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3.3 轴对称与坐标变化
基础巩固提优
1.在平面直角坐标系中，点A(2，1)和B(2，-1)关于( )对称.
A. 直线y=x B. 直线y=-x
C. x轴 D. y轴
2.小红同学误将点 A 的横纵坐标次序颠倒，写成A(a，b)，另一学生误将点 B 的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B(-b，-a)，则A，B两点原来的位置关系是( ).
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C. A 和B 重合 D.以上都不对
3.蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M 的对应点为M ，若点 M的坐标为(-2,-3),则点 M 的坐标为( ).
A. (2,-3)
B. (-3,2)
C.(-2,3)
D. (2,3)
4.点 P(2,-2)关于x轴的对称点Q 的坐标是(a+b,1-b),那么a 的值为( ).
A. 1 B. 4 C. 9 D. 25
5.已知点 P (a-1,5)和P (2,b-1)关于x轴对称,则 的值为 .
6.如图，在平面直角坐标系内，依次作点 P(-3，1)关于直线l(横、纵坐标相等的所有点组成的直线)的对称点 P ，P 关于x轴的对称点P ,P 关于y轴的对称点 P ,P 关于直线l的对称点P ，P 关于x轴的对称点P ，P 关于y轴的对称点 P ，…，按照上述变换规律继续作下去，则点 P 的坐标为 .
7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(2，3),B(1,0),C(1,2).
(1)在图中画出△ABC 关于x 轴对称的△A B C ;
(2)直接写出A ,B ,C 三点的坐标;
(3)已知 P 为x 轴上一点,若△ABP 的面积为3，求点 P 的坐标.
8.如图，在平面直角坐标系中，形状为三角形的两面小旗关于y轴对称，旗杆底端D,D 均在x轴上,其中 P 是△ABC 内部的一点，其坐标为(3，5).若Q 是点 P 在△A B C 内的对应点，则点 Q 的坐标为( ).
A. (3,5) B. (-3,5)
C. (3,-5) D. (-3,-5)
9.下列图形中，将图形上各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1后，图形的形状一定不发生变化的是( ).
①圆心在原点的圆；②两条对角线的交点在原点的正方形；③以y 轴为对称轴的等腰三角形；④以x轴为对称轴的等腰三角形.
A. ①②③④ B. ①②④
C. ①③ D. ②④
10.已知点 P(-1-2a,5)关于x轴的对称点和点Q(3，b)关于y轴的对称点相同，则A(a，b)关于x 轴对称的点的坐标为 .
11.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 A 的坐标是(a，b)，经过第1次变换后所得的点 A 的坐标是(a，-b)，则经过第2026 次变换后所得的点 A 的坐标是 .
12.如图，在平面直角坐标系中，动点 P 从原点出发，按图中顺序运动，
即 P (6，0)→…，按这样的运动规律，完成下列任务：(1)点 P 的坐标为 ,点 P 的坐标为 ，点 的坐标为 ；(2)在动点 P 的上述运动过程中，若有连续四点(x ,y ),(x ,y ),(x ,y ),(x ,y ),请直接写出x ，x ，x ，x 之间满足的数量关系为 ,y ,y ,y ,y 之间满足的数量关系为 .
13.如图,已知P(-2,4),M(-1,1),P,M关于直线x=1的对称点为P',M'.
(1)点P'的坐标为 ，点M'的坐标为 ;
(2)思考:写出 P(-2,4)关于x=-1的对称点的坐标： ；
(3)推广:写出点(a,b)关于直线x=n的对称点的坐标： .
14.如图，在平面直角坐标系中，点A 在y轴上，点 B 在x轴上,OA=OB=4,连接AB,过点O作OA ⊥AB 于点A ,过点A 作A B ⊥x轴于点 B ;过点 B 作B A ⊥AB 于点A ,过点A 作A B ⊥x轴于点 B ;过点 B 作B A ⊥AB 于点A ,过点 A 作A B ⊥x轴于点 B ；···.按照如此规律操作下去，则点A 的坐标为 .
15.如图，在平面直角坐标系中,△ABC 为直角三角形,AB⊥x轴,BC⊥y轴,∠B=90°,点 B 的坐标为(1,3),将△ABC 沿AC 翻折,点 B 落在点D 的位置,AD 交y轴于点E,求点 D 的坐标.
延伸探究提优
16.要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短 小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得点 A 的坐标为(0,3),点 B 的坐标为(6,5),则从A,视频学模型B 两点到奶站距离之和的最小值是 .
17.如图，在平面直角坐标系xOy中,点 A(0,2),过点(-1,0)作x轴的垂线l，点A 关于直线l的对称点为B.
(1)点B 的坐标为 .
(2)已知点C(-3,-2),点 D(1,-2),在图中描出点B,C,D,顺次连接点A,B,C,D.
①在四边形 ABCD 内部有一点 P，满足 且 则此时点 P 的坐标为 ,S△PAB= .
