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河北省秦皇岛市昌黎县2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若a不为0，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么
B．将多项式因式分解的结果是
C．同旁内角互补
D．已知等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长为或
4．下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ）
①；②；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．计算的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．以上都不是
7．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2=（　　）
A．29 B．37 C．21 D．33
8．若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（ ）
A．只有可以 B．只有可以 C．，都可以 D．，都不可以
9．关于的方程的解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，当为的平分线时，将沿着翻折，得到．如下结论：①点落在上；②；③平分．结论正确的是（ ）
A．①②正确 B．②③正确 C．①③正确 D．①②③都正确
12．如图，在中，点D、E、F分别在三边上，E是的中点，，，，交于一点G，，，则的面积是（ ）
A．30 B．28 C．56 D．60
二、填空题
13．将一副三角板按如图所示放置，则的度数为______．
14．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是_________
15．某种商品的进价为100元，出售标价为150元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则最多可打_____折．
16．分解下列因式：，，，观察上述三个多项式的系数，有，，．若多项式是完全平方式，那么系数，，之间一定存在某种关系．若多项式和都是完全平方式，则利用观察得到的规律可得的值是________．
三、解答题
17．因式分解：
(1)；
(2)．
18．解方程组、不等式组
(1)
(2)
19．已知．
(1)若，，，求的值；
(2)若，，，且，求的正整数解．
20．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)将向左平移8个单位长度，请在图中画出平移后的；
(2)利用网格在图中画出的中线和高线；
(3)的面积为______．
21．已知关于x、y的方程组的解满足，
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m取何整数时，关于x的不等式的解集为？
22．如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且．
(1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；
(2)若，，求的度数．
23．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件．
(1)求两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？
24．【观察】
；
．
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大的数的平方与此偶数平方的差能被整除；
【验证】
(1)的结果是的________倍；
(2)设偶数为（为整数），试说明比大的数的平方与平方的差能被整除；
【延伸】
(3)比任意一个整数大的数的平方与此整数平方的差被整除的余数是几？请说明理由．
参考答案
1．A
2．C
3．B
4．B
5．D
6．C
7．B
8．A
9．C
10．B
11．D
12．D
13．
14．-315．八
16．16
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：
由得：，
解得：，
将代入①，得，
解得：，
方程组的解为
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组解集为．
19．（1）解：根据题意得：，，，
；
（2），，，
，
，
，
解得：，
则正整数解，2，3．
20．(1)如图1，即为所作；
(2)如图1，中线和高线即为所作；
（3）解：由题意知，，
故答案为：8．
21．解：解方程组，
①+②得：2x=4m+2，
解得：x=2m+1，代入①，
解得：y=m-3，
∴方程组的解为：，
∵x≥0，y＜1，
∴，
解得：；
（2）∵（2-m）x＞2-m的解集为x＜1，
∴2-m＜0，
∴m＞2，
又∵m＜4，m是整数，
∴m=3．
22．(1)是，
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
23．（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，
由题意得，，
解得，，
∵A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元，
∴购买A型智能机器人越少，费用越少，
∴购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台时，费用最少．
答：应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
24．(1)
(2)由题意得偶数为，比偶数大3的数为，
∴
∵为整数，
∴能被3整除
(3)余数为3，
理由如下：
设这个数为，比大3的数为，
所以被6整除余3，余数为3

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