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3.2 平面直角坐标系
基础巩固提优
1.在平面直角坐标系中，点(-3，3)在第( )象限.
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2.如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，在第四象限的是( ).
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是( ).
A. (-3,-2) B.(-3,2)
C. (3,2) D. (3,-2)
4.在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a,b),且a,b满足 则点A 在第 象限.
5.已知点 P(2,-3),则点 P 到x轴的距离是 .
6. 如图,在△ABC中,AB=4,AC=5，BC=3，建立适当的平面直角坐标系，并写出点A，B，C的坐标.
7.为进一步深化智慧城市发展、推进全市数字化转型，充分发挥数据赋能城市经济社会发展作用，2025年国家发展改革委及自然资源部组织制定了《深化智慧城市发展推进全域数字化转型行动计划》.如图是某区部分简图，建立恰当的平面直角坐标系，分别写出图中各个地方的坐标.
思维拓展提优
8.下列说法正确的是( ).
A. (3,2)和(2,3)表示同一个点
B.点(1，0)在y轴的正半轴上
C. 点(-2,1)到 y轴的距离为2
D. 点(-3,2)到x轴的距离为3
9.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点 A(-1，2)和B(2，1)，则藏宝处点C 的坐标应为( ).
A.(1,-1) B. (1,0)
C.(-1,1) D. (0,-1)
10.如图，动点 P 按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2 次运动到点(2,0),第3次运动到点(3,2),…,按这样的运动规律，则第2026次运动到点( ).
A. (2026,1) B.(2026,2)
C. (2024,2) D. (2026,0)
11.已知点A(a-2,a+1),B(2,3)且直线 AB∥x 轴,则a 的值是( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12.点 P 到x轴的距离为4个单位长度，到y 轴的距离为 3个单位长度，则点 P 的坐标为
13.如图，平面上的25 个点组成一个5×5的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系,若B(2,0),C(2,4),则点 A 的坐标为 .
14.在平面直角坐标系中，若点P 的坐标为(x,y),则定义:d(x,y)=|x|+|y|为点 P 到坐标原点O 的“折线距离”.如：
已知 P(2,-3),则点 P 到坐标原点O 的“折线距离” d(2,-3)=|2|+|-3|=5.若点P(x,y)满足x+2y=0,且点 P 到坐标原点
O的“折线距离” d(x,y)=6,则 P 的坐标为 .
15.在平面直角坐标系中,已知点 P(-3a-4,2+a)，解答下列各题：
(1)若点 P 在x轴上,求点 P 的坐标;
(2)若Q(5,8),且PQ∥y轴,求点 P 的坐标;
(3)若点 P 在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求 的值.
16.在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P 到x轴、y轴的距离的较大值称为点 P 的“长距”，点Q 到x 轴、y轴的距离相等时，称点 Q为“龙沙点”.
(1)点 A(-1,4)的“长距”为 ;
(2)若点B(4a-1,-2)是“龙沙点”,求a 的值.
延伸探究提优
17.在平面直角坐标系中，点A(0，2),点 B(a,0),点 C(m,n)(n>0).若△ABC是等腰直角三角形且AB=BC，当1A. 1C. 34
18.已知当m,n都是实数,且满足2m=8+n时，称 为“开心点”.例如点A(5,3)为“开心点”.
因为当 A(5,3)时,m-1=5, 得m=6,n=4,
所以2m=2×6=12,8+n=8+4=12,所以2m=8+n.
所以A(5,3)是“开心点”.
(1)判断B(4,10)是否为“开心点”,并说明理由；
(2)若M(a,2a-1)是“开心点”,请判断点 M在第几象限，并说明理由.
19.如图(1)，在平面直角坐标系中，O为坐标原点,OA,OB,AB 的长分别为a,b,c,且满足 点 P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO匀速运动，设点 P 的运动时间为t 秒.
(1)点A 的坐标为 ，点B 的坐标为
[数学理解]
(2)如图(2),连接 BP,当 BP 平分∠ABO时，求出t 的值.(提示：利用面积求解)
[深入探究]
(3)过点 P 作PD⊥AB 交直线AB 于点 D,交 y轴于点 Q，在点 P 运动的过程中，当△QOP≌△AOB 时(全等无需证明),画出图形，并求出t 的值.
20.如图，在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,3),B 是x轴负半轴上的动点，C是 y 轴负半轴上的动点，∠BAC=90°,则OB-OC= .
2 平面直角坐标系
1. B
2. D[解析]A.点A 在第一象限，故此选项不符合题意；
B.点B 在x轴上，故此选项不符合题意；
C.点C在第三象限，故此选项不符合题意；
D.点D 在第四象限，故此选项符合题意.
故选 D.
3. C [解析]点 P 的坐标为(3,2).故选C.
4.四[解析]·
∴a-2=0,b+3=0,∴a=2,b=-3,
∴点A 的坐标为(2,-3),∴点A 在第四象限.
5.3[解析]∵点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，∴点 P(2,-3)到x轴的距离是|-3|=3.
6.答案不唯一，如：以B 为原点建立平面直角坐标系，如图所示.
