线上一点不与点，重合，以为一边在的右侧作，使，，连接．
如图，当点在线段上时，若．
判断与是否全等？并请说明理由．
求的度数．
【知识应用】
如图，当点是的中点时，与平行吗？
【拓展延伸】
设，，如图，当点在线段上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】

17.【答案】
18.【答案】解：原式
．
当，时，原式．
19.【答案】解：如图所示：即为所画；
．
的面积为．
20.【答案】解：，
理由如下：
，
，
，
又，
，
；
，，
，
，
，
．
21.【答案】 大概有人转到“谢谢参与”
22.【答案】证明：在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，
，
．
23.【答案】
完成绿化共需要元．

24.【答案】解：通过表格所列举的变量可知，
碗的数量是自变量，高度是因变量，
由表格中两个变量的变化关系可得，
，
答：；
当时，即，
解得，
答：当这摞碗的高度为，碗的数量为只．
25.【答案】解：；；
新发现：个位数字为的两位数的平均商均为 如的平均商，的平均商等
设个位与十位数字均为 为到的整数，
则两位数为，各位数字之和为，平均商为 ，
因此，所有个位与十位数字相同的两位数的平均商均为，小明的说法合理．
．
26.【答案】解：与全等，
理由：，
，
在和中，
，
≌；
由知，，
，，
，
；
与平行，
理由：，，点是的中点，
，，
由知≌，
，，
，
，
；
，理由如下：
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
．
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