资源简介

5.3 二元一次方程组的应用
第 1 课时 和差倍分问题与古代数学问题
1.为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭举办了第10 届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40 条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子 设有x 张桌子，有y 条凳子，根据题意所列方程组正确的是( ).
2.我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十九两；牛二，羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何 ”译文：假设有5头牛，2只羊，值19 两银子；2头牛，5只羊，值16两银子.每头牛、每只羊分别值多少两银子
3.《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱.若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50.若乙得到甲所有钱的 ，则乙也共有钱50.甲、乙两人各带了多少钱 设甲带了钱x，乙带了钱y，依题意，下面所列方程组正确的是( ).
4.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果、苦果共一千个，若…，…，试问买甜果、苦果各几个 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组 根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为( ).
A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
5.我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分.问：绫、绢各价若干 ”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分.则绫、绢每尺各值多少 已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分.
6.明朝《永乐大典》中有这样一道题：“今有银钱二十贯，上街去买绫和罗，四十三文一尺绫，四十四文一尺罗，共买四百六十尺，绫、罗数量各几何 ”请你求出文中绫和罗各买了多少尺.(1贯=1000文)
7.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.
(1)求该店有客房多少间，房客多少人.
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上(含18间)，房价按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住，他们如何定房更合算
8.2026 年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资.调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品.
(1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品.
(2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次.若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用 请说明理由.
9.《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数.两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘.问客及盘各几何 ”意思为：“现有若干名客人.若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少 ”请你解答这个问题.
第五章 二元一次方程组
第2课时 百分率问题与图表信息问题
1.(2025·福建泉州实验中学期末)某单位购买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6 元，乙种水的桶数是甲种水桶数的75%.设买甲种水x桶，乙种水y 桶，则所列方程组中正确的是( ).
A. {8x+ by=75%50, B.
C. {bx-8y=250, D.
2.(2026·四川成都七中月考)某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付出4.4万元利息，已知甲种贷款每年的利率为10%，乙种贷款每年的利率为8%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为 .
3.根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
4.(2025·宁夏中卫四中月考)某商场用14 500 元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：
类别 成本价/(元/箱) 销售价/(元/箱)
甲 25 35
乙 35 48
(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱
(2)该商场售完这500 箱矿泉水，可获利多少元
5.某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间.为吸引游客，酒店实行团体入住5 折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共 间.
6.为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，红枫购买数量与预算保持不变，结果所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 .
7.某商场向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元.每年应付利息2.661万元，甲种贷款年利率是4.2%，乙种贷款年利率是3.45%.试问：这两种贷款的金额各是多少
8.(2026·山东济南二十七中期末)在当地农业技术部门的指导下，李明家增加了种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收.如图是李明和他的爸爸老李、妈妈阿菊的一段对话：
请你用所学过的知识帮助李明算出他家今年菠萝的收入.(收入一投资=净赚)
9.(2025·山东泰安东平期末)为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买400袋甲和300袋乙共需要6400元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表.
甲 乙
进价/(元/袋) m m-2
售价/(元/袋) 20 13
(1)甲种食品的进价为 元/袋，乙种食品的进价为 元/袋；
(2)小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋，全部售完后总利润(利润=售价—进价)为5750元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋；
(3)小卖部第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两种食品，由于两种食品进价都比第一次优惠10%，小卖部准备对甲种袋装食品进行打折出售，让利于学生，乙种袋装食品价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲种食品打了几折.
10.(2025·辽宁鞍山第三中学期末)为了保护环境，深圳某公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有 A，B两种型号，其中每台的价格、年省油量如表：
A B
价格/(万元/台) a b
节省的油量/(万升/年) 2.4 2
经调查，购买一台A 型车比购买一台 B 型车多20万元，购买2台A 型车比购买3台B型车少60万元.
(1)请求出a 和b;
(2)若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元.
11.上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体.目前，某通信公司推出消费优惠新招——“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯定价标准缴纳通信费.下表是流量与语音的阶梯定价标准.
流量阶梯定价标准
使用范围 阶梯资费/(元/MB)
1~100 MB a
101~500 MB 0.07
501 MB~20 GB b
语音阶梯定价标准
使用范围 阶梯资费/(元/分钟)
1~500分钟 0.15
501~1000分钟 0.12
1001~2000分钟 m
(小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×(600-500)=87(元))
(1)甲定制了600 MB的月流量,花费48元;乙定制了2GB的月流量，花费120.4元，求a,b的值;(注:1GB=1024 MB)
(2)在(1)的条件下，甲的套餐费用为199元，其中包含 600 MB的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB 的月流量，二人均定制了超过1000 分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多 300 分钟，求m的值.
