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第十三章《三角形》章节检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（ ）
A．12 B．15 C．9 D．6
2．为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边
3．如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的三边长分别是、、，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（ ）
A．5 B．8 C．30 D．45
9．如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（ ）
A．42 B．36 C．28 D．30
10．如图，在中，，点D在边上，满足，的平分线交于E，交于F．下列结论：
①；②；③；④．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在中，若，则________．
12．将三根长分别为，，的小木棒首尾相接构成一个三角形，则整数的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可）
13．如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________．
14．如图，是的中线，是的中线，，垂足为点F，若，，则_____________．
15．在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________．
16．如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为________．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（6分）已知：如图，在中，平分，点E在上，点F在的延长线上，交于点G，．
求证：．
证明：∵平分（已知），
∴（ ）．
∵是的外角（已知），
∴ （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
∵（已知），
∴，
即（ ）．
∴（ ）．
∴（ ）．
18．（6分）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使．
(1)求证：．
(2)当，时，求的度数．
19．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上．
(1)作交的延长线于点 ；
(2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形，请在图中作出平移后的三角形．
20．（6分）如图，的高、角平分线、中线相交于点O．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求与的周长之差．
21．（8分）如图，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点、、的对应点分别为点、、．
(1)直接写出坐标：（____，____），（_____，_____），（_____，_____）．
(2)画出平移后的三角形．
(3)求三角形的面积．
22．（8分）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数；
(3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由．
23．（8分）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”．
(1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______；
(2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数；
(3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数；
(4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数．
24．（12分）综合与实践：
【问题情境】
在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动．
【探究发现】
如图①，小明把三角尺中角的顶点放在上，边，与分别交于点，．
(1)若，则的度数为_____；
(2)如图②，请你探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)【延伸拓展】如图③，，把三角尺从图③的位置开始绕点顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数．
25．（12分）如图，直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合．
(1)如图，平分，平分，若，求的度数．
(2)如图，平分，平分，的反向延长线交于点；
①若，则______．
②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求的度数．
(3)如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中，
①直接写出与之间的关系．
②在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的倍，直接写出的度数．
参考答案
一、选择题
1．B
解：分两种情况讨论：
①当3为底边长时，两腰长均为6，
∵，满足三角形三边关系，
∴此时三角形周长为；
②当3为腰长时，底边长为6，
∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去；
因此三角形的周长为15．
2．C
解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据．
B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据．
C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形．
D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据．
3．B
解：，
，
．
4．B
解：∵、、是的三边长，
∴，，
∴，．
∴．
5．A
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
6．B
解：∵，
∴，
由折叠得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
7．D
解：等腰的周长为，一边长为，
∴分两种情况讨论：
当为腰长时，底边长为，
，
∴满足三角形三边关系，
依题意，和谐比；
当为底边长时，腰长为，
，
∴满足三角形三边关系，
依题意，和谐比；
综上：等腰的“和谐比”为或，
8．C
解：如图，连接，
，，，，分别为五边形各边中点，
,，，，
图中阴影部分的总面积是15，
，
五边形的面积是．
9．A
解：连接，，
点G是线段的中点，
，，
点F是线段的中点，
，，
点E是线段的中点，
，，
，
点D是线段的中点，
．
10．B
解：∵平分，
∴．
∵和不一定相等，
∴不一定等于，故①错误；
∵，，，
∴，故②正确；
∵
∴，
∴，
若，
∴
∴，
∴，
∴，根据题意无法得到，
∴不成立，故③错误；
∵，
∴
，故④正确．
综上所述，所有正确结论的序号是②④．
二、填空题
11．
解：由题意设，则，
根据三角形内角和定理，得
解得
因此，
则．
12．（答案不唯一，填7、8、9、10也可）
解：据三角形三边关系，可得，
即，
为整数，
可以为，，，，中任意一个．
13．
解：如图，过点作于，交于，则，
∵，
∴，
∵点到的距离是，
∴，
∵，，，，
∴，即，
解得：，
∴，
∴与之间的距离是．
14．4
解：∵是的中线，，
∴．
∵是的中线，
∴．
∵，
∴，
解得．
15．3
解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
16．或或
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
当时，如图，延长交于点G，
可知，
∴，
∴；
当时，如图，
可知，
∴；
当时，如图，
可知，
∴，
∵，
∴；
综上所述，的度数为或或．
三、解答题
17．角平分线的定义；；等式性质；等量代换；同位角相等，两直线平行
18．(1)证明：是的平分线，
，
又，
，
；
（2）解：，
，
在中，，，，
，
平分，
，
．
19．(1)如图，高即为所求
(2)如图，三角形即为所求：
20．（1）解：∵是的高，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴；
（2）解：∵是的中线，
∴，
∴，
∴与的周长之差为3．
21．（1）解：∵把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点、、的对应点分别为点、、，
∴，，，
即，，；
（2）
（3）解：．
22．（1）解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵由（1）知，
∴．
(3)，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∴．
23．（1）解：∵和互为“黄金角”，且，若和互余，
∴，
解得；
（2）解：∵在中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∵与互为“黄金角”，
∴当时， ，
∵，
∴，
∴；
当时， ，
∵，
∴，
∴；
综上所述， 的度数为或；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
由折叠得， ，，
∴，
∴，
∵和互为“黄金角”，
∴当时， 联立得， ，
解得；
当时， 联立得， ，
解得；
综上所述， 的度数为或；
（4）解：如图，设与交于点F，
由折叠得， ，
∴，
∴
∴，
∵和互为“黄金角”，
∴， ，
∴．
24．（1）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
(2)与之间的数量关系为：，
理由如下：，
，
，，
，
又，，
；
（3）解：分以下情况讨论：
①当时，如答图①，直线与相交所成的锐角的范围是，可能为，
当时，由（2）的结论可得，，
②当时，如答图②，直线与相交所成的锐角的范围是，可能为，
当时，，
由（2）的结论可得，，
综上所述，的度数为或．
25．（1）解：，
，
，
，
平分，平分，
，
，
；
（2）解：①，
，
，，
，
平分，平分，
，，
，
；
②大小不变，度数恒为，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
大小不变，度数恒为；
（3）解：①平分，平分，
，，
，
平分，，
，
，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
，
整理得：．
②由①得：，，．
情况1：，
，
，
．
情况2：，
，
，
，
，
是直角三角形内锐角，，故此解舍去．
情况3：，
，
，
，，
，不符合题意，舍去．
情况4：，
，
，
，
．
综上，的度数为或．

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