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山西吕梁市交口县2025-2026学年上学期期末水平达标自测八年级数学
一、单选题
1．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．任意三角形 B．直角梯形 C．平行四边形 D．等腰三角形
2．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．据悉神舟系列飞船的传感器可探测到直径约的太空微小碎片（这类碎片也属于太空中的小型天体类物质），该直径用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（ ）
A．长方形的任意一个顶点处
B．长方形两条对角线的交点处
C．长方形的一条边上
D．长方形的外部
6．如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，∠B+∠C+∠D+∠E―∠A等于（　　）
A．180° B．240° C．300° D．360°
9．2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ）

A． B．8 C．6 D．12
二、填空题
11．若分式有意义，则x的取值范围是______．
12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______．
13．因式分解：________．
14．如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________．
15．如图，在中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点，连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若，则______．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．解答下列各题：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中．
18．已知锐角的两条高，相交于点，且．
求证：是等腰三角形．
19．如图，已知的顶点分别为．
(1)作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是______．
(3)在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）．
20．阅读下列材料，完成相应任务．
阅读材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求的最小值
解：
∵不论取何值，总是非负数，即．
∴
∵当时，有最小值为0
∴当时，有最小值，最小值是1.
根据上述材料，解答下列任务：
任务一：填空：__________（ ）2
任务二：探索：将变形为的形式，并求出的最小值．
任务三：应用：如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为，第二个长方形边长分别是、，面积为，试用含的式子表示的值，并说明与的大小关系．
21．（1）问题：如图甲，点A为线段外一动点，且．填空：当点A位于 时，线段的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）；
（2）应用：点A为线段外一动点，且．如图乙，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，连结．
①请找出图中与相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段长的最大值．
22．下面是小明同学学习了“分式方程（一题多解）”后的课堂学习笔记：
题目 为弘扬历史文化，树立爱国情怀，某校需购进一批图书，现小红和小丽一起去购买书籍，她们先用元购买抗战纪实类书籍，又用元购买英雄故事类书籍．已知抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高，且购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本．求这两种书籍的单价各是多少元？
分析问题 方法．设_________________________， 根据购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本， 得到等量关系_________________________， 可列方程为_________________________；
方法．设英雄故事类书籍的数量为本， 根据抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高， 得到等量关系抗战纪实类书籍的单价英雄故事类书籍的单价， 可列方程为_________________________；
(1)请你补全以上方法的过程；
(2)请你列出方法的方程并解出该方程；
(3)学习完今天的知识，你认为在解分式方程的过程中应该注意什么（至少写出一条）
23．综合与探究
问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且．
(1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：；
(2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）；
(3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：．
(4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D B C B A A C
11．
12．
13．
14．
15．
16．（1）解：
；
（2）解：
．
17．（1）解：
；
（2）解：
；
当时，原式．
18．证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
∵∠BEC+∠BCE+∠EBC=∠CDB+∠DBC+∠DCB=180°，
又∠OBC=∠OCB，∠BEC=∠CDB=90°
∴∠DBC=∠ECB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
19．（1）解：如图，即为所求．由图可得，点的坐标为．
（2）由题意得，点关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：．
（3）如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
此时，为最小值，则点即为所求．
20．解：任务一：.
故答案为：，；
任务二：，
当时，的最小值为－27；
任务三：，
，
∵
∴
∴
∴．
21．解：（1）如图1，
∵点A为线段外一动点，且
∴当点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为，
故答案为：的延长线上，；
（2），理由如下：
∵等边三角形和等边三角形，
即
在和中，
；
线段长的最大值为4，理由如下：
∵线段长的最大值线段长的最大值，
∴当线段的长取得最大值时，点D在的延长线上，此时
．
22．（1）解：设英雄故事类书籍的单价为元；
等量关系：英雄故事类书籍的数量抗战纪实类书籍的数量本；
可列方程为．
(2)解：所列方程为；
解得，
经检验是原方程的解；
∴，，
答：英雄故事类书籍单价为元，抗战纪实类书籍单价为元．
(3)解分式方程必须检验，将求得的根代入最简公分母，若最简公分母为，则该根为增根，需舍去．（答案不唯一，合理即可）
23．(1)证明：是等边三角形，
．
，
为等边三角形，
，
，即．
，
，
．
在和中，
，
；
（2）解：为等边三角形，是中点，
，
，
．
，
．
．
为AC中点，，
．
(3)证明：过点作，交于，
是等边三角形，，
∴，
∴，即①．
②，③，
由①②③知，，
．
，
．
（4）解：已知，为直角三角形，分情况讨论：
①当时，如图，
是的中线，
，
由（1）知，，
；
②当时，如图，
．
，
，
由（3）知，，
；
综上，的长为或．

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