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第13章《三角形》复习题-- 与三角形相关的角
一、单选题
1．将一副三角板按图中的位置摆放，使得点落在边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（ ）
A．88° B．85° C．65° D．72°
4．如图，在中，平分，平分外角，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．一副三角板如图放置，将三角板绕点A逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
二、填空题
6．如图，直线，的顶点在直线上，．若，则____________．
7．如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移到，使点落在上，与交于点P．给出下面三个结论：①；②；③图中阴影部分的面积之和大于的面积．上述结论中，所有正确结论的序号是_______．
8．如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________．
9．如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________．
10．将一副三角板如图所示摆放，，，若三角板保持不动，将三角板绕点E以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，当斜边与三角板的一条边平行时，所有满足条件的t为__________秒．
三、解答题
11．根据材料回答下列问题

(1)如图，在中，、分别是和的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？
(2)如图，在中，、分别是和外角的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？
12．在中，与的平分线相交于点．
(1)如图①，若，则______________；（用的代数式表示，请直接写出结论）
(2)如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
13．已知：直线，A为直线上的一个定点，过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧．
(1)如图1，若，，直接写出的度数 ；
(2)射线为的角平分线．
①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②当点D与点B不重合，且时，直接写出的度数．
14．直线与直线，分别交于，两点，．
(1)如图，求证：；
(2)如图，点在直线，之间，连接，，求证：；
(3)如图，在（2）的条件下，的角平分线交的角平分线于点，过点作的垂线交于点，点为垂足，若，，求的度数．
15．已知，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且于E．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，平分交于点F，平分交于点G，求的度数；
(3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则，，之间的数量关系是．
16.定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合）
（1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若，试说明：是“和谐三角形”；
【应用拓展】
（3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数．
参考答案
一、单选题
1．B
解：，
，
，，
．
2．C
解：由折叠的性质可知，则，
，，,
即，
解得．
3.A
解：，
，
，
，
，
，
，，
，
平分，
．
4．A
解：∵平分，平分外角，
∴，
∵，
∴，即，
∵，即，
∴．
5．B
解：①当时，则，
∴，
∴，
∴，即；
②当时，则，
∴，
∴，即；
③当时，则，
∴,
∴,
∴，即；
综上所述，的度数为或或。
二、填空题
6．
解：，
，
，
，
7．①②
解：∵两个大小相同的和，，，
，，，，
由平移的性质可知，，，，
，
，
因此①正确；
，，
，
，
因此②正确；
，
∴，
，
因此③不正确；
综上所述，正确的结论有①②．
8．①②③
解：依次分析：①是中线，
，①正确；
②是角平分线，
，②正确；
③，
，
又，
，③正确；
④通过是中线可以得到，但是无法得到，④错误．
综上可知，正确结论的序号有①②③．
9．或
解：如图2，当点在上方时，
∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
如图3，当点在下方时，
则，
由折叠性质得：，，
∴，
∴，
∴；
综上：的度数为或．
10．或或
解：①如图，当时，，过点作，
∴，
∴，
∴；
②如图，当时，交直线于点，过点作，
∴，
∴，
∴，
∴；
③如图，当时，过点作，
∴，
∴，
∴；
综上，所有满足条件的t为或或．
三、解答题
11．（1）解：，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
；
（2）解：如下图所示，
是的外角，
，
平分，
，
是的平分线，
，
是的外角，
，
．

12．（1）解：∵与的平分线相交于点，
∴
，
∵，
∴，
故答案为：；
(2)，理由如下，
∵外角，的角平分线交于点，
，
，
由（1）可知，，
．
13．（1）解：∵，
∴，，
∵，，
∴．
(2)①，理由：
∵，
∴，，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
即；
②当点D在点B右侧时，如图所示，
此时有，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
当D、E均在B点左侧时，如图所示：
此时，，
，
又∵，
∴，
∴．
综上所述：或．
14．(1)证明：∵，
又，
∴，
∴．
(2)证明：如图所示，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵平分，平分，
∴，，，
∵，，
∴，
设，，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
将代入得：，解得：，
∴．
15．(1)证明：如图1中，过E作．
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图2中，作，，
设，，
由（1）知：，，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴，
；
（3）解：如图，设交于．
当点N在内部时，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵，
．
当点在直线的下方时，
∵，
∴；
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
综上所述：或．
16.解：（1），
，
，
，
不是“和谐三角形”；
故答案为：，不是；
（2）是的一个外角，
，
又，
，
，
，
是“和谐三角形”；
（3），，
，
，
，
而，
，
，
，
平分，
，
，
是“和谐三角形”，
或，
或．

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