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山西省晋中市介休市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．分式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一次函数（为常数）的图象分别与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．刺绣是我国民间传统手艺，苏绣作为我国四大名绣之一，闻名中外．某国际旅游公司计划购买仿真绣和双面绣两种苏绣作品共200件，已知双面绣作品单价300元，仿真绣作品单价200元，若总费用不超过50000元，则最多可购买双面绣作品多少件？设可购买双面绣作品件，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在中，，，垂直平分，垂足为点，交边于点，已知，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解：_____．
12．若分式的值为零，则的值为_______
13．夏季正值哈密瓜成熟上市的季节．哈密瓜表皮布满细密凹凸的天然纹路（图1），民间俗称糖线；瓜尾位置的糖线弧度越向上弯曲、纹路越紧凑饱满，说明哈密瓜成熟度越高，糖分沉淀越足．图2是哈密瓜表皮纹路的一部分，其中，，，，，是五边形的5个外角，若，则的度数为_______
14．我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥青路面的摊铺任务．一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的倍，人工修补组摊铺公里路面的时间比养护车摊铺公里路面的时间多小时．这辆新型养护车每小时摊铺路面_______公里．
15．如图，在中，过点作，交于点．将绕点逆时针方向旋转，点的对应点落在边上，点对应点为，交于点．已知，，，则______．
三、解答题
16．计算：
(1)解不等式组，并把解集表示在数轴上；
(2)解分式方程：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．
(1)与关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是 ．
(2)将平移，使点的对应点的坐标为，请画出平移后的．
(3)连接，，则为 三角形，面积为 ．
19．学习完因式分解后，老师布置了一道练习题，下面是小明和小红同学的解法，老师表示虽然解题方法有所不同，但都正确，值得大家学习！
小明：解：
…………第一步
…………第二步
…………第三步
小红：解：
…………第一步
…………第二步
…………第三步
思考：
(1)在上述解题过程中，小明第二步依据的数学公式是 （用字母表示），小红第二步因式分解的方法叫 ．
(2)用你自己喜欢的方法因式分解：．
(3)结合你平时学习因式分解的经验，为同伴提一条可行的学习建议．
20．在中，，，在边上，．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交于（保留痕迹，不写作法）；
(2)求证：．
21．随着AI技术的不断发展升级，实时翻译耳机打破语言沟通壁垒，成为学习、出行、商务的实用好物．它超低延迟实时双语互译，不用手持手机操作，解放双手自由交谈；多语种精准翻译，适合外语跟读学习、出国旅游问路、跨国洽谈开会等场景；搭配AI降噪，嘈杂环境也能清晰收音，还可留存翻译文稿，既能帮孩子练习口语、纠正发音，也能轻松搞定跨语言交流，随时随地实现无障碍沟通．请你根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某数码品牌推出两款AI实时翻译耳机：讯译、通译，某数码专营店取得两款耳机经销授权．讯译单台标价比通译单台标价高200元；花费6000元采购讯译的台数和花费4000元采购通译的台数相等．
素材2 某外贸公司打算采购两款翻译耳机一共30台，用来奖励驻外业务员，采购总预算不超过13500元．
素材3 门店节日促销优惠：讯译按原价八折售卖，通译每台直接降价50元．
问题解决：
(1)任务1：求讯译、通译两款耳机原来每台标价分别是多少元？
(2)任务2：在促销条件下，该公司最多可以采购多少台讯译？
22．阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应的学习任务．
课堂上学习完三角形的中位线后，小丽总结可以通过旋转、剪拼发现三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，并进行了证明验．以下是小丽整理的证明过程： 已知：如图1所示：是的中位线． 求证：，． 证明：延长至，使，连接， 在与中， ，，， ， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形（依据1）， （依据2），， ，．
根据材料，完成下列任务：

(1)任务一：填空，依据1 、依据2 ．
(2)任务二：除上述证法外，小丽在整理的过程中发现了另外两种证法：
图2的辅助线作法：延长到，使，连接，得到四边形
图3的辅助线作法：过点作，过点作，与交于点
请选择其中一种辅助线的作法证明，
(3)任务三：如图4，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，顺次连接，，，得到四边形，已知则四边形的周长为 ．
23．问题情境：在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形的平移与旋转”为主题，开展数学活动．如图1，和是两个全等的直角三角形，，，．
(1)“博学小组”将两个三角形重叠放置，然后将固定不动，沿射线方向平移，当与重合时停止移动，连接，，．
①如图2，在平移过程中，当为中点时．
求证：四边形是平行四边形；
②如图3，在平移过程中，“博学小组”发现四边形的形状不断变化，但它的面积始终不变，请说明理由，并求得该四边形的面积为 ．
(2)如图4，“兴趣小组”将两个三角形重叠放置，然后将固定不动，绕点逆时针旋转，当时，连接，直线与交于点，请直接写出的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C D B B A A D
11．
12．
13．
14．
15．
16．（1）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，
数轴略；
（2）解：，
方程两边同乘以得：，
整理得，
解得，
当时，，
∴原方程的解为．
17．解：
，
当时，原式．
18．（1）解：如图，连接交于点，
∴对称中心的坐标是；
(2)如图，即为所求；
（3）解：如图，
根据题意得：，
∴，
∴为等腰三角形，
的面积为．
19．（1）解：小明第二步将变形为，再分解为两个因式的乘积，依据的公式是平方差公式：；
小红第二步提取了公因式，因此第二步的因式分解的方法是提公因式法．
(2)解：．
(3)建议：学习因式分解时要牢记分解步骤，先观察多项式是否有公因式，有公因式一定要先提取，再用公式法继续分解，分解完成后要检查是否分解彻底．（合理即可）
20．(1)如图，即为所求；
(2)如图，连接，
由作法得：，
∵，
∴均为直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．（1）解：设通译耳机原来每台标价元，则讯译耳机原来每台标价元．
由题意得等量关系：
，
交叉相乘去分母：，
解得，
检验：把代入分母，，故是原分式方程的解．
讯译标价：（元）
答：讯译原标价600元，通译原标价400元．
（2）解：讯译促销价：（元/台），通译促销价：（元/台），
设采购讯译台，则采购通译台，
由总预算不超过13500元，
列不等式：，
解得，
为耳机台数，取最大正整数，故．
答：该公司最多可以采购23台讯译．
22．(1)一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边相等
(2)选择图2：延长到，使，连接，，
根据题意得：点E为的中点，点D为的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，；
选择图3：过点作，过点作，与交于点，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据题意得：点E为的中点，点D为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，；
（3）解：如图，连接，
∵，，，分别为，，，的中点，
∴，
∴四边形的周长为，
∵，
∴四边形的周长为26．
23．(1)①证明：由平移的性质可知，、，
为中点，
，
，
，
四边形是平行四边形；
②由平移的性质得：、，
四边形是梯形，
，
，
梯形的上底和下底的总和为定值，
过点作交的延长线于点，
和是两个全等的直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
解得：，
梯形的高是点到的距离，恒为定值，
四边形的面积始终不变；；
（2）解：、、旋转后点与点重合，
，
在线段上，
如图，过点A作交的延长线于点H，过点分别作、于点、，则，
在中，，
在中，，
，
是的平分线、，
，
，
在中，，
，
，
，
是的平分线、、，
，
，
，
解得：，
．

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