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广东省深圳市南山区2025-2026学年高二第一学期期末质量监测数学试题
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是
A． B． C． D．
2．已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（　　）
A． B． C． D．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（　　）
A．2 B．3 C． D．3
6．在三棱锥中，，，两两垂直，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（　　）
A． B．
C．或 D．或
8．已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知空间向量，，则（　　）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
10．已知点是双曲线右支上一点，，分别为的左、右焦点，若△的面积为，则（　　）
A．点的纵坐标为 B．△的周长为
C．△的内切圆半径为 D．大于
11．记各项为正数的数列的前项积为，，（），则（　　）
A．若，则
B．当时，
C．可能为等比数列，亦可能为等差数列
D．若数列为等差数列，则，或
12．已知圆：，：，若与外切，则　 　.
13．已知数列，的通项公式分别为，，将，的公共项按从小到大依次排列得到新的数列，则的前项和　 　.
14．记动椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为　 　．
15．已知在平面直角坐标系中点与点均在圆上.
（1）求线段的垂直平分线方程；
（2）若圆心在直线上，且过点的直线被圆截得的弦长为，求的方程.
16．已知数列为等比数列，，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若为单调递增数列，且，求数列的前项和.
17．如图，三棱柱中，是等边三角形，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）点是线段上一动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知，，且，且．
（1）若数列为等比数列，求的值；
（2）当时，
（i）求数列的通项公式；
（ii）设，记数列的前项和为，证明：．
19．已知抛物线经过点，为抛物线的顶点，点，在抛物线上，以，为切点的两条切线交于点.
（1）求的值及的准线方程；
（2）设直线分别与直线，轴的交于点，（，不重合），且.
（i）证明：存在定点，使得为定值；
（ii）求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：由题意结合空间直角坐标系，
可得点关于轴对称的点的坐标是.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件和点与点关于平面对称的求解方法，从而得出点关于轴对称的点的坐标.
2．【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：由直线的一个方向向量，
得直线的斜率为，
因为直线在y轴上的截距为，
所以直线的方程为，即．
故答案为：C．
【分析】由方向向量求出直线的斜率，再利用斜截式方程和转化的方法，从而得出直线的一般式方程．
3．【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，存在线性组合，
则此组向量共面，故选项A不符合题意；
对于选项B：因为，存在线性组合，
则此组向量共面，故选项B不符合题意；
对于选项C：假设，
则，
由不共面，得：，无解，
不存在线性组合，则此组向量不共面，故选项C符合题意；
对于选项D：因为，存在线性组合，
则此组向量共面，故选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量共面定理判断.
4．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的离心率为，
所以，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：D.
【分析】先根据双曲线的离心率公式得出的值，再根据双曲线中三者的关系式，从而得出双曲线的渐近线方程.
5．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由抛物线，可得，
则焦点，准线方程为，
因为点到其焦点的距离为，
根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，
则，解得，所以，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的定义转化为点到准线的距离为，从而得出的值，再利用m的取值范围，进而得出的值.
6．【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：如图，将三棱锥放置于长方体中，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
则，
所以，异面直线和所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】将三棱锥放置于长方体中，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出异面直线和所成角的余弦值.
7．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为椭圆：，，
则椭圆的上顶点为，右焦点为，
因为直线的斜率为，
又因为直线与直线平行，所以直线与直线的斜率相同，
设直线的方程为，即
因为上有且仅有三个点到的距离为，
在椭圆与直线的距离为的平行线中，有一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况）
设与直线平行且距离为的直线为，
根据两平行线距离公式，得：，
化简得，则，
联立，
消元整理，得，
因为直线与椭圆相切，
所以，
解得，
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为；
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为；
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为，且直线与椭圆相离，不符合题意
当时，结合，
则，
解得（取号），此时直线的方程为，且直线与椭圆相离，不符合题意
则或满足题意.
故答案为：D.
【分析】先找出椭圆的上顶点坐标和右焦点坐标，再求出直线的斜率和直线的方程形式，分析椭圆上点到直线的距离，从而联立直线方程与椭圆方程，则根据判别式法得出参数，从而得出直线l的方程.
8．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；轨迹方程
【解析】【解答】解：因为直线过定点，
直线过定点，
又因为两直线始终保持相互垂直，
所以，交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示：
因为直线不包含直线，不包含直线，
所以点的轨迹不经过点，
则圆上的点到点距离最大值为，
此时点的位置不在处，满足题意，
所以，的最大值为.
