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广西贺州市八步区2025年秋季学期期末教学质量检测八年级数学
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．贺州市某中学为了解本校八年级学生最喜爱的饮品类型（奶茶、果汁、汽水、矿泉水），计划进行一次抽样调查．若想直观地展示每种饮品喜爱人数占总人数的百分比，最适合采用的统计图是（ ）
A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．频数直方图．
6．如图，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点之间线段最短
C．同旁内角互补 D．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
8．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
9．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两名同学骑自行车从地沿同一条路到地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离和骑行时间的函数关系如图所示，给出下列说法：①他们都骑行了；②乙在途中停留了；③相遇后，甲的速度大于乙的速度；④甲、乙两人同时到达目的地．根据图像信息，以上说法正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
11．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，已知，点，，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．对于函数中，自变量的取值范围是 ________________．
14．如图，为的中线，为的中线．若的面积为，，则边上的高为______．
15．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于、的方程组的解是______．
16．把一块含的直角三角板放在如图所示的平面直角坐标系中，已知动点在斜边上运动，点的坐标为，当线段最短时，则点的坐标为______．
三、解答题
17．解方程、不等式（组）．
(1)解方程组：．
(2)解不等式组并在数轴上表示它们的解集．
18．如图，已知在中，，
(1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)连接，若的周长为，，则的周长是多少？
19．已知与成正比，且时，．
(1)求关于的函数表达式；
(2)将所得函数的图象平移，使它过点，求平移后图象的表达式．
20．已知：如图，点在上，，，点，为垂足，，．求证：平分．
21．某校组织八年级学生前往本地红色教育基地开展“红色研学”实践活动，需租用、两种客车共10辆．已知种客车租金500元／辆，种客车租金350元／辆，设租用种客车辆，租车总费用为元．
(1)求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）．
(2)若租用种客车的数量不超过种客车数量的一半，则租用种客车多少辆时，租车总费用最少？最少总费用是多少元？
22．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
23．综合与实践
【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，则有，我们称这种全等模型为“型全等”．
已知：直线与轴，轴分别交于，两点．
【迁移应用】
（1）如图2，当时，在第一象限内构造等腰直角三角形，
①直接写出______，______．
②点的坐标为______．
【拓展应用】
（2）如图3，当的取值发生变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，则的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由．
参考答案
1．A
【详解】解：位于第一象限，
故选：A
2．B
【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数，
选项A：，分母无未知数，不是分式方程；
选项B：，分母x是未知数，是分式方程；
选项C：，分母2是常数，不是分式方程；
选项D：，分母无未知数，不是分式方程．
故选：B．
3．A
【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意；
B、，不是正比例函数，不符合题意；
C、，不是正比例函数，不符合题意；
D、，不是正比例函数，不符合题意；
故选：A．
4．B
【详解】解：关于轴对称，
横坐标互为相反数，纵坐标不变，
点关于轴对称的点的坐标是，
故选：B．
5．B
【详解】解：要直观地展示每种饮品喜爱人数占总人数的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，
故选：B．
6．A
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A
7．C
【详解】解：A选项：对顶角相等是真命题，故A选项不符合题意；
B选项：两点之间线段最短是真命题，故B选项不符合题意；
C选项：两直线平行，同旁内角互补，没有两直线平行，则同旁内角互补不成立，同旁内角互补是假命题，故C选项符合题意；
D选项：根据角平分线的判定定理可知，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上是真命题，故D选项不符合题意．
故选：C．
8．D
【详解】解： 因式分解要求等式左边是多项式，右边是整式的积，
选项A：左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，故该项不是因式分解；
选项B：右边有加法运算，不是积的形式，故该项不是因式分解；
选项C：左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，故该项不是因式分解；
选项D：左边是多项式，右边是，是积的形式，且等式成立，故该项是因式分解．
故选：D．
9．D
【详解】解：∵原函数为，对折后点变为，
∴，
即
故选：D
10．C
【详解】解：①图像中两人最终的距离均为，他们都骑行了，故①正确；
②乙在到1小时，不变，停留了，故②正确；
③相遇后，甲先到达目的地，则甲速度大于乙的速度，故③正确，
④甲先到达目的地，故④不正确．
故选：C．
11．A
【详解】解：∵步行距离为米，
∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟，
∴总时间为分钟，
又∵在之前到达，即总时间小于8分钟，
∴根据题意列出的不等式为．
故选：A．
12．C
【详解】∵是等边三角形，
∴，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理，，…，
记各等边三角形的边长依次为：
∴
…，
的边长为
故选：C．
13．
【详解】解：由可知：，
∴；
故答案为．
14．
【详解】解：∵为的中线，为的中线，的面积为，
∴
设边上的高为
∴
解得：
故答案为：．
15．
【详解】解：在中，
令时，
则，
，
，
由图可得：关于x、y方程组的解是函数与函数交点的坐标，
∵交点坐标为，
∴方程组的解是，
故答案为：．
16．
【详解】解：点的坐标为，
．
由题意得：，，
．
线段最短，
．
．
．
．
如图，过点作轴于点
．
．
，
．
点的坐标为：．
故答案为：．
17．(1)
(2)，
数轴如图：
【详解】（1）解：
得到，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴
（2）解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为
18．(1)
如图，直线即为所求；
(2)25
【详解】（1）略
（2）解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∴的周长为，
∵的周长为，，
∴，
∴，
∴的周长是25．
19．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵与成正比，
∴设．
将代入得：
，解得，
因此函数表达式为：，即；
（2）解：设平移后的函数表达式为．
将点代入得：，解得，
因此平移后表达式为：．
20．证明：∵，，
∴平分
∴
又∵，
∴
∴，
∴平分．
【详解】略
21．(1)，其中且为正整数；
(2)租用B种客车3辆时，租车总费用最少，最少总费用是元
【详解】（1）解：设租用种客车辆，租车总费用为元．根据题意得
，
，
y与x的函数表达式为：，其中且为正整数；
（2）租用种客车的数量不超过种客车数量的一半，
，
解得，
∴且为正整数
又∵，
∴且为正整数，
由（1）得：，
，
y随x的增大而减小，
x为正整数，
当时，y有最小值，
，
故租用B种客车3辆时，租车总费用最少，最少总费用是元．
22．（1）见解析；（2）见解析．
【详解】解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB，
∴AE=CG，
（2）BE=CM，
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，
∴△BCE≌△CAM，
∴BE=CM．
23．（1）①3，6；②；
的面积不发生变化．理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动，
．
如图①，过点作轴于点．
，
．
，
，
，
．
，
，
，
．
故当变化时，的面积不发生变化．
【详解】解：（1）①若，则直线．
当时，，
．
当时，，
，
．
②如图②，过点作轴于点，
，
．
是以为直角顶点的等腰直角三角形，．
，
，
，
，
，
点的坐标为．
故答案为：①3，6；②．
（2）略

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