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第14章《 全等三角形》章节自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
3．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯水平方向长度与右边滑梯高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是2，3，4，其三条角平分线交于点O，并将△ABC分为三个三角形，则等于（ ）
A．2∶3∶4 B．1∶2∶3 C．1∶1∶1 D．4∶9∶16
9．如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（ ）时，．
A．2 B．6 C．2或6 D．2或5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______．
12．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有___对全等三角形．
13．如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度．
14．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．这两个滑梯的倾斜角是和．若，则______．
15．如图，在中，，平分交于点，，垂足为点．若，，则的长为___________．
16．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）如图，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18．（6分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，
(1)从下列条件中选择一个作为已知条件：①；②；③；求证：；
(2)在（1）的条件下，若，，求的度数．
19．（6分）如图，在中，分别是边上的高，且与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．（8分）如图，在等腰直角中，，平分交于点D，平分交于点E，请完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，过点D作的垂线与交于点F，连接（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，求证：．
证明：∵
∴（①）．
又∵
∴
∵平分
∴
∵
∴②
∴
∵平分
∴
∵平分，，，
∴③
∴
又∵
∴
在和中
∴（④）
∴．
21．（8分）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F．
(1)求证：．
(2)若，，则 ．
22．（10分）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形：
(1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点；
(2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边；
23．（10分）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线，
(1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若，，求的长．
24．（12分）如图，在中，，在中，．
(1)求证：；
(2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：．
25．（12分）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围；
（2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1．D
解：与交于点，
与是对顶角，
，
故A选项正确；
，
、、、，
故B、C选项正确，D选项错误．
2．A
解：∵两根钢条的中点连在一起，
又∵，
，
，
故判定的理由是边角边．
3．B
解：于点，于点，且，
平分，
，
．
4．B
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．C
解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是．
6．A
解：根据题意可得，，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
7．C
解：，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
8．A
过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是三条角平分线的交点，
∴OE=OF=OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
= AB OE： BC OF： AC OD
=AB：BC：AC
=2：3：4，
故选：A．
9．B
解：如图所示，延长至，使，连接，
的周长为2，即，
∵正方形的边长是1，
∴，，，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
∴，
，
，
∴，
在与中，，，，
∴，
．
故选：B．
10．D
解：设点E运动时间为，则，
①如图，当点从点B出发，向点左侧移动时，
为边上的高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，解得：；
②如图，当点从点B出发，向点右侧移动时，
同理可证，，
，
，
，解得：,
综上可知，当点E运动或时，．
二、填空题
11．4
解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
12．3
解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为3．
13．90
解：取格点F，连接，，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
14．67
解：∵两个滑梯的长度相同，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：67．
15．
解：∵平分，，，
∴，
∵，且，
∴.
16．
解：如图所示：

使，则这样的格点三角形最多可以画7个，
故答案为：7
三、解答题
17．（1）证明: ∵，
∴，
即: ，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵
∴．
18．(1)
证明：①∵，
∴，
即．
∵，
∴；
③∵，
∴，
即．
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
19．（1）证明：∵分别是边上的高，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵分别是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)
(2)等边对等角；；；．
21．（1）证明：连接，，如图：
点D在的垂直平分线上，
，
点D在的平分线上，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：点D在的平分线上，，，
，
在和中，
，
，
，
、、、，
，
，
，
，
故答案为：．
22．（1）解：即为所求作（答案不唯一）；
（2）解：即为所求作（答案不唯一）．
23．（1）解：，理由如下：
分别是、的角平分线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，在上截取，连接，
分别是、的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
24．（1）解：证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作交于点，如图所示，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
25．（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF，
在和中，
∴(SAS)，
∴DE=MF=3，
∵DF -MF＜DM＜DF+MF，
∴7-3＜DM＜7+3，
即4＜DM＜10，
∵，
∴4＜2DG＜10，
∴2＜DG＜5；
（2）AD=CD+AB，理由如下：
解：延长AE，DC相交于点F，
∵，
∴∠BAE=∠F，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
在和中，
∴（AAS），
∴AB=CF，
∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=FD，
∵FD=CD+CF，CF=AB，
∴AD=CD+AB．

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