故答案为：B.
【分析】根据两直线过定点且两直线垂直，利用圆的定义，从而求出点的轨迹，再利用直线不包含直线，直线不包含直线，则点的轨迹不经过点，再利用几何法求最值的方法，从而得出圆上的点到点距离最大值，从而得出此时点的位置不在处，进而得出的最大值.
9．【答案】B,C
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又因为，
所以，向量与不共线，故选项A不正确；
因为，，
所以，故选项B正确；
因为，
所以，
则，故选项C正确；
因为，故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用空间向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，则判断出选项A；结合向量的模的坐标表示，则判断出选项B；结合向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，则判断出选项C；利用数量积求向量夹角的坐标表示，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为双曲线，
所以，，；
则，，所以．
因为，
代入，，
得，解得，故选项A错误；
将代入双曲线方程中，则，
解得，则，
因为，，
所以，
则△的周长为，故选项B正确；
因为三角形面积与内切圆半径的关系为，其中为半周长，
得，所以，解得，故选项C正确；
根据余弦定理，得，
因为，，且余弦函数在单调递减，
所以，故选项D错误．
故答案为：BC．
【分析】由双曲线的标准方程和双曲线中a，b，c三者的关系式以及焦距的定义，从而求出的值和焦距的值，再利用三角形面积公式求出点的坐标，再结合双曲线定义、三角形面积与内切圆半径的关系式以及余弦定理，从而逐项判断找出正确的选项．
11．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：对于选项A：由，，
当时，，则；
当时，，则，
∵，所以，则，故选项A正确；
对于选项B：当时，，
当时，，则，所以；
当时，，则，所以，
则数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
所以，故B错误；
对于选项C，当，时，，此时满足，，
且数列既是等比数列，也是等差数列，故C正确；
对于选项D：由，，得，
当时，，则，
所以，，
则，
若数列为等差数列，则为常数，
若，则恒成立，所以恒成立，则；
若，则，解得，
综上所述，或，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据提意结合的关系式，从而得到，进而求解得出的值，则判断出选项A；根据题意结合的关系式，从而得到，，利用等差数列的定义及等差数列的通项公式，从而得出，再利用的关系式求出数列的通项公式，则判断出选项B；举例，结合等比数列的定义和等差数列的定义，则可判断选项C；根据题意得到，结合为等差数列分类讨论，从而求解得出的值，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：将圆：配方得：，
则圆心为，半径为 ；
因为圆：，
所以圆心为，半径为；
当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，
又因为圆心距为，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据两点距离公式得出圆心距，再利用两圆外切位置关系判断方法，从而得出圆心距等于半径之和，进而解方程求出的值.
13．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，
依次为，
又因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，
依次为，
这两个数列的公共项所构成的新数列依次为，
可知数列是以首项为0，公差为1的等差数列，
所以的前项和为.
故答案为：.
【分析】先判断出等差数列和中项的特征，从而得出两个数列公共项所构成新数列的首项和公差，再利用等差数列前n项和公式，从而得出数列的前项和.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：显然动椭圆的长半轴长为，设椭圆的半焦距为，
则，且的离心率也为，
由椭圆的对称性，易知，
∴，
则.
①当点在上顶点位置时（临界位置一），
在中，由余弦定理，得：，
②当点的横坐标为的时（或对应的点）（临界位置二），
满足条件的点有四个，不妨取，如图，
∴，
由椭圆定义，可知，
在△中，由余弦定理的推论，
可知，
∴，解得，
则，
∴椭圆的离心率的取值范围亦为.
故答案为：.
【分析】设椭圆的半焦距为，则易知椭圆的离心率也为，由椭圆的对称性易知，再利用余弦函数的单调性讨论两个临界位置时的情况，结合余弦定理和椭圆的定义，从而得出c的取值范围，再根据椭圆的离心率公式得出椭圆C的离心率的取值范围.
15．【答案】（1）解：由，，
得的中点为，
又因为，
则线段的垂直平分线的斜率为，
∴直线的垂直平分线方程为：，即.
（2）解：由题意可知圆的圆心为两条直线：
，的交点，
联立，
解得，
则，
所以，
又因为直线被圆截得的弦长为，
所以，圆心到直线的距离.
