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第14章《全等三角形》章节检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（ ）
A． B．
C． D．
3．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ）
A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：×
C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：×
4．如图，，角平分线，交于点，与交于点，则图中共有全等三角形（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
5．数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，平分，，点在边上， ，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形中，，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．20
9．如图，，，，，垂足分别为、．
①；
②；
③；
④若，则；
⑤取中点，连接，，则为等腰直角三角形．
其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
10．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为_____．
11．如图，、、三点在同一直线上，在中，，若，则 ___．
12．如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，若，，则______．
13．如图，在中，，，且，，则的面积是___________．
14．如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_____．
15．如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________．
16．如图，正方形中，，，则___．

三、解答题（本大题共7小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
18．（8分）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若是的中点，求证：．
19．（10分）如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接，
(1)求证：．
(2)试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由．
20．（10分）如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F．
(1)求的度数．
(2)若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由．
21．（12分）如图，为外部一点，连接，已知，．
(1)尺规作图：在内求作一点，使；
（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)①通过作图可以得到：___________，___________；
②判定的依据是___________（从、、或中选填）；
(3)求．
22．（12分）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
【发现问题】
（1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______．
【类比探究】
（2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．
23．（14分）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．

(1)试说明：；
(2)试说明：；
(3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵，
∴．
∵，，
∴．
2．D
解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等；
B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等；
C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等；
D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等．
3．D
解：如图，方案一：
∵，，，
∴．
又∵，，
∴在与中，
，
∴，
即方案一正确；
方案二：
只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等，
∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等．
4．C
解：∵AB=AC，角平分线BF、CE交于点O，
∴AO平分∠BAC，点D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△BAD和△CAD中，
，
∴△BAD≌△CAD（SSS）；
同理可证：△OBD≌△OCD，△OBE≌△OCF，△OEA≌△OFA，△OBA≌△OCA，△BEC≌△CFB，△ABF≌△ACF，
由上可得，图中共有7对全等的三角形，
故选：C．
5．C
解：∵，
∴，
∵ ，
∴，
在和中，
∵ ，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即 ，
∵ 的长度为，
∴，
即A、B两点间的距离为．
6．A
解：如图，过点作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，同理可得，
∴，
即，
∴，
故选：．
7．C
解：如图，延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，使 ．
由图可知：，，，
，
．
是 的外角，
，即．
，
，即，
，即．
，
．
8．C
解：过点分别作，交直线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形的面积，
∴四边形的面积
，
故选：C．
9．C
解：∵，，
∴，
（内错角相等，两直线平行），故①正确；
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
∴，
∴，即，故③正确；
，
，
又，，
，
，故④错误；
如图，连接，、相交于点，
∵，点是中点，
∴，
在和中，，
∴，
由（1），可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，则为等腰直角三角形，故⑤正确．
综上，正确的有①②③⑤共4个．
二、填空题
10．1
解：延长交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴， ，
∴阴影部分的面积；
故答案为：1．
11．
解：，，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．
解：∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
13．50
解：如图，过点D作于点E，
∵中，，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
14．
解：如图，延长交于点F，
且平分，
，，
，
，
，
，，，
，
在和中
，
，
，
，
故答案为：3．
15．或4
解：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
分情况讨论：
①如图，当点在延长线上时，．
∵，，
∴，
∵，
∴，
又，
当时，有．
，，
，
解得；
②如图，当点在线段上时，．

同①得，
又，
当时，有．
，，
，
解得；
综上，当与全等时，t的值为秒或4秒．
16．
解：把逆时针旋转得到，连接；如图所示：

则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C、A、G三点共线，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解： ，
，
，，
，
在中，
，
∵，E为中点，
∴，
，
．
18．(1)证明：，
．
，
，
．
．
．
．
(2)证明：如图，过点作于点，
，
，
．
，，
．
是的中点，
．
，
．
．
，
19．（1）证明：与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
（），
（2）解：；
理由如下：
如图，在上取点F，使，连接，
∵，
，，
，
同理可证：（），
，，
，
是等边三角形，
，
．
20．（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：的长为定值，理由如下：
在的延长线上取点H，使得，
∵在正方形中，，，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由（1）有，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长等于正方形的边长，为定值．
21．(1)
解：如图，点M即为所求．
（2）解：①通过作图可以得到：．
故答案为：；．
②结合作图得，
∵
∴判定的依据是．
故答案为：．
（3）解：在中，，
在中，．
∵，
∴．
∴
．
22．解：（1）∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
（2），，
理由如下：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
23．（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，
，，
又，
，
即，
在和中，
，
；
（2）∵，
，，
又，，
，
，
即．
（3）设点A到边，所在直线的距离分别为，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，即点A到边，所在直线的距离相等．

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