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第十三章《三角形》章节自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（ ）
A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．4，5，10
2.如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（ ）
A．15 B．10 C．7.5 D．5
4．如图，直线，于点D，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列图形不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射角等于反射角，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在射线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤其中，正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为______．
12．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________．
13．若三角形的三边分别是3，4，，且是整数，则满足条件的三角形有___________个．
14．如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南”，初中部和初中食堂在一条直线上，幼儿园与小学部在一条直线上，高中部在初中食堂的南偏东，，，则为________．
15．如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，使点的对应点落在上，与交于点．若，则的度数为__________．
16．如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点．
(1)若，，求的度数；
(2)求证：．
18．（6分）如图，是的中线，，、分别是的高与角平分线．
(1)若与的周长差为2，，求的长；
(2)若，，求的度数．
19．（6分）如图，是中 边上一点，连接，且．
(1)图中共有几个三角形，分别是哪些
(2)是的 ．（填“高线”“中线”或“角平分线”）
(3)若，，求 的度数．
20．（8分）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论．
如图，已知是的内角，求证：．
小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法：
小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作；
请你认真阅读思考并完成如下问题：
(1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程．
(2)在图2中，求证：．
21．（8分）已知相交于点．
(1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数；
(2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数．
22．（9分）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合）
（1）的度数为　　 ，　　 （填“是”或“不是” “和谐三角形”；
（2）若，试说明：是“和谐三角形”．
【应用拓展】
（3）如图2，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数．
23．（9分）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点．
(1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的：__________．
__________．
，
__________．
(2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________．
(3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明．
24．（10分）【发现问题】
如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．

【提出问题】
小明提出：如图①，和三个角之间存在着怎样的数量关系？
【分析问题】
已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究．
【解决问题】
(1)请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
(2)如图②，求，，的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，已知，，，求的度数．
25．（10分）结合图形，解答下列各题：
【问题】
(1)如图，在中，平分，平分．若，则_____；
【探究】
(2)如图，在中，平分，平分．试猜想和有怎样的关系，并说明理由；
【应用】
(3)如图，在中，，三等分，，三等分，若，则_____．
参考答案
一、选择题
1．C
解：选项A中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形；
选项B中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形；
选项C中，较短边为，，最长边为，，满足三角形三边关系，故能围成三角形；
选项D中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形.
2．D
解：中边上的高是．
3．C
解：∵为的中线，，
∴，
∵为的中线，
∴．
4．D
解：∵直线，，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．A
解：根据三角形的稳定性可得B、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是A选项．
6．B
解：如图：
，，
，
由折叠的性质可知，，
，
．
7．D
解：由图可知边、边上的中线交于点G，
即正好与的重心位置重合的白棋是G．
8．A
解：，，
．
是的角平分线
．
是的高线，
，即．
在中，
．
．
9．A
解：入射角等于反射角，
，
，
，且它是的一个外角，
．
10．C
解：∵平分，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴；故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；故④错误；
设，则：，
由④可知：，
∴，
∴，
∴，
∴；故⑤正确．
综上，正确的有①②③⑤，共4个．
二、填空题
11．133
、平分,
故答案为：
12．26
解： 的周长为24，
，
，
是的中线，
，
，
，
即的周长为26．
13．
解：由三角形三边关系，得：
，即；
，即；
，即（恒成立），
所以的取值范围为，
由于是整数，因此可取 2，3，4，5，6，共5个值，
即满足条件的三角形有5个．
故答案为：5．
14．
解：如下图所示，延长交于点，
由题意可知，
，
，
，
且是的外角，
，
，
．
15．
解：由旋转的性质可得，，，
在中，
点落在上，
在中，
在中，
与是对顶角
16．
解；∵平分，平分，
∴，，
∵由三角形外角的性质可得，，
∴，
以此类推，
，
……
∴，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴
∴
．
18．（1）解：是的中线，
，
与的周长差为2，
，
，
；
（2）解：，
，
、分别是的高与角平分线，
，，
，
．
19．（1）解：图中共有个三角形，分别是，，；
（2）解：∵，
∴是的角平分线，
故答案为：角平分线；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
20．（1）解：选择小星的作图进行证明
，
，
，
；
选择小颖的作图进行证明：
，
，
，
；
选择小红的作图进行证明：
，
，
，
；
（2）证明：
，
，
即．
21．（1）解：，，，
，
，，
．
平分交于，平分交于，
，．
，，
，
．
（2）解：，平分交直线于，
，
，，
．
22．解：（1），
，
，
，
不是“和谐三角形”；
故答案为：，不是；
（2）是的一个外角，
，
又，
，
，
，
是“和谐三角形”；
（3），，
，
，
，
而，
，
，
，
平分，
，
，
是“和谐三角形”，
或者
或者．
23．（1）解：；
证明：，
，
，
；
（2）解：点为中点，
∴
，
，
；
，
；
（3）解：，理由如下：
，
，
，
∴．
24．（1）解： ，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，与相交于点理由如下：
，
，
，
．
（3）解：如图③，延长交于点L，

∵，
∴，
∴，
∴．
25．（1）解：∵，，
∴，
∵分别平分和，
∴，，
∴
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下，
∵，，
∴，
∵分别平分和，
∴，，
∴
；
（3）解：如图，
由三角形的内角和定理得，
∵，三等分，，三等分，
∴，，
∴，
∴．

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