①当直线斜率不存在时，此时直线方程为，
此时圆心与直线的距离为，符合题意；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
则，
解得，
此时直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】平面内中点坐标公式；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）先利用中点坐标公式求出的中点G的坐标，再利用两点求斜率公式得出的值，根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而可得线段的垂直平分线的斜率，再根据点斜式方程和转化法，从而得出线段的垂直平分线的一般式方程.
（2）先联立两直线，求出圆心的坐标，再利用两点距离公式得出的值，根据弦长公式得到圆心到直线的距离，再分直线斜率不存在和存在两种情况讨论得出直线的方程.
（1）由，，
则的中点为，，
则线段的垂直平分线的斜率为，
∴的垂直平分线方程为：，即.
（2）由题可知圆的圆心为两条直线：，的交点，
联立，解得，即，
则，
又直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离，
①当直线斜率不存在时，此时直线方程为，
此时圆心与直线的距离为，符合题意；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
则，解得，
∴此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
16．【答案】（1）解：∵，，成等差数列，
∴，
又因为为等比数列，设公比为，
∴，
解得或，
当时，；
当时，，
综上所述，或.
（2）解：由题意，可知，
∴，
∴
，
，
.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；数列的求和；等差中项
【解析】【分析】(1)利用等差中项公式和等比数列的通项公式，从而建立关于公比的方程，从而求解得到公比的值，再利用分类讨论的方法和等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
(2)将数列拆分为奇数项等比数列和偶数项等差数列，再利用分组求和法得出数列的前项和.
（1）∵，，成等差数列，
∴，
又为等比数列，设公比为，
∴，
解得，或，
当时，； 当时，；
综上所述，，或.
（2）由题意，可知，
∴
∴
，
，
.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，，
在中，，，
则，，
因为，，平面，
可得平面且平面，
则，
在中，，
在中，，
可知且平面，，
可得平面且平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）可知：，，，
如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，，
设，，
可得，
设平面的法向量为，
则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
解得，则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，利用线线垂直证出平面，再利用线面垂直的定义可得，根据线线垂直证出直线平面，最后由线面垂直证出面面垂直，即证出平面平面.
（2）由（1）可知：，，，从而建系得出点的坐标，设，再利用向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算求出平面的法向量，进一步求出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值 .
（1）取的中点，连接，，
在中，，，则，，
因为，，平面，可得平面，
且平面，则，
在中，，
在中，，可知，
且平面，，可得平面，
且平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知：，，，
如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，，，
设，，可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
设与平面所成角为，
则，
解得，即，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：方法一：∵为等比数列，
∴，，
∴．
方法二：∵为等比数列，
∴，，成等比数列，
∴，
∴，
则，
∴，
∵，∴，
检验如下，
若，
则，
∴．
（2）解：（i）当时，得，∴，
则，
当时，易知；
当时，
则，所以，
又因为，不满足上式，
∴的通项公式为．
（ii）由（i）可知，，
∴，
∴
，
又因为
，
∴是递增数列，
则，
又∵，∴，
且n趋向于无穷大时，趋向于0，趋向于1，
所以，
综上所述，．
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的极限；数列的通项公式；等比中项
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
方法一：利用已知条件和等比数列的定义，从而得出实数k的值.
方法二：利用等比中项公式和已知条件以及检验法，从而得出实数k的值.
（2）（i）当时，根据题中等式可得，在将第n项与第项作差得到数列的通项公式.
（ii）由（i）中数列的通项公式求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的前项和，再根据数列的单调性，从而得出数列的最小值，再由数列的极限得出的取值范围．
（1）方法一：∵为等比数列，
∴，，
∴．
方法二：∵为等比数列，∴，，成等比数列，
∴，∴，
即，
∴，∵，∴，
检验如下，若，则有，∴．
（2）（i）当时，得，
∴，也即，
当时，易知；
当时，，
即，也即，
又，不满足上式，∴的通项公式为．
（ii）由（i）可知，，
∴，
∴
，
又
，
∴是递增数列，即，
又∵，∴，
且n趋向于无穷大时，趋向于0，趋向于1，所以，
综上所述，．
19．【答案】（1）解：因为抛物线过点，
所以，
解得，
所以抛物线的准线方程为.