②在四边形ABCD 外部是否存在点Q，满足 且 若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
3 轴对称与坐标变化
1. C [解析]点A(2,1)和点 B(2,-1)的横坐标相同,纵坐标互为相反数，符合关于x轴对称的点的坐标特征.因此，点A 和点B 关于x轴对称.故选C.
2. A[解析]∵小红同学误将点A 的横纵坐标次序颠倒，写成A(a,b),∴点A 的正确坐标为(b,a).
∵另一学生误将点 B 的坐标写成关于y轴对称点的坐标，写成B(-b,-a),
∴点 B 的正确坐标为(b,-a),
∴A，B两点原来的位置关系是关于x轴对称.故选 A.
3. A [解析]由题意,得点M(-2,-3)与点M 关于y轴对称,∴点 M 的坐标为(2,-3).故选 A.
两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数
4. C [解析]∵点P(2,-2)与点Q(a+b,1-b)关于x轴对称,∴1-b=2,a+b=2,
∴b=-1,a=3,则. 故选 C.
5.1
6.(3，-1)[解析]根据题意，画出对称的P 的位置图如图，
7.
(2)A ,B ,C 三点的坐标分别为A (2,-3),B (1,0),C (1,-2).
(3)设点 P 的坐标为(p,0),则BP=|1-p|.
∵△ABP 的面积为3,
即 解得.p=-1或3.
∴点 P 的坐标为(-1,0)或(3,0).
8. B[解析]根据轴对称的性质可知点Q 与点 P 关于y轴对称,∴Q(-3,5).故选 B.
9. C[解析]①圆心在原点的圆图形不发生变化；
②如图(1)，正方形ABCD两条对角线的交点在原点，各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1后，正方形图形发生变化.故此选项不合题意；
③以y轴为对称轴的等腰三角形，图形的形状不发生变化；
④如图(2)，以x轴为对称轴的等腰三角形，各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1后，图形的形状发生变化.故此选项不合题意.故选C.
10.(1,5) [解析]∵点 P(-1-2a,5)关于x轴的对称点(-1-2a,-5)和点 Q(3,b)关于y轴的对称点(-3,b)相同， 解得
∴A(1,-5)关于x轴的对称点为(1,5).
11.(-a，-b)[解析]点A 第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A 第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A 第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A 第四次关于y轴对称后在第一象限，
即点A 回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环.
∵2026÷4=506……2,
∴经过第2026次变换后所得的点 A 与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为(-a，-b).
归纳总结 本题考查了轴对称的性质、点的坐标变化规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点.
12.(1)(15,-4) (16,0) (2026,0) [解析]∵P (1,2)→ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环.
∵15÷4=3……3,16÷4=4,
点P 的坐标为(15,-4),P 的坐标为(16,0).
∵2026÷4=506……2,
∴点 P 的纵坐标与点 P 的纵坐标一样，
∴点 P 的坐标为(2026,0).
(答案不唯一)
[解析]∵P (1,2)→P (2,0)→
∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，
13.(1)(4,4) (3,1)
(2)(0,4)
(3)(2n-a,b) [解析]设对称点坐标为(x,y),
则 ,y=b,∴x=2n-a,∴点(a,b)关于直线x=n的对称点坐标是(2n-a,b).
[解析]在平面直角坐标系中.
∵点A在y轴上,点B在x轴上,OA=OB=4,
∴△OAB 是等腰直角三角形,∠OBA=45°.
∵OA ⊥AB,∴△OA B 是等腰直角三角形.
同理可得△OA B ,△A B B 均为等腰直角三角形,∴A (2，2).根据题图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得 由此可推出，点A 的坐标为(
15.如图,过点 D 作DH⊥OC 于点H.
∵点B 的坐标为(1,3),
∴AO=1,AB=3.
根据折叠,可知CD=CB=OA.
又∠CDA =∠AOE = 90°,
∠DEC=∠OEA,
∴△CDE≌△AOE(AAS).
∴OE=DE.
设OE=x,
则CE=3-x,DE=x.
在Rt△DCE 中,
又DH⊥CE,
在 Rt△CDH 中,
∵点D 在第二象限，∴点 D 的坐标为(
16.10 [解析]如图,取点A 关于x轴的对称点A',连接A'B交x轴于点C.
∵点A 的坐标为(0,3),
∴点A'的坐标为(0,-3),
则点C为从A，B两点到奶站距离之和最小的点，在 Rt△A'BD 中,
∴最短距离为10.
17.(1)(-2,2)
(2)如图所示：
[解析] 且S△PAB=S△PCD,BC=AD,CD=2AB,∴点 P 在直线l上，且到AB 的距离是到CD 距离的2倍.
∵P 在四边形ABCD的内部,
②存在.理由如下：
且 BC=AD,CD=2AB，∴点Q在直线l上，且到AB 的距离是到CD距离的2倍.
∵Q在四边形ABCD 的外部,
∴-2-(2+2)=-6,∴Q(-1,-6).

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