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4.4 一次函数的应用
第 1 课时 确定一次函数的表达式
1.已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为( ).
A. y=x B. y=-x
C. y=-3x D.
2.如图，在平面直角坐标系中，直线l所表示的一次函数是( ).
A. y=3x+3 B. y=3x-3
C. y=-3x+3 D. y=-3x-3
3.已知函数y=(2m+1)x+m+1(x是自变量).
(1)若函数图象经过原点，求函数的表达式；
(2)若y=(2m+1)x+m+1是一次函数,且与x轴相交于(-1，0)，求此函数的表达式.
4.在闭合电路中，通过定值电阻的电流I(单位：A)是它两端的电压U(单位：V)的正比例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压为15 V时，通过它的电流为( ).
A. 12A B. 8A
C.6A D. 4 A
5.声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表：
温度t/℃ -10 0 10 30
声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348
研究发现v,t满足公式v= at+b(a,b为常数，且a≠0)，当温度t为15℃时，声音传播的速度v为( ).
A. 333m/s B. 339m/s
C. 341m/s D. 342m/s
6.若一次函数y=kx+b的图象与y轴交点的纵坐标为-2，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为1，则此一次函数的表达式为 .
7.写出满足如表条件的一次函数表达式为
x -1 0 1 2
y 4 1 -2 -5
8. 把直线 y=-3x向上平移后得到直线AB，直线AB 经过点(a，b)，且 3a +b =8,则直线 AB 的表达式是
9.研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y(L)与气体温度x(℃)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度x(℃) … 25 30 35 …
气体体积y(L) … 596 606 616 …
(1)求y 与x的函数关系式；
(2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热.求停止加热时的气体温度.
10.已知一次函数y=□的图象过A(0,3),B(2,4)两点,题目中的长方形方框部分是一段因墨水污染而无法辨认的文字.
(1)根据现有的信息，你能否求出题中的一次函数的表达式 若能，写出求解过程，若不能请说明理由.
(2)根据关系式画出函数图象.
(3)小明说：“本题不用求函数关系式也能画出函数图象.”你认为对吗 为什么
(4)过点 B 能不能画出一直线BC 将△ABO(O为坐标原点)分成面积比为1：2的两部分 若能，可以画出几条 并写出这样的直线所对应的函数关系式；若不能，说明理由.
11.如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数 y=kx+b 的图象经过点B(0,-1),与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C，D，且点 D 的横坐标为1.
(1)点D 的坐标是 ，直线BD 的表达式是 ；
(2)连接AC,求△ACD的面积;
(3)P 是直线BD 上一点(不与点 D 视频学重难重合)，设点 P 的横坐标为m，△ADP 的面积为S，请直接写出S 与m之间的关系式.
第2课时 单个一次函数的实际应用
1.如图,直线y= ax+b(a≠0)过点A(0,4),B(-3,0),则方程 ax+b=0的解是( ).
A. x=-3
B. x=4
C.
D.
2.我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升.王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A 市前往B 市.他驾车从A 市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80千瓦时，行驶了240千米后，从B 市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)之间的关系如图所示.
(1)求y与x之间的关系式；
(2)已知这辆车的“满电量”为100千瓦时，求王师傅驾车从B 市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
3.如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易平衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物重x kg之间满足一次函数关系.若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离为2.5cm，挂1kg物体时，秤砣到秤纽的水平距离为8cm，则当秤砣到秤纽的水平距离为35.5cm时，秤钩所挂物重为( ).
A. 4.5kg B. 6kg
C.5.5kg D. 7kg
4.如图(1)，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h(单位：米)与下行时间x(单位：秒)之间的函数关系为 乙离一楼地面的高度y(单位：米)与下行时间x(单位：秒)的函数关系如图(2)所示.下列选项错误的是( ).
A.二楼离地面的高度为6米
B.乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒
C.当下行10s，乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米
D.乙先到达一楼地面
5.小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合.步行的路程是缆车所经线路长的2.5倍，妈妈在爸爸出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米.图中反映了爸爸整个过程中步行的路程y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系.