（2）（i）证明：设，，
所以，，
由题意可知，直线的斜率不为，
设切线的方程为，
联立方程，
整理得，
令，
得，
则，所以，
则切线的方程为，
整理得切线，
同理可得，切线，
设两切线交于点，
则，
所以切点弦的方程为，
则直线方程为，
由，且，不重合，可知，
因为直线斜率为，直线斜率为，，
所以，解得，
则点在定直线上，
设，
则直线的方程为，所以.
（方法一）易知直线的方程为，直线的方程为，
联立得出交点的坐标为，
因为直线与轴交于点，
由点的坐标，得，，
所以，
则，
所以，
则点在圆上(除去点)，
取定点，则为定值，
所以，存在定点，使得为定值.
（方法二）因为，取点为的中点，
则，
所以，存在定点，使得为定值.
（ii）解：因为，
所以，
又因为，
所以，则，
由均值不等式，得，
当且仅当时，即当时取等号，此时，不重合，满足条件，
所以的最小值为.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程求出的值，从而得到抛物线的准线方程.
（2）（i）利用两种方法证明.
方法一：设，先求出切点弦的方程，利用求出点在定直线上，再联立直线方程与直线方程，从而求出点的坐标，进而求出点的轨迹，从而证出存在定点，使得为定值.
方法二：根据和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而证出存在定点，使得为定值.
（ii）先利用两点距离公式求出和，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）因为过点，所以，解得，
所以的准线方程为.
（2）（i）设，，所以，，
由题可知，直线的斜率不为，设切线的方程为，
联立方程， 整理得，
令，得，
即，所以，
则切线的方程为，整理得切线，
同理可得切线，
设两切线交于点，则，
所以切点弦的方程为，
直线方程为，由，且，不重合可知，
因为直线斜率为，直线斜率为，，
所以，解得，
故点在定直线上，设，
则直线的方程为，则，
（方法一）易知直线的方程为，直线的方程为，
联立解得交点的坐标为，
又直线与轴交于点，
由的坐标得，，
所以，即，即，
所以点在圆上(除去点)，
取定点，则，为定值，
所以存在定点，使得为定值.
（方法二），取点为的中点，则，
所以存在定点，使得为定值.
（ii），
所以，
因为，
所以，
于是，，
由均值不等式，
当且仅当，即时取等号，此时，不重合，满足条件，
所以的最小值为.
1 / 1广东省深圳市南山区2025-2026学年高二第一学期期末质量监测数学试题
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：由题意结合空间直角坐标系，
可得点关于轴对称的点的坐标是.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件和点与点关于平面对称的求解方法，从而得出点关于轴对称的点的坐标.
2．已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：由直线的一个方向向量，
得直线的斜率为，
因为直线在y轴上的截距为，
所以直线的方程为，即．
故答案为：C．
【分析】由方向向量求出直线的斜率，再利用斜截式方程和转化的方法，从而得出直线的一般式方程．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：对于选项A：因为，存在线性组合，
则此组向量共面，故选项A不符合题意；
对于选项B：因为，存在线性组合，
则此组向量共面，故选项B不符合题意；
对于选项C：假设，
则，
由不共面，得：，无解，
不存在线性组合，则此组向量不共面，故选项C符合题意；
对于选项D：因为，存在线性组合，
则此组向量共面，故选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用空间向量共面定理判断.
4．若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的离心率为，
所以，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：D.
【分析】先根据双曲线的离心率公式得出的值，再根据双曲线中三者的关系式，从而得出双曲线的渐近线方程.
5．若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（　　）
A．2 B．3 C． D．3
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由抛物线，可得，
则焦点，准线方程为，
因为点到其焦点的距离为，
根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，
则，解得，所以，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的定义转化为点到准线的距离为，从而得出的值，再利用m的取值范围，进而得出的值.
6．在三棱锥中，，，两两垂直，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：如图，将三棱锥放置于长方体中，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
则，
所以，异面直线和所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】将三棱锥放置于长方体中，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出异面直线和所成角的余弦值.
7．已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为椭圆：，，
则椭圆的上顶点为，右焦点为，
因为直线的斜率为，
又因为直线与直线平行，所以直线与直线的斜率相同，
设直线的方程为，即
因为上有且仅有三个点到的距离为，
在椭圆与直线的距离为的平行线中，有一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况）
设与直线平行且距离为的直线为，
根据两平行线距离公式，得：，
化简得，则，
联立，
消元整理，得，
因为直线与椭圆相切，
所以，
解得，
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为；
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为；
当时，结合，则，
解得（取号），此时直线的方程为，且直线与椭圆相离，不符合题意
当时，结合，
则，
解得（取号），此时直线的方程为，且直线与椭圆相离，不符合题意
则或满足题意.
