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第二十八章《旋转》单元复习题
一、选择题
1．下列图形的运动，属于旋转的是（ ）
A．电梯上下运行 B．推拉窗户
C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行
2．如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后，得到．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第次旋转结束时，点C的坐标是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，若线段，则的长等于_______．
8．把点绕原点O逆时针旋转，则点P的对应点的坐标是______．
9．点和点关于原点中心对称，已知点坐标为，则点坐标为___．
10．坐标轴上的点的坐标特征：轴上的点的______坐标为0；轴上的点的______坐标为0；点关于原点对称的点的坐标为（______，_______）．
11．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____．
12．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________．
三、解答题
13．如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的图形（点，，的对应顶点分别为，，）；
(2)画出绕原点顺时针旋转的图形，（点，，的对应顶点分别为，，）．
14．如图，在中，，，D，E是斜边上的两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：．
15．如图，在等腰直角中，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、．
(1)求证：；
(2)当旋转角为40°时，求的度数．
16．如图所示，和关于点O中心对称，
(1)请用尺规作图作出点D，连接、．
(2)求证：．
17．如图，在正方形中，点M是边上的任一点，连接并将线段绕M顺时针旋转得到线段，在边上取点P使，连接，．连接交于点E．
(1)判断四边形的形状，并加以证明；
(2)若点M为的中点，且正方形的边长为4，求的长度．
18．已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；

(1)如图（1），求证：；
(2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明．
(3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系．
19．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点，点，点．以点O为中心，顺时针旋转矩形OABC，得到矩形ODEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图①，当时，求点D的坐标；
(2)如图②，当点E落在OC的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段AC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
20．如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，连接 PQ．
(1)求证：是等边三角形；
(2)如图②，当点 P 在线段 EB 上运动时，的周长是否存在最小值？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；
21.把两个等腰直角三角形和按图所示的位置摆放，将绕点按逆时针方向旋转，如图，连接，，设旋转角为．
(1)如图，与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)如图，中与的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图，当点在线段上时，求证：；
(4)当旋转角______填度数时，的面积最大．
参考答案
一、选择题
1．C
解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换，
A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意；
B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意；
C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意；
D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意．
2．A
解：由旋转可知：，
∴，
∴，
∴，
故选：A
3．A
解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意；
B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意．
4．C
解：∵绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴，
又∵，
∴．
5．B
解：如图，．
故选：B．
6．D
解：如图，

由题可知，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∴每旋转4次则回到原位置，
∵……3，
∴第次旋转结束后，图形逆时针旋转了，
∵点，点，
∴，
∴第次旋转结束时，点C的坐标是，
故选：D．
二、填空题
7．5
解：由旋转的性质可知：；
故答案为5．
8.
解：过点P作轴于点A，作轴于点B，过点作轴于点，作轴于点，如图所示：
∵点，
∴，，
∵点绕原点O逆时针旋转得到点，
∴，，
∴点的坐标是.
故答案为：.
9.
解：∵点和点关于原点中心对称，
∴点和点的纵坐标互为相反数，横坐标互为相反数，
∵点坐标为，
∴点坐标为．
故答案为：．
10. 纵 横
解：根据平面直角坐标系的定义，可得：轴上的点的纵坐标为，轴上的点的横坐标为；
关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此坐标关于原点对称的点的坐标为．
11．5
解：∵和关于点成中心对称，
∴A、C、D三点共线，，
∴，
∴，
故答案为：5．
12．
解：是边长为的等边三角形，
的坐标为，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
…，
，，，，…，
的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是，
的顶点的坐标是，
故答案为
三、解答题
13．(1)如图，即为所求；
(2)如图，即为所求；
14．解：∵将绕点A顺时针旋转，得到，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
15．（1）证明：∵△ABE是由△ACF绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，AB＝AC；∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAC＝∠EAF，
∵△ACF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF＝AB＝AC，
∴△ACB≌△AFE（SAS），
∴EF＝BC；
（2）解：∵旋转角为40°，
∴∠CAB＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝70°，
∵△ACF是等腰直角三角形，
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝25°．
16．（1）解：如图，点D即为所求作，连接、；
（2）解：∵和关于点O中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
17．（1）四边形是平行四边形，
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在与中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵将线段绕M顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形
（2）∵点M为的中点，且正方形的边长为4，
∴，
∴，即
又
∴是的中位线，
∴Q是中点，
∴，
∴，
∴．
18.（1）证明：，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
；
（2）（1）中结论不成立，新结论为：
证明：，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
；
（3）证明：，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
．
19.（1）如图，过点D作DM⊥OA于M
由旋转可知：OD＝OA＝6，∠DOM＝30°
∴DM＝3，，
∴
（2）如图，过点D作DN⊥OA于N
则有：∠DNO＝∠F＝90°
又∵，
∴
∵EF＝OD＝6，OE＝10，OF＝8，
∴DN＝3.6，ON＝4.8
∴
（3）连接AC,OE，OB,CE作EG⊥x轴于G，如图所示：
由旋转的性质得：∠AOB＝∠DOE，OD＝AO，OB=OE
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB，∠AOB＝∠CAO，
∵OD＝AO
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠DOE＝∠ADO，
∴AC∥OE，
∵AC=OB，OB=OE
∴AC=OE
∴四边形OACE是平行四边形
∴OA=CE=OG=6 ,GE=OC=8
∴点E的坐标为（6，8）．
20.（1）证明：∵绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，
∴△PCE≌△QCB，
∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB，
∴△CPQ是等腰三角形，
∵∠BCD=120°，CE平分∠BCD，
∠DCE＝∠BCE＝∠BCD＝60°，
∴∠PCQ=∠PCE＋∠ECQ＝∠BCQ＋∠ECQ＝∠BCE＝∠BCD＝60°，
即∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形.
（2）存在
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=，
∵在平行四边形ABCD 中，
∴ABCD，
∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE=CB=2cm，∠CBE＝60°，
∵绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，
∴△PCE≌△QCB，
∴EP=BQ，
∴△PBQ的周长＝PB＋BQ＋PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=2+CP，
∴CP⊥AB时，△PBQ周长最小，
当CP⊥AB时，∠CPB＝90°，
∴∠BCP＝180°－∠CPB－∠CBE＝30°，
∴PB＝BC＝1cm，
∴CP＝cm，
∴△PBQ周长最小为（2＋）cm．
21.（1）解：结论：，且，理由如下：
，，
，
；
，点，分别在，上，
；
故答案为：；；
（2）解：成立，
理由：根据旋转的性质可得：，，，
，
，
作的延长线交于点，交于点，
，
，
，
，
；
（3）证明：如图中，当点在线段上时，
，，
，
又，，
≌，
，
，
；
（4）解：由题意知，点的轨迹是以为圆心为半径的圆，
在中，当为底时，点到的距离最大时，的面积最大，
当时，的面积最大，
旋转角为或，
故答案为：或．

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