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第十五章《轴对称》单元测试卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．人工智能改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．三个角都是的三角形是等边三角形
C．全等三角形的三个角分别对应相等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
6．如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（ ）
A． B． C．7 D．6
7．如图，把一张长方形纸条沿着（E在上，F在上）向上方翻折，点A落在点G处，点B落在边上点H处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．如果点与点关于y轴对称，则b的值为________．
12．命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______．
13．等腰三角形的顶角为，则它的底角为__________°．
14．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________．
15．将沿方向平移，得到点，，的对应点分别为，，，与交于点，若，，．的长度为_______．
16．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为______．
17．在中，已知，，则应满足的条件是________．
18．如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．（6分）请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
(1)画出关于x轴成轴对称的，并写出点的坐标为 ．
(2)求的面积．
(3)请在轴上标出点P的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）．
21．（8分）如图，，点在上．
(1)作图，要求只保留作图痕迹，不用写作法．
①作的角平分线；
②作线段的垂直平分线，交于，交于，交于G．
(2)在（1）作图的基础上，连接，则与的数量关系是什么？请给出你的证明．
22．（6分）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，．
(1)试判定的形状，并说明你的理由；
(2)若，求的周长．
23．（8分）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接．
(1)连接，，若，求的周长；
(2)若，求证：平分．
24．（10分）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，．
(1)求的长．
(2)若，求的度数．
25．（10分）综合与探究
问题情境：
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形．
【模型呈现】
(1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ．
A． B． C． D．
兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”
【模型运用】
(2)如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由．
【模型深化】
(3)如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ．
26．（12分）阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
(1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系．
(4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值．
参考答案
一、单项选择题
1．C
解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意．
2．D
解：∵关于轴对称的点的坐标特征是横坐标相等，纵坐标互为相反数，
∴点关于轴对称的点，横坐标为，纵坐标为，即坐标为．
3．C
解：A选项，为角平分线，不符合要求；
B选项，为边上的垂直平分线，不符合要求；
C选项，为边上的高，符合要求；
D选项，不是边上的高，不符合要求．
4．B
解：与关于直线对称，
，，故A、C、D选项正确，不符合题意，
不一定成立，故B选项错误，符合题意．
5．C
解：A、原命题的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，该逆命题是真命题，不符合要求；
B、原命题的逆命题为：等边三角形的三个角都是，该逆命题是真命题，不符合要求；
C、原命题的逆命题为：三个角分别对应相等的两个三角形全等，
∵三个角对应相等只能说明两个三角形形状相同，大小不一定相同，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等，
∴该逆命题是假命题，符合要求；
D、原命题的逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，该逆命题是真命题，不符合要求．
6．C
解∶由题意可得∶ 垂直平分，则．
的周长．
，
．
7．C
解：四边形是长方形，
，
．
由折叠的性质可知，，．
，
，
，
．
．
8．C
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则．
9．C
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
过点D作于点E，
∵平分，，
∴，
∴，
∴．
10．B
解：如图，过点D作于H，并延长，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在上取一点，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，当点B、P、共线时取等号，
∵点Q是动点，
∴当时，即点与点H重合，的值最小，最小值为．
二、填空题．
11．
解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∴．
12．两锐角相等的三角形是直角三角形
原命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题为：两个锐角相等的三角形是直角三角形．
13．
解：等腰三角形的顶角为，
∴底角为．
14．
解：∵直线是四边形的对称轴，且，
∴，
∵，
∴．
15．3
解：∵将沿方向平移得到，
∴，
，，
．
16．
解：如图，连接，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
17．
解：在中，根据三角形边角关系：大边对大角，
边所对的内角为，边所对的内角为，
又
，
根据三角形内角和定理，
可得
三角形的内角大于，即
解得
综上可得．
18．或或
解：（1）是等腰三角形：
（i），
由外角性质可求得，
，
又点在射线上，
点与点重合，与题意不符故舍去；
（ii），如图所示，
∴，
则；
（iii），如图所示，
∴，
则；
（2）是等腰三角形：
三点共线，
不可能构成三角形，故舍去；
（3）是等腰三角形：
，
有角的等腰是等边三角形，
，
，
示意图如下：
综上所述，或或．
三、解答题.
19．如图：
20．（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为；
（2）解：由（1）得；
（3）解：如图所示，点即为所求．
21．（1）解：如图所示，即为所求；
则此图为所求；
（2）解：，证明如下：
平分，，
．
是线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
又，
．
22．(1)是等边三角形；理由如下：
是等边三角形，
；
，，
，，
为等边三角形．
（2）解：平分，，
，，
，
，
同理可证；
的周长．
23．（1）解：垂直平分，
．
同理：．
的周长；
（2）证明：，垂直平分，垂直平分，，
，，
．
平分．
24．（1）解：是边的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
∵，
∴；
（2）解：，，
，，
∵，，，
∴，
解得，
则．
25．（1）解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理；
(2)，且，
理由：如图，设交于点，
∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，设与交于点，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
26．(1)解：选择方法1，证明如下：
如图所示，在上截取，连接，
∵对角线平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
选择方法2，证明如下：
如图所示，延长到点N，使得，连接，
∵对角线平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)解：，理由如下：
如图所示，在上截取，连接，
由（1）得，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵对角线平分，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，过点D作交的延长线于点F，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
（4）解：如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴；
由（3）可得，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴当点P从B向点C运动时，则，
当点P从点C向点B运动时，则，
综上所述，t的值为4或18．

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