故答案为：D.
【分析】先找出椭圆的上顶点坐标和右焦点坐标，再求出直线的斜率和直线的方程形式，分析椭圆上点到直线的距离，从而联立直线方程与椭圆方程，则根据判别式法得出参数，从而得出直线l的方程.
8．已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；轨迹方程
【解析】【解答】解：因为直线过定点，
直线过定点，
又因为两直线始终保持相互垂直，
所以，交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示：
因为直线不包含直线，不包含直线，
所以点的轨迹不经过点，
则圆上的点到点距离最大值为，
此时点的位置不在处，满足题意，
所以，的最大值为.
故答案为：B.
【分析】根据两直线过定点且两直线垂直，利用圆的定义，从而求出点的轨迹，再利用直线不包含直线，直线不包含直线，则点的轨迹不经过点，再利用几何法求最值的方法，从而得出圆上的点到点距离最大值，从而得出此时点的位置不在处，进而得出的最大值.
9．已知空间向量，，则（　　）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
【答案】B,C
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又因为，
所以，向量与不共线，故选项A不正确；
因为，，
所以，故选项B正确；
因为，
所以，
则，故选项C正确；
因为，故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用空间向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，则判断出选项A；结合向量的模的坐标表示，则判断出选项B；结合向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，则判断出选项C；利用数量积求向量夹角的坐标表示，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．已知点是双曲线右支上一点，，分别为的左、右焦点，若△的面积为，则（　　）
A．点的纵坐标为 B．△的周长为
C．△的内切圆半径为 D．大于
【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为双曲线，
所以，，；
则，，所以．
因为，
代入，，
得，解得，故选项A错误；
将代入双曲线方程中，则，
解得，则，
因为，，
所以，
则△的周长为，故选项B正确；
因为三角形面积与内切圆半径的关系为，其中为半周长，
得，所以，解得，故选项C正确；
根据余弦定理，得，
因为，，且余弦函数在单调递减，
所以，故选项D错误．
故答案为：BC．
【分析】由双曲线的标准方程和双曲线中a，b，c三者的关系式以及焦距的定义，从而求出的值和焦距的值，再利用三角形面积公式求出点的坐标，再结合双曲线定义、三角形面积与内切圆半径的关系式以及余弦定理，从而逐项判断找出正确的选项．
11．记各项为正数的数列的前项积为，，（），则（　　）
A．若，则
B．当时，
C．可能为等比数列，亦可能为等差数列
D．若数列为等差数列，则，或
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：对于选项A：由，，
当时，，则；
当时，，则，
∵，所以，则，故选项A正确；
对于选项B：当时，，
当时，，则，所以；
当时，，则，所以，
则数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
所以，故B错误；
对于选项C，当，时，，此时满足，，
且数列既是等比数列，也是等差数列，故C正确；
对于选项D：由，，得，
当时，，则，
所以，，
则，
若数列为等差数列，则为常数，
若，则恒成立，所以恒成立，则；
若，则，解得，
综上所述，或，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据提意结合的关系式，从而得到，进而求解得出的值，则判断出选项A；根据题意结合的关系式，从而得到，，利用等差数列的定义及等差数列的通项公式，从而得出，再利用的关系式求出数列的通项公式，则判断出选项B；举例，结合等比数列的定义和等差数列的定义，则可判断选项C；根据题意得到，结合为等差数列分类讨论，从而求解得出的值，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．已知圆：，：，若与外切，则　 　.
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：将圆：配方得：，
则圆心为，半径为 ；
因为圆：，
所以圆心为，半径为；
当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，
又因为圆心距为，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据两点距离公式得出圆心距，再利用两圆外切位置关系判断方法，从而得出圆心距等于半径之和，进而解方程求出的值.
13．已知数列，的通项公式分别为，，将，的公共项按从小到大依次排列得到新的数列，则的前项和　 　.
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，
依次为，
又因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，
依次为，
这两个数列的公共项所构成的新数列依次为，
可知数列是以首项为0，公差为1的等差数列，
所以的前项和为.
故答案为：.
【分析】先判断出等差数列和中项的特征，从而得出两个数列公共项所构成新数列的首项和公差，再利用等差数列前n项和公式，从而得出数列的前项和.