12.乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷 所需人数 每公顷所需 投入资金/万元
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B 这两种农作物的种植面积各多少公顷.
第 3课时 几何问题与行程问题
1.(2025·广西模拟)如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40 的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为( ).
2.(2025·云南文山大同中学期末)商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图中的信息，当有10 张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是 cm.
3.一艘轮船在相距90 千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4 小时.
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度.
(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问：甲、丙两地相距多少千米
4.用如图(1)所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图(2)所示的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有500张正方形纸板和800 张长方形纸板，问：两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完 设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是( ).
5.(2025·河南郑州四中月考)如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高10cm，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低40cm，则每块墙砖的面积是( ).
A. 425cm B. 525 cm
C. 600cm D. 800 cm
6.已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80 秒.如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为 米.
7.(2026·安徽宿州逸夫中学月考)《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来.某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里/时.
8.(2026·广东清远清城中学月考)一列载客火车和一列运货火车分别在两条平行的铁轨上行驶，载客火车长150m，运货火车长250m.若两车相向而行.从车头相遇到车尾离开共需10s；若载客火车从后面追赶运货火车，从车头追上运货火车车尾到完全超过运货火车共需100s，试求两车的速度.
9.某人从吉林市驱车赶往长春市共用2小时，吉林市至长春市全程为120km，全程分为公路和区道路两部分，在公路上行驶的平均速度为80km/h，在区道路上行驶的平均速度为40km/h.根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下：
甲 乙：
(1)请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组；
(2)求这个人在公路上驱车行驶的时间.
10.在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图(1)的长方形和正方形作为侧面与底面，做成视频学思想如图(2)的竖式和横式两种无盖纸盒.已知一张硬纸板的裁剪方式有两种(均有余料)，方式一：裁成3 个长方形与1个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形.现小聪将 m 张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪.
(1)两种方式共裁出长方形 张，正方形 张(用含m，n的代数式表示).
(2)当1011.(2025·河北中考)甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b.如图，将甲纸条的 与乙纸条的 叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b= .
3 二元一次方程组的应用
第 1课时 和差倍分问题与古代数学问题
1. B[解析]因为组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个,所以x+y=12.
因为桌子腿数与凳子腿数的和为40条，且每张桌子有4条腿,每条凳子有3条腿,所以4x+3y=40.
所以列出的方程组为 故选 B.
从实际问题中抽象出二元一次方程组
2.设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子.
根据题意，得 解得
故每头牛值3 两银子，每只羊值2两银子.
3. A[解析]设甲带了钱x，乙带了钱y，
根据“甲、乙两人各带了若干钱.若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50.若乙得到甲所有钱的 ，则乙也共有钱50”,得 故选 A.
4. D[解析]根据列出的二元一次方程组，可得缺失的条件应为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱.故选 D.
5.6[解析]设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分，根据题意，得 解得 故每尺绢的价格是6分.
6.设买了绫x尺，罗y尺.根据题意，得
解得
故买了绫240尺,罗220尺.
7.(1)设该店有客房x间，房客y人，
由题意，得 解得
故该店有客房8间，房客63人.
(2)若每间客房住4人，则63名客人需客房16间，则需付费20×16=320(钱);
若一次性定客房18间,则需付费20×18×0.8=288(钱),因为288<320,
故选择一次性定客房18间更合算.
8.(1)设1辆小货车一次满载运输x件文创产品，1辆大货车一次满载运输y件文创产品，
依题意列二元一次方程组，得
解得
故1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品.
(2)组委会计划支出4000元用于租车，够用.理由如下：
设租用小货车a 辆，大货车b辆，
依题意列二元一次方程,得300a+400b=2700,
解得
∵a，b均为正整数，
∴当b=3,a=5;当b=6,a=1,
或
∴共有2种租车方案.
方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为400×5+3×500=2000+1500=3500(元);
方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为400×1+6×500=400+3000=3400(元).
∵3500<4000,且3400<4000,
∴组委会计划支出4000元用于租车，够用.
9.设有x个客人，y个盘子.
根据题意，得 解得
故有30个客人，13个盘子.
归纳总结 设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解即可.
第2课时 百分率问题与图表信息问题
1. A
2.20万元，30万元 [解析]设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元，y万元，
由题意，得 解得
故该公司甲、乙两种贷款的数额分别为20万元，30万元.
3.设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x元，y元，根据题意，得 解得
故调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40元，50元.
4.(1)设购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，依题意，得 解得 故购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱.
(2)(35-25)×300+(48-35)×200=5600(元).
故该商场售完这500箱矿泉水，可获利5 600元.
5.18 [解析]设住了三人间普通客房x间，双人间普通客房y间，由题意，得 解得 ∴x+y=18.故该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共18间.
