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山西省大同市平城区部分学校 2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．5，12，15 C．7，24，25 D．，，
4．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等
5．八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ）
A．甲组跳绳次数的波动比乙组大
B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小
C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180
D．乙组跳绳次数的最大值大于190
6．、是正比例函数图像上的两点，下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
9．如图，已知一次函数与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中有所使用．如图1是一个圆形筒车的几何示意图，它按逆时针方向匀速旋转．设筒车的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m），在水面下则d为负数．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间到下次盛水筒回到同一浮出水面位置，d与时间t（单位：s）之间的图象如图2所示，则的半径为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．
12．某公司对A，B两个型号的人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行打分，各项成绩均按百分制计，然后按语言交互能力占、分析能力占、学习能力占来计算两个型号的人工智能产品的综合能力得分．下表是A，B两个型号的人工智能产品三项能力的得分，则综合能力更强的是______（填“A”或“B”）型号人工智能产品．
型号 语言交互能力 分析能力 学习能力
A 70 90 80
B 75 80 90
13．大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________．
14．如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为________．
15．如图，在边长为的正方形中，点为的中点，连接，作的垂直平分线，分别交，，于点，，，则的长为_____．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．如图，在中，点A，C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点是该直线上一点，且纵坐标为，过点的直线与轴交于点．
(1)求直线的函数解析式．
(2)请直接写出的面积．
19．为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队.指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计．
数据收集：
A组同学的身高（）：
B组同学的身高（）：
数据整理：
组别 平均数 中位数 众数 方差
A组 166 165
B组 166 165 13
根据上述信息，回答下列问题：
(1)填空： ， ， ，两组同学中身高更整齐的是 组（填“A”或“B”）；
(2)在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小．
20．根据背景素材，探索解决问题．
测量风筝离地面的垂直高度（）
背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”．
操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手的位置A处到地面的距离为1.5米； （备注：点A，B，C，D在同一平面内．）
问题解决
任务一 （1）如图1，根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． （提示：过点A作于点E）
任务二 （2）如图2，在任务一的基础上，若手中剩余线仅有6米时，想要风筝沿射线方向再上升12米，即米，线段的长度不变，请问能否成功？并说明理由．
21．阅读与思考
下面是小明同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
利用尺规，过直线外一点作已知直线的平行线 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知直线和外一点，请利用尺规作的平行线，使它经过点． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法如图2： ①在直线上任取一点，连接并延长至点，使， ②在直线上再取一点，连接， ③作的垂直平分线，交于点， ④作直线．则直线即为所求． 勤学小组的证明： ，点是的中点 是的垂直平分线，点是的中点 ∴是的中位线 ∴（依据 ），即 善思小组的作法如图3： ①在直线l上取点B，C两点，②作射线，③作的角平分线，④以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，⑤作直线．则直线即为所求． 善思小组的证明：……
(1)任务一：请补充上面证明过程中的“依据”：_______．
(2)任务二：请完成善思小组的证明过程．
(3)任务三：用不同于材料的方法过点A作直线l的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
22．“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置．他们设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表，发现水面高度与流水时间（t为正整数）之间满足一次函数关系．
流水时间 0 10 20 30 40 …
水面高度（观察值） 30 28 26 24 22 …
(1)求水面高度h与流水时间t之间的函数关系式；
(2)按此速度，流水时间为1小时时，水面高度为多少厘米？
(3)按此速度，经过多长时间，甲容器内的水恰好流完？
23．综合与探究
数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展折叠探究活动，同学们发现通过不同的折叠方式，能得到形状各异的四边形．请你结合矩形的性质与折叠的对称性，完成下列问题：
(1)勤学小组先提出一个方法：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F．试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)善思小组也提出一个方法：如图2，将矩形沿对角线折叠，点A的对应点为点E，与边相交与点F．过点B作交边于点G，求证：四边形是菱形．
(3)如图3，若，，点M是的中点，点N是线段边上的动点，连接，将矩形沿折叠，点A的对应点为点E．在点N移动的过程中，若以E，D，C为顶点构成的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出线段的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A C A C D C C
11．
12．A
13．
14．
15．
16．（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
17．证明：连接，交于点O．
四边形是平行四边形，
，．
又，
，即，
∴四边形是平行四边形．
18．（1）解：当时，则，
解得：，
∴，
把代入，
即，
解得：，
则，
令，则，
解得：，
∴，
设的解析式为：，
则，
解得：，
则的解析式为：
（2）解：令，则，
∴，
∴，
∴
19．（1）解：把A组身高数据从小到大排序为：163，165，165，165，166，167，168，169，
∵A组有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均数，
∴；
∵B组数据中164出现了3次，出现次数最多，
∴B组众数；
∵A组平均数是166，
∴；
∴；
比较两组方差，A组方差小于B组的13，方差越小数据越整齐，所以身高更整齐的是A组；
（2）解：新增两人身高的平均数为，和原A组的平均数相同，
∴人数增加后A组身高的平均数不变，
∵原A组数据与平均数差的平方和是26，
新增的两个数与平均数差的平方分别是和，
新的平方和是，新的数据个数是，新方差为，
比原来的小，
∴方差变小．
20．解：（1）如图1，过点A作于点E，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
则米，米，，
∴（米），
∴（米）；
所以，风筝离地面的垂直高度为9.5米；
（2）不能成功．
理由：假设能上升12米，
∵米，
∴（米），
在中，（米），
∵米，余线仅剩6米，
∴．
∴不能上升12米，即不能成功．
21．（1）解：任务一：证明过程中的“依据”：三角形的中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），
故答案为：三角形的中位线定理；
（2）解：任务二：由作图可知：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：任务三：
如图4，直线m即为所求作的直线．（方法不唯一）．
22．（1）设水面高度h与流水时间t之间的函数关系式为，
把，代入得：
解得，
∴水面高度h与流水时间t之间的函数关系式为；
（2）当分钟时，，
∴流水时间为1小时时，水面高度为18厘米；
（3）当时，的，
∴，即经过，甲容器内的水恰好流完．
23．(1)四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是矩形，
，
由折叠可知，，，
∴四边形是矩形，
，
∴四边形是正方形；
(2)证明：∵四边形是矩形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
由折叠可知，，
，
．
∴四边形是菱形．
（3）解：∵四边形是矩形， ，，
∴，
∵，点M是的中点，
∴，
由折叠的性质得：，，
设，
①若，过点E作于点H，于点Q，交于点P，则，
∵，，
∴垂直平分，即，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴
解得：，
即；
②若，连接，此时，
∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴N、E、C在同一条直线上，
∴，
在中，，
∴
解得：
综上所述，线段的长为或．

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