14．记动椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在点使得，且的取值范围为，则的离心率的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：显然动椭圆的长半轴长为，设椭圆的半焦距为，
则，且的离心率也为，
由椭圆的对称性，易知，
∴，
则.
①当点在上顶点位置时（临界位置一），
在中，由余弦定理，得：，
②当点的横坐标为的时（或对应的点）（临界位置二），
满足条件的点有四个，不妨取，如图，
∴，
由椭圆定义，可知，
在△中，由余弦定理的推论，
可知，
∴，解得，
则，
∴椭圆的离心率的取值范围亦为.
故答案为：.
【分析】设椭圆的半焦距为，则易知椭圆的离心率也为，由椭圆的对称性易知，再利用余弦函数的单调性讨论两个临界位置时的情况，结合余弦定理和椭圆的定义，从而得出c的取值范围，再根据椭圆的离心率公式得出椭圆C的离心率的取值范围.
15．已知在平面直角坐标系中点与点均在圆上.
（1）求线段的垂直平分线方程；
（2）若圆心在直线上，且过点的直线被圆截得的弦长为，求的方程.
【答案】（1）解：由，，
得的中点为，
又因为，
则线段的垂直平分线的斜率为，
∴直线的垂直平分线方程为：，即.
（2）解：由题意可知圆的圆心为两条直线：
，的交点，
联立，
解得，
则，
所以，
又因为直线被圆截得的弦长为，
所以，圆心到直线的距离.
①当直线斜率不存在时，此时直线方程为，
此时圆心与直线的距离为，符合题意；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
则，
解得，
此时直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】平面内中点坐标公式；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）先利用中点坐标公式求出的中点G的坐标，再利用两点求斜率公式得出的值，根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而可得线段的垂直平分线的斜率，再根据点斜式方程和转化法，从而得出线段的垂直平分线的一般式方程.
（2）先联立两直线，求出圆心的坐标，再利用两点距离公式得出的值，根据弦长公式得到圆心到直线的距离，再分直线斜率不存在和存在两种情况讨论得出直线的方程.
（1）由，，
则的中点为，，
则线段的垂直平分线的斜率为，
∴的垂直平分线方程为：，即.
（2）由题可知圆的圆心为两条直线：，的交点，
联立，解得，即，
则，
又直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离，
①当直线斜率不存在时，此时直线方程为，
此时圆心与直线的距离为，符合题意；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
则，解得，
∴此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
16．已知数列为等比数列，，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若为单调递增数列，且，求数列的前项和.
【答案】（1）解：∵，，成等差数列，
∴，
又因为为等比数列，设公比为，
∴，
解得或，
当时，；
当时，，
综上所述，或.
（2）解：由题意，可知，
∴，
∴
，
，
.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；数列的求和；等差中项
【解析】【分析】(1)利用等差中项公式和等比数列的通项公式，从而建立关于公比的方程，从而求解得到公比的值，再利用分类讨论的方法和等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
(2)将数列拆分为奇数项等比数列和偶数项等差数列，再利用分组求和法得出数列的前项和.
（1）∵，，成等差数列，
∴，
又为等比数列，设公比为，
∴，
解得，或，
当时，； 当时，；
综上所述，，或.
（2）由题意，可知，
∴
∴
，
，
.
17．如图，三棱柱中，是等边三角形，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）点是线段上一动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，，
在中，，，
则，，
因为，，平面，
可得平面且平面，
则，
在中，，
在中，，
可知且平面，，
可得平面且平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）可知：，，，
如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，，
设，，
可得，
设平面的法向量为，
则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
解得，则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，利用线线垂直证出平面，再利用线面垂直的定义可得，根据线线垂直证出直线平面，最后由线面垂直证出面面垂直，即证出平面平面.
（2）由（1）可知：，，，从而建系得出点的坐标，设，再利用向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算求出平面的法向量，进一步求出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值 .