∵AB=4,AC=5,BC=3,
∴AB⊥BC,
∴A(0,4),B(0,0),C(3,0).
7.答案不唯一，以火车站为原点建立平面直角坐标系.
各点的坐标为火车站(0,0),文化宫(-3,1),体育场(-4,3),宾馆(2,2),市场(4,3),医院(-2,-2),超市(2,-3).
8. C [解析](3,2)和(2,3)表示不同的点,
∴A不正确，不符合题意；
点(1，0)在x轴的正半轴上，∴B不正确，不符合题意；
点(-2,1)到 y轴的距离为|-2|=2,
∴C正确，符合题意；
点(-3，2)到x轴的距离为2，∴D不正确，不符合题意.
故选C.
9. A [解析]由已知的两个坐标点A(-1,2),B(2,1),建立如图所示的平面直角坐标系，则可知C(1，-1).
故选 A.
10. D[解析]由图可知，每运动4次出现的形状都是一样的.∵2026÷4=506……2,
∴第2026次运动到点(2026,0).故选 D.
11. B [解析]因为直线AB平行于x轴，所以点A 和点B 的纵坐标相等.根据点A 和点B 的坐标，可得方程a+1=3,解得a=2.因此,a 的值为2.故选 B.
12.(3,4)或(3,-4)或(-3,4)或(-3,-4)
13.(-2,4) [解析]由题知,点B 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(2，4)，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以点A 的坐标为(-2,4).
14.(-4,2)或(4,-2) [解析]∵点 P(x,y)满足x+2y=0,∴x=-2y.
∵点P 到坐标原点O的“折线距离” d(x,y)=6,
∴|x|+|y|=|-2y|+|y|=|3y|=6,∴y=±2.
当y=2时,x=-2y=-4,∴P(-4,2);
当y=-2时,x=-2y=4,∴P(4,-2),
∴点 P 的坐标为(-4,2)或(4,-2).
15.(1)已知点 P(-3a-4,2+a),在x轴上,则点 P 的纵坐标为0,∴2+a=0,解得a=-2,∴P(2,0).
(2)∵Q(5,8),且PQ∥y轴,则点 P,Q的横坐标相等,∴-3a-4=5,解得a=-3,∴P(5,-1).
(3)∵点P 在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，∴点 P 的横坐标与纵坐标的和为零，
∴-3a-4+2+a=0,解得a=-1,
把a=-1代入,得
16.(1)4 [解析]∵点 P 到x轴、y轴的距离的较大值称为点P 的“长距”，
∴点A(-1,4)到x轴的距离为4,到 y轴的距离为1,∴点A(-1,4)的“长距”为4.
(2)∵点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点 Q 为“龙沙点”,∴当点B(4a-1,-2)是“龙沙点”时,|4a-1|=|-2|,∴4a-1=±2,
当.4a-1=2,解得
当4a-1=-2,解得 或
17. C [解析]如图,过点C 作CD⊥BO于点D.
∵AB=BC,∴∠CDB=∠BOA=∠ABC=90°,
∴∠CBD=90°-∠ABO=∠BAO.
在△CBD 和△BAO 中,
∴△CBD≌△BAO(AAS),∴AO=BD.
∵A(0,2),B(a,0),C(m,n)(n>0),
∴AO=BD=OD-OB=m-a=2.
∵118.(1)(4,10)不是“开心点”.理由如下:
当B(4,10)时,m-1=4,
解得m=5,n=18,则2m=10,8+n=26,
∴2m≠8+n,∴B(4,10)不是“开心点”.
(2)点M 在第三象限.理由如下：
∵M(a,2a-1)是“开心点”,
∴m-1=a, ∴m=a+1,n=4a-4,
代入2m=8+n,有2a+2=8+4a-4,
∴a=-1,∴2a-1=-3,
∴M(-1,-3).故点 M在第三象限.
19.(1)(4,0) (0,3) [解析]由条件可得a-4=0,b-3=0,c-5=0,
∴a=4,b=3,c=5,
∴点A 的坐标为(4,0),点 B 的坐标为(0,3),
(2)如图(1),过点 P 作PC⊥AB于点C.
由(1),得OA=a=4,OB=b=3,AB=c=5,
当点 P 运动t秒时,AP=t,
∴OP=OA-AP=4-t,
由条件可知CP=OP=4-t.
即
解得
(3)如图(2),①当点 P 在线段AO 上时,OP=OA-AP=4-t,
∵△QOP≌△AOB,∴OP=OB,即4-t=3,解得t=1;
②如图(3),当点 P 在AO 的延长线上时,OP=AP-OA=t-4,
∵△QOP≌△AOB,∴OP=OB,即t-4=3,解得t=7.
综上所述,当△QOP≌△AOB 时,t 的值为1或7.
20.6[解析]如图，过点A 分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为D,E.
∵AD⊥x轴,AE⊥y轴,∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,
∴∠BAD=∠CAE.
∵A(-3,3),∴AD=AE=3.
∴△ABD≌△ACE(ASA),
∴BD=CE,即BD=OE+OC=3+OC,
∴OB=BD+OD=3+OC+3=6+OC,∴OB-OC=6.

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