(1)爸爸行走的总路程是 米，他途中休息了 分钟；
(2)当0≤x≤30时,y 与x之间的函数关系式是 ;
(3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟 米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是 米.
6.综合与实践：某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究.第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题.
[背景调查]
图(1)中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图(2)所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.
[收集数据]
小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x(mm)，凳面的宽度为y(mm)，记录如下：
x/ mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
y/ mm 115.5 132 148.5 165 181.5
[分析数据]
如图(3)，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点.
[建立模型]
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上 如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，说明理由.
(2)当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少
第 3课时 两个一次函数的实际应用
1.如图，甲、乙两车从A 地出发前往B 地，在整个行程中，汽车离开A 地的路程y(km)与时刻t 之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是( ).
A.乙车先到达B地
B. A,B 两地相距300km
C. 甲车的平均速度为 100km/h
D.在8：30时，乙车追上甲车
2. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元，据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费(含改装费)y ，y (单位：元)与正常运营时间x(单位：天)之间分别满足关系式： 如图所示.
试根据图象解决下列问题：
(1)每辆车改装前每天的燃料费a= 元；每辆车的改装费b= 元，正常营运 天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；
(2)某出租车公司一次性改装了100辆出租车，因而，正常运营 天后共节省燃料费40万元.
3.现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度 y(米)与注水时间x(小时)之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 小时.
4.西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施.某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y(单位：kW·h)与充电时间x(单位：h)之间的函数图象，其中折线ABC 表示用快速充电器充电时y 与x的函数关系；线段 AD 表示用普通充电器充电时y 与x的函数关系.根据相关信息，回答下列问题：
(1)用快速充电器充电时，汽车电池电量从10kW·h充到70kW·h需 h.
(2)求y 关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围.
(3)该品牌汽车电池电量从10 kW·h充到100kW·h，快速充电器比普通充电器少用 h.
5.一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动.快车离乙地的路程. (km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系，如图中线段AB 所示；慢车离乙地的路程 (km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系，如图中线段OC所示.根据图象进行以下研究.
解读信息：
(1)甲、乙两地之间的距离为 km；
(2)线段 AB 的表达式为 ,线段 OC的表达式为 ；
问题解决：
(3)设快、慢车之间的距离为 y(km)，求y与慢车行驶时间x(h)的函数表达式，并画出函数的图象.
6.小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次.跑步机上 C 档比B 档快40米/分,B 档比A 档快40 米/分.小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的函数关系如图所示.
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 16:00~16:50 不分段 A 档 4000米
小丽 16:10~16:50 第一段 B档 1800米
第一次休息
第二段 B档 1200米
第二次休息
第三段 C 档 1600米
(1)求A,B,C各档速度(单位:米/分);
(2)求小丽两次休息时间的总和(单位：分)；
(3)小丽第二次休息后，在a 分钟时两人跑步累计里程相等，求a 的值.
4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1. B [解析]设函数关系式为y=kx(k≠0),因为图象经过(3,-3),所以-3=k×3,解得k=-1,所以这个函数的关系式为y=-x.故选 B.
2. A
3.(1)∵函数图象经过(0,0),∴m=-1,
∴函数的表达式为y=-x.
(2)∵函数图象经过(-1,0),
由-(2m+1)+m+1=0,解得m=0.
∴函数的表达式为y=x+1.
4. A [解析]由题意,设I=kU.∵当U=5V时,I=4A,∴4=5k,
当U=15V时, 故选 A.
5. B [解析]由表格数据可得b=330,将t=10,v=336代入v= at+330,得a=0.6,
∴v与t之间的函数关系式为v=0.6t+330,
当t=15时,v=0.6×15+330=339,∴当温度t为15℃时,声音传播的速度v为339m/s.故选 B.
6. y=2x-2或y=-2x-2 [解析]设一次函数与x轴交于点A(x,0),与y轴交于点B(0,-2).
由题意，得 解得x=±1,
将A(1，0)，A(-1，0)分别代入上式，解得一次函数表达式为y=2x-2或y=-2x-2.