（1）取的中点，连接，，
在中，，，则，，
因为，，平面，可得平面，
且平面，则，
在中，，
在中，，可知，
且平面，，可得平面，
且平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知：，，，
如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，，，
设，，可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
设与平面所成角为，
则，
解得，即，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．已知，，且，且．
（1）若数列为等比数列，求的值；
（2）当时，
（i）求数列的通项公式；
（ii）设，记数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）解：方法一：∵为等比数列，
∴，，
∴．
方法二：∵为等比数列，
∴，，成等比数列，
∴，
∴，
则，
∴，
∵，∴，
检验如下，
若，
则，
∴．
（2）解：（i）当时，得，∴，
则，
当时，易知；
当时，
则，所以，
又因为，不满足上式，
∴的通项公式为．
（ii）由（i）可知，，
∴，
∴
，
又因为
，
∴是递增数列，
则，
又∵，∴，
且n趋向于无穷大时，趋向于0，趋向于1，
所以，
综上所述，．
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的极限；数列的通项公式；等比中项
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
方法一：利用已知条件和等比数列的定义，从而得出实数k的值.
方法二：利用等比中项公式和已知条件以及检验法，从而得出实数k的值.
（2）（i）当时，根据题中等式可得，在将第n项与第项作差得到数列的通项公式.
（ii）由（i）中数列的通项公式求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的前项和，再根据数列的单调性，从而得出数列的最小值，再由数列的极限得出的取值范围．
（1）方法一：∵为等比数列，
∴，，
∴．
方法二：∵为等比数列，∴，，成等比数列，
∴，∴，
即，
∴，∵，∴，
检验如下，若，则有，∴．
（2）（i）当时，得，
∴，也即，
当时，易知；
当时，，
即，也即，
又，不满足上式，∴的通项公式为．
（ii）由（i）可知，，
∴，
∴
，
又
，
∴是递增数列，即，
又∵，∴，
且n趋向于无穷大时，趋向于0，趋向于1，所以，
综上所述，．
19．已知抛物线经过点，为抛物线的顶点，点，在抛物线上，以，为切点的两条切线交于点.
（1）求的值及的准线方程；
（2）设直线分别与直线，轴的交于点，（，不重合），且.
（i）证明：存在定点，使得为定值；
（ii）求的最小值.
【答案】（1）解：因为抛物线过点，
所以，
解得，
所以抛物线的准线方程为.
（2）（i）证明：设，，
所以，，
由题意可知，直线的斜率不为，
设切线的方程为，
联立方程，
整理得，
令，
得，
则，所以，
则切线的方程为，
整理得切线，
同理可得，切线，
设两切线交于点，
则，
所以切点弦的方程为，
则直线方程为，
由，且，不重合，可知，
因为直线斜率为，直线斜率为，，
所以，解得，
则点在定直线上，
设，
则直线的方程为，所以.
（方法一）易知直线的方程为，直线的方程为，
联立得出交点的坐标为，
因为直线与轴交于点，
由点的坐标，得，，
所以，
则，
所以，
则点在圆上(除去点)，
取定点，则为定值，
所以，存在定点，使得为定值.
（方法二）因为，取点为的中点，
则，
所以，存在定点，使得为定值.
（ii）解：因为，
所以，
又因为，
所以，则，
由均值不等式，得，
当且仅当时，即当时取等号，此时，不重合，满足条件，
所以的最小值为.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程求出的值，从而得到抛物线的准线方程.
（2）（i）利用两种方法证明.
方法一：设，先求出切点弦的方程，利用求出点在定直线上，再联立直线方程与直线方程，从而求出点的坐标，进而求出点的轨迹，从而证出存在定点，使得为定值.
方法二：根据和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而证出存在定点，使得为定值.
（ii）先利用两点距离公式求出和，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）因为过点，所以，解得，
所以的准线方程为.
（2）（i）设，，所以，，
由题可知，直线的斜率不为，设切线的方程为，
联立方程， 整理得，
令，得，
即，所以，
则切线的方程为，整理得切线，
同理可得切线，
设两切线交于点，则，
所以切点弦的方程为，
直线方程为，由，且，不重合可知，
因为直线斜率为，直线斜率为，，
所以，解得，
故点在定直线上，设，
则直线的方程为，则，
（方法一）易知直线的方程为，直线的方程为，
联立解得交点的坐标为，
又直线与轴交于点，
由的坐标得，，
所以，即，即，
所以点在圆上(除去点)，
取定点，则，为定值，
所以存在定点，使得为定值.
（方法二），取点为的中点，则，
所以存在定点，使得为定值.
（ii），
所以，
因为，
所以，
于是，，
由均值不等式，
当且仅当，即时取等号，此时，不重合，满足条件，
所以的最小值为.
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