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第二十五章《一元二次方程 单元检测卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程 根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根
5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
6．某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感．
A．8 B．9 C．648 D．729
8．已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．25 B．21 C．19 D．17
9．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知三个实数满足，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．方程的根是________．
12．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________．
13．已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________．
14．若方程的两个根是，，则的值为________．
15．已知菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的面积为_____．
16．方程的正根介于正整数与之间，则________．
17．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______．
18．若三角形中有一个内角等于与它不相邻的一个外角的一半，则称这个三角形为半角三角形．如图，在矩形中，，，点是中点，点在射线上，若为半角三角形，则的长为________．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．（12分）解方程：
(1)（公式法） (2)．（配方法）
(3)（选用适当方法） (4)（选用适当方法）
20．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解．
21．（6分）已知关于x的方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)记该方程的两个实数根为，，求代数式．
22．（6分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
(1)当长度是多少时，矩形花园的面积为；
(2)能否围成矩形花园面积为，为什么？
23．（8分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示．
(1)求与的函数表达式；
(2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？
24．（8分）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”
(1)通过计算，判断是否是“倍根方程”．
(2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值．
(3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值．
25．（10分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，
，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值．
26．（10分）综合与实践：图形规律探究
【项目主题】某校数学实践小组在观察一种LED灯的信号灯红绿灯交替闪烁时，发现该信号灯的灯珠按一定规律进行排列．为了探究灯珠的摆放规律，该小组观察不同大小的信号灯的灯珠个数进行探究．
【项目准备】
1．观察现象
不同大小的信号灯的灯珠排放方式如下图所示，其中实心圆表示发出红光，空心圆表示发出绿光．
2．规律猜想
小组初步猜想：用不同方式来观察第n个图的灯珠的总个数S，并尝试用算式表达．
【项目分析】
1．统一符号：设第个图的灯珠总数为．
2．任务分解：
任务一：通过每行来数的方式写出和的算式，并归纳的表达式．
任务二：换一种分割方式（如按“斜线”来数），重新表达出．
任务三：建立第个图灯珠总数的通用公式．
【项目实施】
问题一：按“行”来统计数量
1．请补全下表：
图形
算式 ①_______ ②_______
2．根据规律，写出第个图的算式：③_______．（写出最终结果）
问题二：按“斜线”来统计数量
请补全下表：
图形
算式 ④_______ ⑤_______
问题三：建立通用公式
根据你在问题一和问题二中得出的规律，写出第n个图形中的规律：⑥_______．
根据以上信息，完成下面内容：
(1)将上面的空白内容补充完整：
①_______；②________；③________；
④_______；⑤_______；⑥________．
(2)若某个信号灯的灯珠的 ，求n的值．
参考答案
一、单项选择题.
1．D
解：A. 中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
C. 整理后，消去得，不是一元二次方程，不合题意；
D. 整理得，只含一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，符合题意．
2．C
解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为5和．
3．C
解：，
∴，
∴．
4．B
解：对于一元二次方程，可知，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
5．A
解：∵是一元二次方程的两个实数根，方程中，
∴．
6．C
解：∵1月份收入为万元，月平均增长率为,
∴2月份收入为万元,
∴3月份收入为万元,
又∵已知3月份收入为万元,
∴可列方程为.
7．D
解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
，
整理得，
解得或，
∵传染人数不能为负数，
∴不符合题意，舍去，
则第三轮传染后总患病人数为（人）．
8．A
解：∵，
因式分解得，
∴或，
当时，，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去，
当时，，满足三边关系，可以构成三角形，
∴三角形的周长为.
9．B
解：如图，
∵四个直角三角形都全等的，正方形的面积为5，小正方形的面积为1，
∴，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，（舍去），
，
．
10．B
解：，
．
，，
，
．
、是一元二次方程的两个实数根．
方程有实数根，
，
，
．
，两边同时除以16，得
，
两边同乘正数，得
．
，
．
当时，方程为，解得，
即，．
将，，代入原式，，，符合题意．
的最小值为1．
二、填空题．
11．，
解：移项得，
提取公因式得，
则或
解得，．
12．
解：关于的一元二次方程的一个根是，
将代入方程得：，
整理得：，
解得：．
13．且
解：由题意知，，
又∵方程有实数根，
∴，
解得：，
∴且．
14．
解：对于一元二次方程 ，两个根为，
根据根与系数的关系可得： ，
∵
∴将，代入得：原式．
15．
解：设菱形的两条对角线的长分别为，
是一元二次方程的两个根，
由根与系数的关系可得，
菱形的面积．
16.2
解：，
∴ ，
∴方程的正根为，
，
，
，则．
17．
解：设，则，，
原方程可化为，
两边同时乘以得，
整理得，
得到关于的整式方程是．
18．2或
解：如图，是半角三角形，是的外角，
根据半角三角形的定义不妨设，
∵，
∴，
∴．
作的平分线，交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴半角三角形是等腰三角形．
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点E是的中点，
∴，
∴在中，．
设，
①当点F在线段上时，，．
∴在中，，
在中，．
∵是半角三角形，
∴是等腰三角形，
若，则，即，解得（负值已舍去）；
若，则，即，该方程无实数解；
若，则，即，解得，不满足，舍去．
∴当点F在线段上时，．
②当点F在线段的延长线上时，，．
∴在中，，
在中，．
∵是半角三角形，
∴是等腰三角形，
若，则，即，解得，不满足，舍去；
若，则，即，该方程无实数解；
若，则，即，解得．
∴当点F在的延长线上时，．
综上所述，的长为2或．
三、解答题.
19．（1）解：，
化简得：，
∵a=2,b=-1,c=-6, =b2-4ac=1=48=49，
，
解得： ；
（2）解：，
移项得：，
配方得：，
即，
故，
解得：；
（3）解：，
移项得：，
开方得：，
解得： ；
（4）解：，
化简得：，
因式分解得：，
即或，
解得：．
20．（1）解：∵，，
∴
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
（2）解：由（1）可知
∴当时，一元二次方程为，
解得，
21．（1）证明：由题意可得：
，
，
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为，，
∴，，
∴
．
22．（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
(2)不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
23．（1）解：设与的函数表达式为，
将点和点的代入得：，
解得：，
与的函数表达式为；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
尽可能的让利于顾客，
，
即该款文创产品每件的售价为35元．
24.（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，，
，
∴方程是“倍根方程”．
（2）解：，
∴，

，．
若，则，解得；
若，则，解得；
或．（5分）
（3）解：设两根为、，
则，
解得，
∴，
∴方程的两根为2和4．
由根与系数的关系知，，
解得．
25．（1）解：∵一元二次方程的两个根为，
．
（2）解：∵一元二次方程的两个根分别为，
，
．
（3）解：∵实数满足，
∴可以看作方程的两个根，
，
，
或，
当时，，
当时，，
综上可知，的值为或．
26．（1）解：①：
②：
③：根据规律可得：
④：
⑤：
⑥：问题一中的规律为：，问题二中的规律为：
第n个图形中的规律：
（2）解：
(舍去)，

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