7. y=-3x+1 [解析]∵y是x的一次函数,
∴设y= kx+b.
又由题表可知,当x=0时,y=1,∴b=1.
当x=1时,y=-2,即-2=k×1+1,解得k=-3.
∴y=-3x+1.
8. y=-3x+8 [解析]∵直线y=-3x向上平移后得到直线AB,则直线AB 的表达式可设为y=-3x+k,把点(a,b)代入,得b=-3a+k,则b+3a=k.因为3a+b=8,所以k=8.所以直线AB 的表达式为y=-3x+8.
9.(1)根据表格，气体温度升高1℃，气体体积增大2L，则y=596+2(x-25)=2x+546,
∴y与x的函数关系式为y=2x+546.
(2)当y=700时,得2x+546=700,解得x=77.
故停止加热时的气体温度为77℃.
10. (1)设函数的表达式是y= kx+b,根据题意,得b=3,∴2k+3=4,解得 故函数的表达式是
(2)画出图象如图所示.
(3)对，因为两点确定一条直线.
(4)若直线 BC 将△ABO(O 为坐标原点)分成面积比为 1：2的两部分，则一定将OA 分成1：2 两部分，
则与y轴的交点是(0,1)或(0,2).当直线经过点(0，1)时，设直线的表达式是 则 解得
则直线的表达式是y=1.5x+1;
当直线经过点(0，2)时，设直线的表达式是. 则 解得
则直线的表达式是y=x+2.
综上所述，可以画出两条这样的直线，其函数表达式为y=1.5x+1和y=x+2.
11.(1)(1,2) y=3x-1 [解析]将x=1代入函数y=x+1,得点 D 的纵坐标为2,∴D(1,2).
把B(0,-1)代入y= kx+b,得b=-1,∴y= kx-1.
故直线BD的表达式为y=3x-1.
(2)如图(1),点A 的坐标为(0,1),AB=1+1=2,点C的坐标为 由于△ACD 是非特殊三角形，可通过数形结合思想用“间接法”求解
(3)分三种情况讨论：
①如图(2),当点 P 在点B,D之间时,
m(0≤m<1);
②如图(3),当点 P 在点B 的下方时,
1-m(m<0);
此时点 P 的横坐标为负数，则△ABP 的高为-m
③如图(4),当点 P 在点D 的上方时, 1(m>1).
综上所述,当m<1时,S=1-m;当m>1时,S=m-1.归纳总结 本题考查了求一次函数表达式，一次函数图象与坐标轴围成的图形的面积的求解，会分割图形面积是解题关键.
第2课时 单个一次函数的实际应用
1. A [解析]方程 ax+b=0的解,即为函数y= ax+b图象与x轴交点的横坐标.因为直线y= ax+b过B(-3,0),所以方程 ax+b=0的解是x=-3.故选 A.
2.(1)设y= kx+b(k≠0,0≤x≤240),由题图可知,b=80,代入(150,50),得150k+80=50,
解得
(2)令x=240,则.
故该车的剩余电量占“满电量”的32%.
3. B [解析]设y与x的函数表达式为y= kx+b(k,b为常数,且k≠0).
将x=0,y=2.5代入y= kx+b,得b=2.5,
将x=1,y=8代入y= kx+2.5,得k=5.5,
∴y=5.5x+2.5.
当5.5x+2.5=35.5时,解得x=6.故选B.
4. D [解析]A选项,当x=0时,甲的高度 6=6(米)，此为二楼初始高度，正确；
B选项，乙的高度函数过点(0，6)和(15，3)，速度为 函数为y=-0.2x+6,令y=0,解得x=30秒,正确;
C选项，10秒时，甲的高度为 (米),乙的高度为 y=-0.2×10+6=4(米),差值为4-3=1(米),正确；
D选项,令h=0,则 解得x=20,∴甲到达地面的时间为20秒；乙到达时间为30秒，因此甲先到达，D选项错误.
故选D.