6.3：5[解析]设预算购买香樟的总费用为x元，购买红枫的总费用为 y 元，则实际购买香樟的总费用为(1-20%)×(1-6.25%)x=0.75x元,购买红枫的总费用为(1+25%)y=1.25y元.根据题意,得x+y=0.75x+1.25y,解得x=y,所以 所以实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为3：5.
7.设甲种贷款的金额是x 万元，乙种贷款的金额是y万元，由题意得 解得 故甲种贷款的金额是42万元，乙种贷款的金额是26万元.
8.设李明家去年菠萝的收入为x 元，投资为 y元，则李明家今年菠萝的收入为(1+35%)x元,投资为(1+10%)y元,根据题意得 解得 ∴(1+35%)x=(1+35%)×12000=16200(元).故李明家今年菠萝的收入为16200元.
9.(1)10 8 [解析]由题意,得400m+300(m-2)=6400,解得m=10,
∴m-2=10-2=8.
故甲种食品的进价是10元/袋，乙种食品的进价是8元/袋.
(2)设小卖部购进甲种食品x袋，乙种食品y袋，
由题意，得
解得
故小卖部购进甲种食品350袋，乙种食品450袋.
(3)设甲种食品打了a 折，由题意，得
450=5750+10,解得a=9.
故甲种食品打了9折.
10.(1)根据题意,得 解得 (2)设购买A 型车x台,则购买B 型车(10-x)台,根据题意,得2.4x+2(10-x)=22.4,
解得x=6.则10-x=4,
所以120×6+100×4=1120(万元).
故购买这批混合动力公交车需要1120万元.
11.(1)依题意,得
1004+(500-100)×0.07+(100-500)-500)b=120.4,解得
(2)设甲的套餐中定制x(x>1000)分钟的每月通话时间，则丙的套餐中定制(x+300)分钟的每月通话时间.丙定制了1GB 的月流量,需花费100×0.15+(500-100)×0.07+(1024-500)×0.05=69.2(元).
依题意，得
(48+500×0.15+(1000-500)×0.12+(x-1000)m=199,69.2+500×0.15+(1000-500)×0.12+(x+300-1000)m=244.2,即
两个方程相减可消去x
解得m=0.08.
12.设A 种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷，
根据题意，得 解得
故A 种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷.
第3课时 几何问题与行程问题
1. B[解析]根据图示可以列出方程组 故选 B.
2.50 [解析]设塑料凳凳面的厚度为x cm,腿高h cm,根据题意，得 解得 则10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20+3×10=50(cm).
3.(1)设该轮船在静水中的速度是x千米/时，水流速度是y千米/时，
依题意，得
顺流速度=静水中速度+水流速度；逆流速度=静水中速度—水流速度
解得
故该轮船在静水中的速度是12千米/时，水流速度是3千米/时.
(2)设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距(90-a)千米，依题意，得 解得
故甲、丙两地相距 千米.
4. D[解析]根据题意，得 故选 D.
5. B [解析]设每块墙砖的长为x cm,宽为y cm,
根据题意，得 解得
∴xy=35×15=525.故选 B.
6.10 200 [解析]设火车的速度为x 米/秒，火车的长度为y米，根据题意，得 解得 即火车的速度为10米/秒，火车的长度为200米.
7.60 [解析]戴宗顺风前进的速度为180÷2=90(里/时),戴宗逆风前进的速度为180÷6=30(里/时)，
设戴宗的速度为x里/时，风速为y里/时，
由题意，得 解得
故戴宗的速度为60里/时.
8.设载客火车的速度为 xm/s，运货火车的速度为 ym/s，由题意，可得 解得
故载客火车的速度为22m/s，运货火车的速度为18m/s.
9. (1)甲:设公路长x km,区道路长 y km,
由题意，得
乙：设在公路上行驶 xh，在区道路上行驶 yh，
根据题意，得
(2)设在公路上行驶 xh，在区道路上行驶 yh，
根据题意，得
①-②×40,得40x=120-80,
解得x=1,将x=1代入②,得1+y=2,
解得y=1,
故这个人在公路上驱车行驶的时间为1 h.
10.(1)(3m+2n) (m+2n)
(2)由题意,得(3m+2n):(m+2n)=7:3,
解得m=4n.
∵m,n为正整数,且10∴两种方式共裁出长方形3×12+2×3=42(张),正方形12+2×3=18(张).
设做成竖式盒子x个，横式盒子y个，
根据题意，得 解得
∴做成相同数量的两种无盖纸盒一共是6+6=12(个).
11. 99 [解析]根据题意,得 解得 ∴a+b=99.

展开更多......

收起↑