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第十四章《 全等三角形》单元自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面四个三角形中，与图中的全等的是（ ）
A．B． C． D．
3．如图，已知，若，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（ ）
A． B． C． D．
5．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（ ）
A．三个角的平分线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三条边的垂直平分线的交点处
D．三条高线的交点处
6．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（ ）
A．13 B．26 C．36 D．18
7．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，平分，，于点，，则的长度为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
10．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使．
给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有（ ）
A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________．
12．如图，已知的周长是22，和的平分线交于点O，于D，且，的面积是________．
13．如图，在的方格纸中，__________ ．
14．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________
15．如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ．
16．已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（只填序号）
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（6分）如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明．
18．（6分）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：．
证明：∵BC∥EF，
（___________）
，
____________________
即：__________=__________
在和中，
（_____________）
（_____________）
．
19．（6分）如图，点在线段上，已知，，．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
20．（6分）如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求与的周长和．
21．（8分）如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行．
(1)请说明这样设计的理由；
(2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带）
22．（8分）图1是一个平分角的仪器，其中，．
(1)如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长．
23．（8分）项目化学习
项目主题：确定三角形菜园的小门位置
项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸．
方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图；
第二步：确定菜园小门的位置．
为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线
方案实施：
(1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示．
请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）；
(2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数．
24．（12分）如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为．
(1)的度数为________；
(2)当点D沿射线运动时，若，求t的值；
(3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
25．（12分）综合实践：
(1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：；
【变式探究】
(2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
(3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1.B
A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意；
B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意；
C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意；
D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意．
2．C
解：由题可得，
A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意；
B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意；
C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“”能判定全等，故本选项符合题意；
D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意．
3．C
解：∵，，
∴．
4．A
解：∵在中，，，
∴，
由作图可知：平分，
∴．
5．A
解：充电点到三条路的距离相等，
充电点应该建在三个角的角平分线的交点处，
故选：A．
6．D
解：过点作于点，如图所示：
∵是的角平分线，，，
∴，
∴的面积.
7．C
解：过点作于，如图，
∵，，
，
和分别平分和，
，，
，
，
，
．
8．B
解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得．
9．C
解：过点作的延长线于点，如图所示，
，，
，
平分，
，
在Rt AFC和中，，
．
，．
，，
，
在和中，，
，
．
，设，，
，
，
．
10．D
解：在中，为中线，
，
，，
，
，
，
，，，故①正确；
，，，
，
，即，，
，，故③正确；
，
，故②正确；
， ABE≌ GCF，
，，
，
，故④正确；
综上，正确结论的序号有①②③④，
二、填空题
11．
解：由作图痕迹可知，，，，
在和中，
，
，
因此作图的依据为．
12．33
解：如图，过点作于点，作于点，连接，
∵和的平分线交于点，且，，，，
∴，，
∵的周长是22，
∴，
∴的面积等于
．
13．
解：如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
14．5
解：过点作于点，
由作图痕迹可知，平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
15．6
解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
16．①②③④
解：①为的角平分线，
，
在和中，
，
，故①正确；
②，
，
，
，
，
，故②正确；
③∵，
∴，
∵，
，
，，，，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，故③正确；
④过作于点，
∵为的角平分线，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故④正确．
综上可得，正确的是①②③④．
三、解答题
17．解：条件是，证明如下：
，，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
．
18．两直线平行，内错角相等；；；；；；；；；全等三角形的对应角相等
19．(1)证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴ ABC≌ ECD（AAS）．
（2）解：由（1）已证：，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
20．（1）解：，
，即，
，
∵∠CAD=110 ，，
，
，
（2）解：，
，，
与的周长和为．
21．(1)
解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，垂足为点O，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：根据题意，连接，
∵，
∴，，
∵
∴．
22．(1)证明：在和中，
，
,
,
平分；
（2）解：过点P作于M，
平分，，
，
，
，
解得：．
23．(1)解：如图，即为所求；
(2)如图，即为所求；
，，
，
是的角平分线，
，
．
24．（1）解：如图1中，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图2中，
①当在线段上时，作于，于．
平分，
，
，，，
，
；
②当点运动到延长线上，同法可得时，也满足条件，
当或4时，满足；
（3）解：存在某个时间，使得与 BEC全等；理由如下：
由（1）知，，
是等腰直角三角形，
，，
当时，，
，
，
时，
当在延长线上时，，
解得：，
综上所述，满足条件的的值为2或6，
故答案为：2或6．
25．(1)∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴（）．
(2)．理由如下：
∵，且，，
∴．
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
即．
(3) ，理由如下：
过点作延长线于，过点作于，则．
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴（），
∴．
同理可证：
（），
得，
∴．
∵的面积，的面积，
∴．

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