5.(1)3600 20 [解析]根据图象知，爸爸行走的总路程是3600米，他途中休息了20分钟.
(2)y=70x [解析]设函数关系式为y= kx,由图象过(30,2100),
可得2100=30k,解得k=70,
所以y与x之间的函数关系式为y=70x.
(3)50 1 100 [解析]爸爸休息之后行走的速度是(3600-2100)÷(80-50)=50(米/分钟),
妈妈坐缆车的时间为3600÷2.5÷180=8(分钟),
爸爸比妈妈迟80-50-8=22(分钟)到达终点,
∴妈妈到达终点时，爸爸离缆车终点的路程为50×22=1100(米).
6.(1)由题图(3)可得它们在同一条直线上，
设y= kx+b,将(16.5,115.5)代入,得16.5k+b=115.5,则b=115.5-16.5k,此时y= kx+115.5-16.5k,代入(23.1,148.5),得k=5,则b=33,
所以这条直线所对应的函数表达式为y=5x+33.
(2)当y=213mm时,213=5x+33,解得x=36,
所以当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36 mm.
第3课时 两个一次函数的实际应用
1. C[解析]由图象可知，乙车先到达B 地，故选项A说法正确，不符合题意；
A，B 两地相距300km，故选项B说法正确，不符合题意；甲车的速度为300÷(11-6)=60(km/h),故选项 C说法错误，符合题意；
在8：30时，乙车追上甲车，故选项D说法正确，不符合题意.故选C.
2. (1)90 4 000 100 [解析]由图象可知, 过点(100,9000),∴a=90,
将点(100,9000)代入 得b=4000,根据图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装成本.
(2)200 [解析]依据题意及图象，得改装前、后的燃料费每天分别为90元，50元，
则100×(90-50)x=400000+100×4000,解得x=200.
(2)根据题意及图象得出改装前、后的燃料费每天分别为90元,50元,进而得出100×(90-50)x=400000+100×4000,求解x即可.
3. [解析]设甲池中水的深度与注水时间x之间的函数表达式是
由图象，得
设乙池中水的深度与注水时间x之间的函数表达式是 由图象，得
令 ,则-4x+4=6x+2,解得
∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为 小时.
4. (1) [解析]由图象可知，用快速充电器充电时，汽车电池电量从10kW·h充到70kW·h需 h.
(2)设y 关于x的函数表达式为.
∵A(0,10),∴b=10.将E(2,70)代入表达式中,得2k+10=70,解得k=30,
∴y 关于x的函数表达式为.
把 代入 得30x+10=100,解得x=3,∴x的取值范围为0≤x≤3.
(3) [解析]由图象及(2)可知， 故该品牌汽车电池电量从10kW·h充到 100kW·h,快速充电器比普通充电器少用 h.
5. (1)450
(3)由(2)，得快车到达乙地前 450-75x|(0≤x<3),
两车距离由远到近直至相遇后再变远
由450-150x=75x,解得x=2,则y=150,∴D(2,150).
则
利用函数表达式y=450-225x(0≤x<2),当x=0时,y=450,当x=2时,y=0,画出线段AE;
利用函数表达式y=225x-450(2≤x<3),当x=2时,y=0,当x=3时,y=225,画出线段EF;
利用函数表达式y=75x(3≤x≤6),当x=3时,y=225,当x=6时,y=450,画出线段FC.
如图,其图象为折线AE-EF-FC.
6.(1)由题意可知,A 档速度为4000÷50=80(米/分),则 B 档速度为80+40=120(米/分),
C档速度为120+40=160(米/分).
(2)小丽第一段跑步时间为1800÷120=15(分),
小丽第二段跑步时间为(3000-1800)÷120=10(分),
小丽第三段跑步时间为(4 600-3 000)÷160=10(分),
则小丽两次休息时间的总和为50-10-15-10-10=5(分).故小丽两次休息时间的总和为5分钟.
(3)∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为a-10-15-10-5=(a-40)分,
∴80a=3000+160(a-40),∴a=42.5.

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